《微積分》第二篇第一章講義 不定積分

單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ),,微積分,,第二篇 第一章 不定積分,原函數(shù)的概念 、不定積分的求法,本章難點：,,原函數(shù)的概念、分部積分法,本章重點：,,一、不定積分的概念,（一）原函數(shù)的概念,1,、回顧求“導數(shù)”,例如：,現(xiàn)在，我們問：這個過程是否可以反過來？,即：,,【,定義,1.1】,(P,－,220),【,注意,】,其中,c,為任意常數(shù),所以，,都是 的,原,函數(shù),。,,,【,例,1】,給定函數(shù),求它的一個原函數(shù)。,【,解,】,因為我們知道,【,例,2】,給定函數(shù),求它的一個原函數(shù)。,【,解,】,因為,,討論,1,：任給一個函數(shù)，它是否總有原函數(shù)？,結(jié)論,1,：初等函數(shù)總有原函數(shù)！,答：不一定。,討論,2,：如果一個函數(shù)有原函數(shù)，會有多少,,個原函數(shù)？,可見，原函數(shù)是,不唯一,的。。,結(jié)論,2,：一個函數(shù)有原函數(shù)的話，就有,,,無窮多個,原函數(shù)。,,（二） 不定積分的定義,定義,1.2:,【,例,】,其中,f(x,),稱為,被積函數(shù),，,x,為,積分變量,。,,注意：,【,例如,】,記?。?求不定積分,就是,求原函數(shù),,二、不定積分的求法,實際上,導數(shù),和,不定積分,是兩種,互逆運算,。,所以類似于求初等函數(shù)的導數(shù)，求初等函數(shù)的不定積分，也分三個方面,:,（,1,）積分的基本公式；,,（,2,）不定積分的四則運算法則；,,（,3,）不定積分與復合運算的關(guān)系,.,,由前面的分析知道：,求導公式,反過來,,就是,積分公式,．,（一）不定積分的基本公式,也就是說，有一個導數(shù)公式，反過來,,就有一個積分公式．,導數(shù)基本公式,積分基本公式,,解：,注意：冪函數(shù)求導數(shù)會,降低冪次,，求不定積分,,會,增加冪次,。,解：,,解：,解：,,解：,解：,,導數(shù)基本公式,積分基本公式,證明：,將兩個結(jié)果統(tǒng)一起來就得到積分公式,(3).,,【,解,】,導數(shù)基本公式,積分基本公式,,導數(shù)基本公式,積分基本公式,,以上這些積分基本公式都是需要牢記的．,另外，有一種方法可以檢驗不定積分計算的正確與否：就是,將計算結(jié)果求導數(shù)，看是否等于被積函數(shù),。,積分公式固然重要，但最重要的還是求,,導公式。,,系統(tǒng)回顧一下積分基本公式,,,（二）不定積分的四則運算法則,實際上都是由求導法則推出來的。,,例,4,：,解：,性質(zhì),1,性質(zhì),2,,例,5,：,解：,像這種利用不定積分的,性質(zhì),1,、,2,和積分,基本公式,直接計算出不定積分的方法稱為,直接積分法,．,,【,練習,1】,課本,225,頁，練習,1.2,題,1,,【,解,】,性質(zhì),1,,求復雜積分的兩種方法,1,、第一換元法（湊微分法）,,,2,、分部積分法,,（三）第一換元法（湊微分法）,分析：,,【,解,】,,【,基本想法,】,,,被積函數(shù)復雜時，找一個中間變量將被積函數(shù)變成簡單函數(shù)求積分。,用公式表達為：,,第一換元法（湊微分法）的步驟：,,【,解,】,,解：,,【,練習,2】,課本,236,頁，練習,1.3,題,2,,【,解,】,,2,、第二換元法,解：,為使被積函數(shù)有理化,,,作變換,代入原式得：,,,（四）分部積分法,主要是用于處理被積函數(shù)是,兩個函數(shù),,相乘的形式,的不定積分。,定理,1.2,（分部積分公式）,寫成微分形式：,,運用分部積分法求不定積分，主要是,,要熟練運用分部積分公式。,分部積分法求 的,步驟,是：,將,左邊復雜,的積分化為,右邊簡單,的積分。,,解：,,問題：兩個函數(shù)先找哪個函數(shù)的原函數(shù)呢？,方法是：,⑴,冪函數(shù),乘以,三角函數(shù),時，先找,三角函數(shù),,的原函數(shù)；,⑵,冪函數(shù),乘以,指數(shù)函數(shù),時，先找,指數(shù)函數(shù),,的原函數(shù)；,⑶,冪函數(shù),乘以,對數(shù)函數(shù),時，先找,冪函數(shù),的,,原函數(shù)。,,【,解,】,⑴,冪函數(shù),乘以,三角函數(shù),時，先找,三角函數(shù),,的原函數(shù)；,,解：,【,注意,】,連續(xù)多次運用分部積分公式,,解：,,解：,,解：,,一般地，要記住：,,【,練習,3】,課本,236,頁，練習,1.3,題,3,,本 章 習 題,題,1,：,解：,,題,2,：填空題,,題,3,：,解：,,,