2019年高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 雙曲線 課時作業(yè)11 直線與雙曲線的位置關系 新人教A版選修1-1.doc

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2019年高中數學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 雙曲線 課時作業(yè)11 直線與雙曲線的位置關系 新人教A版選修1-1 1．已知雙曲線方程為x2－＝1，過P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則l的條數為(　　) A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1 解析：由已知點P(1,0)是雙曲線的右頂點，故過點P(1,0)且與x軸垂直的直線與雙曲線相切，它們只有一個公共點．另外過點P(1,0)且與其中一條漸近線平行的直線與雙曲線相交，它們只有一個公共點．所以滿足條件的直線l有三條． 答案：B 2．已知雙曲線E的中心為原點，F(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A、B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則E的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：∵kAB＝＝1，∴直線AB的方程為y＝x－3. 由于雙曲線的焦點為F(3,0)，∴c＝3，c2＝9. 設雙曲線的標準方程為－＝1(a＞0，b＞0)， 則－＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝＝2(－12)， ∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2. 又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5. ∴雙曲線E的方程為－＝1. 答案：B 3．已知雙曲線C：x2－y2＝1，F是其右焦點，過F的直線l只與雙曲線的右支有唯一的交點，則直線l的斜率等于(　　) A．1 B．－1 C．1 D．2 解析：依題意，直線l與雙曲線C的漸近線平行． 又x2－y2＝1的漸近線方程為y＝x， ∴直線l的斜率k＝1. 答案：C 4．直線l：y＝k(x－)與曲線x2－y2＝1(x＞0)相交于A、B兩點，則直線l的傾斜角是__________． 解析：由得x2－k2(x－)2＝1，即(1－k2)x2＋2k2x－2k2－1＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由題意知 解得k2－1＞0，即k＞1或k＜－1， ∴直線的傾斜角范圍是∪. 答案：∪ 5．已知雙曲線－＝1的右焦點為F，若過F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是________． 解析：①當直線與雙曲線漸近線平行時，直線與雙曲線有一個交點，此時直線斜率為； ②當直線與雙曲線有兩個交點，且在兩支上時， 由－＝1，得b2＝4，a2＝12，∴c＝4. 設直線方程為y＝k(x－4)，由 得(1－3k2)x2＋24k2x－48k2－12＝0， ∴x1x2＝＜0，∴1－3k2＞0.∴－＜k＜. 答案： (限時：30分鐘) 1．已知直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1. (1)如果直線與雙曲線有兩個公共點，求a的取值范圍； (2)如果直線與雙曲線只有一個公共點，求a的取值范圍； (3)如果直線與雙曲線沒有公共點，求a的取值范圍． 解析：把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1， 整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0. (1)∵直線與雙曲線有兩個公共點， ∴判別式Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2＞0， 且3－a2≠0，得－＜a＜，且a≠. 故當－＜a＜，且a≠時，直線與雙曲線有兩個公共點． (2)∵直線與雙曲線只有一個公共點， ∴或3－a2＝0，∴a＝或a＝. 故當a＝或a＝時，直線與雙曲線只有一個公共點． (3)∵直線與雙曲線沒有公共點， ∴3－a2≠0，且Δ＝24－4a2＜0. ∴a＞或a＜－. 故當a＞或a＜－時，直線與雙曲線沒有公共點． 2．過點P(8,1)的直線與雙曲線x2－4y2＝4相交于A、B兩點，且點P是線段AB的中點，求直線AB的方程． 解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵(8,1)是弦AB的中點， ∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2. 把A，B兩點坐標代入x2－4y2＝4，得 x－4y＝4，① x－4y＝4，② ①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝＝＝2， 即直線AB的斜率為2. ∴所求的直線方程為y－1＝2(x－8)，即2x－y－15＝0. 經驗證該直線符合題意． 3．設雙曲線C：－y2＝1(a＞0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同的點A，B. (1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍； (2)直線l與y軸交于點P，且＝，求a的值． 解析：(1)由C與l相交于兩個不同的點， 故知方程組有兩個不同的實數解． 消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.① ∴解得0＜a＜且a≠1. 雙曲線的離心率e＝＝. ∵0＜a＜且a≠1，∴e＞且e≠， 即離心率e的取值范圍為∪(，＋∞)． (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)． ∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)． 由此得x1＝x2. 由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0， ∴x2＝－，x＝－，消去x2， 得－＝.由a＞0，∴a＝. 4．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)．點M(3，m)在雙曲線上． (1)求雙曲線方程； (2)求證：＝0； (3)求△F1MF2的面積． 解析：(1)∵e＝， ∴可設雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)不妨設F1(－2，0)，F2(2，0)， ∴＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)， ∴＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2. ∵點M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0. ∴＝0. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝， ∴△F1MF2的高h＝|m|＝. ∴S△F1MF2＝6.