2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教案 新人教A版 自主梳理 1.平面向量基本定理 定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個________向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,__________一對實數(shù)λ1,λ2,使a=______________. 其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組________. 1.不共線 有且只有 λ1e1+λ2e2 基底 2.夾角 (1)已知兩個非零向量a和b,作=a,=b, 則∠AOB=θ叫做向量a與b的________. (2)向量夾角θ的范圍是________,a與b同向時,夾角θ=____;a與b反向時,夾角θ=____. (3)如果向量a與b的夾角是________,我們說a與b垂直,記作________. 2.(1)夾角 (2)[0,π] 0 π (3) a⊥b 3.平面向量的正交分解: 把一個向量分解為兩個____________的向量,叫做把向量正交分解. 3.互相垂直 4.平面向量的坐標(biāo)表示: ①在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,對于平面內(nèi)的一個向量a,有且只有一對實數(shù)x,y使a=xi+yj,我們把有序數(shù)對______叫做向量a的________,記作a=________,其中x叫a在________上的坐標(biāo),y叫a在________上的坐標(biāo). 4.(x,y) 坐標(biāo) (x,y) x軸 y軸 ②設(shè)=xi+yj,則向量的坐標(biāo)(x,y)就是________的坐標(biāo),即若=(x,y),則A點坐標(biāo)為__________,反之亦成立.(O是坐標(biāo)原點) ②終點A (x,y) 注意:要區(qū)分點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同,盡管在形式上它們完全一樣,但意義完全不同,向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息. 5.平面向量的坐標(biāo)運算 (1) 向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)和實數(shù)λ,那么a+b=________________________, a-b=________________________,λa=________________.|a|=____________. (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1) (2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點是坐標(biāo)原點,則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo). 已知A(),B(),則=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1), 即一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的__________的坐標(biāo)減去__________的坐標(biāo). ||=______________. (2)終點 始點 6.若a=(x1,y1),b=(x2,y2) (b≠0),則a∥b的充要條件是________________________. x1y2-x2y1=0 注意:.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件不能表示成 =,因為x2,y2有可能等于0,所以應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0.同時,a∥b的充要條件也不能錯記為x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0等. 7.(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則P1P2的中點P的坐標(biāo)為_____________________. (2)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),則△P1P2P3的重心P的坐標(biāo)為_______________. 7.(1) (2) 點評: 1.基底的不唯一性 只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,對基底的選取不唯一,平面內(nèi)任意向量a都可被這個平面的一組基底e1,e2線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的. 2.向量坐標(biāo)與點的坐標(biāo)的區(qū)別 在平面直角坐標(biāo)系中,以原點為起點的向量=a,點A的位置被向量a唯一確定,此時點A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x,y),但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別,如點A(x,y),向量a==(x,y). 當(dāng)平面向量平行移動到時,向量不變即==(x,y),但的起點O1和終點A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化. 基礎(chǔ)檢測 1.設(shè)平面向量a=(3,5),b=(-2,1),則a-2b=__________.(7,3) 2.在?ABCD中,AC為一條對角線,=(2,4),=(1,3),則向量的坐標(biāo)為____.(-3,-5) 3.已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b與b平行,則k=________.0 4.在平面坐標(biāo)系內(nèi),已知點A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).給出下面的結(jié)論: ①直線OC與直線BA平行;②+=; ③+=;④=-2. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),則c等于 ( B ) A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a+3b 6.若向量a=(x,3)(x∈R),則“x=4”是“|a|=5”的 ( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 A [由x=4知|a|==5;由|a|==5,得x=4或x=-4.故“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要條件.] 7.設(shè)a=,b=,且a∥b,則銳角α為 ( ) A.30 B.45 C.60 D.75 B [∵a∥b,∴-sin αcos α=0, ∴sin 2α=1,2α=90,α=45.] 8.已知向量a=(6,-4),b(0,2),=c=a+λb,若C點在函數(shù)y=sin x的圖象上,則實數(shù)λ等于 ( ) A. B. C.- D.- A [c=a+λb=(6,-4+2λ),代入y=sin x得, -4+2λ=sin =1,解得λ=.] 9.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,則m=________. 解析 a+b=(1,m-1),由(a+b)∥c, 得12-(m-1)(-1)=0,所以m=-1. 10.給定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為120 .如圖所示,點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動, 若=x+y,其中x,y∈R,則x+y的最大值是______. 解析 建立如圖所示的坐標(biāo)系, 則A(1,0),B(cos 120,sin 120), 即B(-,). 設(shè)=,則= (cos α,sin α). ∵=x+y =(x,0)+=(cos α,sin α). ∴ ∴ ∴x+y=sin α+cos α=2sin(α+30). ∵0≤α≤120,∴30≤α+30≤150. ∴x+y有最大值2,當(dāng)α=60時取最大值. 探究點一 平面向量基本定理的應(yīng)用 例1如圖,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為 DC,BC的中點,已知=c,=d,試用c,d 表示,. 解 方法一 設(shè)=a,=b,則a=+=d+, ① b=+=c+. ② 將②代入①得 a=d+ ∴a=d-c=(2d-c),代入② 得b=c+(2d-c)=(2c-d). ∴=(2d-c),=(2c-d). 方法二 設(shè)=a,=b. 因M,N分別為CD,BC的中點,所以=b,=a, 因而?, 即=(2d-c),=(2c-d). 變式訓(xùn)練1 (1)如圖,平面內(nèi)有三個向量、、,其中與的夾角為120,與的夾角為30,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ、μ∈R),則λ+μ的值為________. 解析 如右圖,=+ =λ+μ 在△OCD中,∠COD=30,∠OCD=∠COB=90, 可求||=4,同理可求||=2, ∴λ=4,μ=2,λ+μ=6. (2)在△ABC中,=,DE∥BC,與邊 AC相交于點E,△ABC的中線AM與DE相交于點N, 如圖,設(shè)=a,=b,試用a和b表示. 解 ∵=,DE∥BC,M為BC中點, ∴===(b-a). 探究點二 平面向量的坐標(biāo)運算 例2 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè)=a,=b,=c,且=3c,=-2b, (1)求3a+b-3c; (2) 求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo). 解 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點,∵=-=3c, ∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20).又∵=-=-2b, ∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N(9,2).∴=(9,-18). 變式訓(xùn)練2 (1) 已知點A(1,-2),若向量|與a=(2,3)同向,||=2,則點B的坐標(biāo)為________. 解析 ∵向量與a同向, ∴設(shè)=(2t,3t) (t>0). 由||=2,∴4t2+9t2=413.∴t2=4. ∵t>0,∴t=2.∴=(4,6). 設(shè)B為(x,y),∴ ∴(5,4) (2)已知平行四邊形三個頂點的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,0),(1,-5),求第四個頂點的坐標(biāo). 解 如圖所示,設(shè)A(-1,0),B(3,0),C(1,-5), D(x,y). (1)若四邊形ABCD1為平行四邊形,則=, 而=(x+1,y),=(-2,-5). 由=,得 ∴∴D1(-3,-5). (2)若四邊形ACD2B為平行四邊形,則=2. 而=(4,0),2=(x-1,y+5). ∴∴∴D2(5,-5). (3)若四邊形ACBD3為平行四邊形,則3=. 而3=(x+1,y),=(2,5), ∴∴∴D3(1,5). 綜上所述,平行四邊形第四個頂點的坐標(biāo)為(-3,-5)或(5,-5)或(1,5). 探究點三 在向量平行下求參數(shù)問題 例3 已知平面內(nèi)三個向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m、n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求實數(shù)k. (3)若d滿足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求d. 解 (1)∵a=mb+nc,m,n∈R, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). ∴ 解之得 (2)∵(a+kc)∥(2b-a), 且a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∴(3+4k)2-(-5)(2+k)=0, ∴k=-. (3)設(shè)d=(x,y),d-c=(x-4,y-1), a+b=(2,4), 由題意得,解得或, ∴d=(3,-1)或d=(5,3). 變式訓(xùn)練3 (1)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,則k=________. 解析 ∵a-c=(3,1)-(k,7)=(3-k,-6), 且(a-c)∥b,∴=,∴k=5. (2)已知a=(1,0),b=(2,1). ①求|a+3b|; ②當(dāng)k為何實數(shù)時,ka-b與a+3b平行,平行時它們是同向還是反向? 解?、?因為a=(1,0),b=(2,1),所以a+3b=(7,3), ∴|a+3b|==. ②ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因為ka-b與a+3b平行, 所以3(k-2)+7=0,即k=-. 此時ka-b=(k-2,-1)=, a+3b=(7,3),則a+3b=-3(ka-b), 即此時向量a+3b與ka-b方向相反. (3)已知點O(0,0),A(1,2),B(4,5),=t1+t2, ①求點P在第二象限的充要條件. ②證明:當(dāng)t1=1時,不論t2為何實數(shù),A,B,P三點共線; ③試求當(dāng)t1,t2滿足什么條件時,O,A,B,P能組成一個平行四邊形. ①解?。絫1(1,2)+t2(3,3)=(t1+3t2,2t1+3t2), P在第二象限的充要條件是有解.∴-t2- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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