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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),,微積分,,第二篇 第一章 不定積分,原函數(shù)的概念 、不定積分的求法,本章難點(diǎn)：,,原函數(shù)的概念、分部積分法,本章重點(diǎn)：,,一、不定積分的概念,（一）原函數(shù)的概念,1,、回顧求“導(dǎo)數(shù)”,例如：,現(xiàn)在，我們問：這個(gè)過程是否可以反過來(lái)？,即：,,【,定義,1.1】,(P,－,220),【,注意,】,其中,c,為任意常數(shù),所以，,都是 的,原,函數(shù),。,,,【,例,1】,給定函數(shù),求它的一個(gè)原函數(shù)。,【,解,】,因?yàn)槲覀冎?【,例,2】,給定函數(shù),求它的一個(gè)原函數(shù)。,【,解
2、,】,因?yàn)?,討論,1,：任給一個(gè)函數(shù)，它是否總有原函數(shù)？,結(jié)論,1,：初等函數(shù)總有原函數(shù)！,答：不一定。,討論,2,：如果一個(gè)函數(shù)有原函數(shù)，會(huì)有多少,,個(gè)原函數(shù)？,可見，原函數(shù)是,不唯一,的。。,結(jié)論,2,：一個(gè)函數(shù)有原函數(shù)的話，就有,,,無(wú)窮多個(gè),原函數(shù)。,,（二） 不定積分的定義,定義,1.2:,【,例,】,其中,f(x,),稱為,被積函數(shù),，,x,為,積分變量,。,,注意：,【,例如,】,記?。?求不定積分,就是,求原函數(shù),,二、不定積分的求法,實(shí)際上,導(dǎo)數(shù),和,不定積分,是兩種,互逆運(yùn)算,。,所以類似于求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求初等函數(shù)的不定積分，也分三個(gè)方面,:,（,1,）積分的基本公式
3、；,,（,2,）不定積分的四則運(yùn)算法則；,,（,3,）不定積分與復(fù)合運(yùn)算的關(guān)系,.,,由前面的分析知道：,求導(dǎo)公式,反過來(lái),,就是,積分公式,．,（一）不定積分的基本公式,也就是說，有一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式，反過來(lái),,就有一個(gè)積分公式．,導(dǎo)數(shù)基本公式,積分基本公式,,解：,注意：冪函數(shù)求導(dǎo)數(shù)會(huì),降低冪次,，求不定積分,,會(huì),增加冪次,。,解：,,解：,解：,,解：,解：,,導(dǎo)數(shù)基本公式,積分基本公式,證明：,將兩個(gè)結(jié)果統(tǒng)一起來(lái)就得到積分公式,(3).,,【,解,】,導(dǎo)數(shù)基本公式,積分基本公式,,導(dǎo)數(shù)基本公式,積分基本公式,,以上這些積分基本公式都是需要牢記的．,另外，有一種方法可以檢驗(yàn)不定積分計(jì)算的正確
4、與否：就是,將計(jì)算結(jié)果求導(dǎo)數(shù)，看是否等于被積函數(shù),。,積分公式固然重要，但最重要的還是求,,導(dǎo)公式。,,系統(tǒng)回顧一下積分基本公式,,,（二）不定積分的四則運(yùn)算法則,實(shí)際上都是由求導(dǎo)法則推出來(lái)的。,,例,4,：,解：,性質(zhì),1,性質(zhì),2,,例,5,：,解：,像這種利用不定積分的,性質(zhì),1,、,2,和積分,基本公式,直接計(jì)算出不定積分的方法稱為,直接積分法,．,,【,練習(xí),1】,課本,225,頁(yè)，練習(xí),1.2,題,1,,【,解,】,性質(zhì),1,,求復(fù)雜積分的兩種方法,1,、第一換元法（湊微分法）,,,2,、分部積分法,,（三）第一換元法（湊微分法）,分析：,,【,解,】,,【,基本想法,】,,,被積
5、函數(shù)復(fù)雜時(shí)，找一個(gè)中間變量將被積函數(shù)變成簡(jiǎn)單函數(shù)求積分。,用公式表達(dá)為：,,第一換元法（湊微分法）的步驟：,,【,解,】,,解：,,【,練習(xí),2】,課本,236,頁(yè)，練習(xí),1.3,題,2,,【,解,】,,2,、第二換元法,解：,為使被積函數(shù)有理化,,,作變換,代入原式得：,,,（四）分部積分法,主要是用于處理被積函數(shù)是,兩個(gè)函數(shù),,相乘的形式,的不定積分。,定理,1.2,（分部積分公式）,寫成微分形式：,,運(yùn)用分部積分法求不定積分，主要是,,要熟練運(yùn)用分部積分公式。,分部積分法求 的,步驟,是：,將,左邊復(fù)雜,的積分化為,右邊簡(jiǎn)單,的積分。,,解：,,問題：兩個(gè)函數(shù)先找哪個(gè)函數(shù)的原函數(shù)呢？,方法是：,⑴,冪函數(shù),乘以,三角函數(shù),時(shí)，先找,三角函數(shù),,的原函數(shù)；,⑵,冪函數(shù),乘以,指數(shù)函數(shù),時(shí)，先找,指數(shù)函數(shù),,的原函數(shù)；,⑶,冪函數(shù),乘以,對(duì)數(shù)函數(shù),時(shí)，先找,冪函數(shù),的,,原函數(shù)。,,【,解,】,⑴,冪函數(shù),乘以,三角函數(shù),時(shí)，先找,三角函數(shù),,的原函數(shù)；,,解：,【,注意,】,連續(xù)多次運(yùn)用分部積分公式,,解：,,解：,,解：,,一般地，要記?。?,【,練習(xí),3】,課本,236,頁(yè)，練習(xí),1.3,題,3,,本 章 習(xí) 題,題,1,：,解：,,題,2,：填空題,,題,3,：,解：,,,
《微積分》第二篇第一章講義 不定積分
