2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 正弦定理和余弦定理教案 新人教A版 自主梳理 1. 正弦定理:____=______=___=2R,其中R是三角形外接圓的半徑. 由正弦定理可以變形為:(1)a∶b∶c=____ sin A∶sin B∶sin C _____; (2)a=___)2Rsin A _____,b=__2Rsin B _____,c=__2Rsin C ___; (3)sin A=_______,sin B=______,sin C=_______等形式,以解決不同的三角形問(wèn)題. 2.余弦定理:a2=__ b2+c2-2bccos A ________,b2=__ a2+c2-2accos B _____, c2=____ a2+b2-2abcos C ____. 余弦定理可以變形為:cos A=___________,cos B=_________, cos C=_________. 3.S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B==(a+b+c)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑),并可由此計(jì)算R、r. 4.在解三角形時(shí),正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題:(1)已知兩角及任一邊,求其它邊或角;(2)已知兩邊及一邊的對(duì)角,求其它邊或角.情況(2)中結(jié)果可能有一解、二解、無(wú)解,應(yīng)注意區(qū)分. 余弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題: (1)已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角的問(wèn)題;(2)已知三邊問(wèn)題. 解三角形時(shí),三角形解的個(gè)數(shù)的判斷 在△ABC中,已知a、b和A時(shí),解的情況如下: A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a=bsin A bsin Ab 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 5.判斷三角形的形狀特征 必須從研究三角形的邊角關(guān)系入手,充分利用正、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化邊為角或化角為邊,邊角統(tǒng)一. ①等腰三角形:a=b或A=B. ②直角三角形: b2+c2=a2 或 A=90 . ③鈍角三角形: a2>b2+c2 或 A>90 . ④銳角三角形:若a為最大邊,且滿(mǎn)足 a2<b2+c2 或A為最大角,且 A<90 . 6.由正弦定理容易得到:在三角形中,大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角;大角的正弦值也較大,正弦值較大的角也較大,即A>B?a>b?sinA>sinB. 基礎(chǔ)自測(cè) 1.在△ABC中,若A=60,a=,則=________. 2.(xx北京)在△ABC中,若b=1,c=,C=,則a=________. 3.在△ABC中,a=15,b=10,A=60,則cos B=________. 4.△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c,已知c=3,C=,a=2b,則b的值為_(kāi)_______. 5.已知圓的半徑為4,a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊,若abc=16,則三角形的面積為 ( ) A.2 B.8 C. D. 1.2 2.1 3. 4. 5.C 6.在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,若a、b、c成等差數(shù)列,B=30,△ABC的面積為,則b= . 【解析】∵S△ABC=acsinB=acsin30=,∴ac=6. 又a、b、c成等差數(shù)列,故2b=a+c. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB =(a+c)2-2ac-2accos30, ∴b2=4b2-12-6,得b2=4+2,∴b=1+. 7.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,若a=2bcosC,則此三角形一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】由a=2bcosC得sinA=2sinBcosC ∵A+B+C=π ∴sinA=sin(B+C) ∴sin(B+C)=2sinBcosC 即sin(B-C)=0 ∵0b,∴A=60或A=120. 當(dāng)A=60時(shí),C=180-45-60=75,c==; 當(dāng)A=120時(shí),C=180-45-120=15,c==. (2)∵B=60,C=75,∴A=45.由正弦定理==, 得b==4,c==4+4.∴b=4,c=4+4. (2)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2bsinA. ①求角B的大小; ②求cosA+sinC的取值范圍. 解析 ①由a=2bsinA,根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA, 所以sinB=,由△ABC為銳角三角形得B=. ②cosA+sinC=cosA+sin(π--A)=cosA+sin(+A) =cosA+cosA+sinA=sin(A+). 由△ABC為銳角三角形知,>A>-B,又-B=-=. ∴<A+<,∴<sin(A+)<. 由此有<sin(A+)<=,所以cosA+sinC的取值范圍為(,). 點(diǎn)評(píng) 解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用正弦定理和余弦定理,要么把角化成邊,要么把邊化成角,然后再進(jìn)行三角恒等變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B型函數(shù),從而求解單調(diào)區(qū)間、最值、參數(shù)范圍等問(wèn)題,注意限制條件A+B+C=π,0<A,B,C<π的應(yīng)用,如本題中由△ABC為銳角三角形得到A+B>,從而推到<A+<. 探究提高 (1)已知兩角一邊可求第三角,解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知兩邊和一邊對(duì)角,解三角形時(shí),利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角,這是解題的難點(diǎn),應(yīng)引起注意. 變式訓(xùn)練1 (1) 已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,若a=1,b=,A+C=2B,則角A的大小為_(kāi)_______. (2)在△ABC中,若tan A=,C=150,BC=1,則AB=________; (3)在△ABC中,若a=50,b=25,A=45,則B=______ 解析 (2)∵在△ABC中,tan A=,C=150, ∴A為銳角,∴sin A=.又∵BC=1. ∴根據(jù)正弦定理得AB==. (3)由b>a,得B>A,由=, 得sin B===, ∵0a,∴B>A,∴cos A==. ∴tan A==. 方法三 ∵c=3a,由正弦定理,得sin C=3sin A. ∵B=,∴C=π-(A+B)=-A,∴sin(-A)=3sin A, ∴sincos A-cossin A=3sin A,∴cos A+sin A=3sin A, ∴5sin A=cos A,∴tan A==. 2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足cos =, ?。?. (1)求△ABC的面積; (2)若b+c=6,求a的值. 解 (1)∵cos =,∴cos A=2cos2-1=, ∴sin A=.又=3,∴bccos A=3,∴bc=5. ∴S△ABC=bcsin A=5=2. (2)由(1)知,bc=5,又b+c=6, 根據(jù)余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A=36-10-10=20, ∴a=2. 3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,=8,∠BAC=θ,a=4. (1)求bc的最大值及θ的取值范圍; (2)求函數(shù)f(θ)=2sin2(+θ)+2cos2θ-的值. 【解析】(1)∵=8,∠BAC=θ,∴bccosθ=8. 又a=4,∴b2+c2-2bccosθ=42 即b2+c2=32. 又b2+c2≥2bc ∴bc≤16,即bc的最大值為16. 而bc=,∴≤16,∴cosθ≥ ∵0<θ<π,∴0<θ≤. (2)f(θ)=2sin2(+θ)+2cos2θ-=[1-cos(+2θ)]+1+cos2θ- =sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+)+1 ∵0<θ≤, ∴<2θ+≤ ∴≤sin(2θ+)≤1. 當(dāng)2θ+=,即θ=時(shí),f(θ)min=2+1=2. 當(dāng)2θ+=,即θ=時(shí),f(θ)max=21+1=3. 點(diǎn)評(píng) 有關(guān)三角形中的三角函數(shù)求值問(wèn)題,既要注意內(nèi)角的范圍,又要靈活利用基本不等式. 題型三 正、余弦定理的綜合應(yīng)用 例3 (xx浙江)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知sin A+sin C=psin B (p∈R),且ac=b2. (1)當(dāng)p=,b=1時(shí),求a,c的值; (2)若角B為銳角,求p的取值范圍. 解 (1)由題設(shè)并由正弦定理, 得 解得或 (2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac-2accos B=p2b2-b2-b2cos B,即p2=+cos B. 因?yàn)?0,故cos B=,所以B=45. 題型四 判斷三角形的形狀 一、判斷三角形的形狀 例1在△ABC中,a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求角A的大?。? (2)若sinB+sinC=1,試判斷△ABC的形狀. 解析 (1)由已知得:2a2=(2b+c)b+(2c+b)c. 即a2=b2+c2+bc 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA ∴cosA=- ∵A∈(0,180),∴A=120. (2)由(1)得:sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC 又sinB+sinC=1得sinB=sinC= ∵00) 則a=2k,b=3k,c=4k. 由余弦定理得cosB===,選D. 5.若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a,b,c滿(mǎn)足(a+b)2-c2=4且C=60,則ab的值為( ) A. B.8-4 C.1 D. 【解析】由已知得: 兩式相減得:ab=,選A. 二、填空題 6.在△ABC中,若b=5,∠B=,sin A=,則a=________. 7.若△ABC的面積為,BC=2,C=60,則邊AB的長(zhǎng)度等于____2____. 8.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,則BC=________.4或5. 9.已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120,且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則△ABC的面積為 . 【解析】不妨設(shè)A=120,c0,從而有sin A=, ∴A=60或120,∵A是銳角,∴A=60. (2)∵10=bcsin 60,∴bc=40, 又72=b2+c2-2bccos 60,∴b2+c2=89. 11.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c.已知a2-c2=2b,且sin B=4cos Asin C,求b. 解 方法一 ∵sin B=4cos Asin C, 由正弦定理,得=4cos A,∴b=4ccos A, 由余弦定理得b=4c, ∴b2=2(b2+c2-a2),∴b2=2(b2-2b),∴b=4. 方法二 由余弦定理,得a2-c2=b2-2bccos A, ∵a2-c2=2b,b≠0,∴b=2ccos A+2, ① 由正弦定理,得=,又由已知得,=4cos A, ∴b=4ccos A. ② 解①②得b=4. 12.在△ABC中,A,B為銳角,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且cos2A=,sinB=. (1)求A+B的值; (2)若a-b=-1,求a,b,c的值. 【解析】(1)∵A,B為銳角,且sinB= ∴cosB== 又cos2A=1-2sin2A= ∴sinA=,cosA== ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=-= 又∵0b B.a90,B=2A<90 ∴300 ∴sinA=2sinAcosB,cosB= 又B∈(0,π),∴B=. (2)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB =a2+c2-ac≥ac 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)“=”成立. 又b=2,∴ac≤12. ∴S△ABC=acsinB≤12=3, 當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí),S△ABC的最大值為3.
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