2019-2020年高三數(shù)學(xué) 3.1《空間向量及運(yùn)算》教案 舊人教版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 3.1《空間向量及運(yùn)算》教案 舊人教版 【考試要求】 1． 理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘 2． 了解空間向量的基本定理。 3． 掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)。 【基礎(chǔ)知識】 一、基本概念 向量：在空間具有大小和方向的量。 相等向量：大小相等，方向相同的向量。 平行向量或共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合。 二、空間向量加、減法及數(shù)乘運(yùn)算 1． 2、運(yùn)算律： 三、基本定理 1、共線向量基本定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使。 2、共線向量基本定理 如果兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(x,y),使 推論1 空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（）使，或?qū)臻g任一定點(diǎn),有 ① 在平面內(nèi)，點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)數(shù)對（）是唯一的，①式叫做平面的向量表示式 。 推論2 對空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，滿足向量關(guān)系式 (其中=1)的四點(diǎn)共面（當(dāng)且僅當(dāng)=1時）。 兩推論的作用:證明四點(diǎn)共面 3.空間向量的基本定理 如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。 如果三個向量不公面，那么所有空間所組成的集合就是﹛﹜，這個集合可看作是由向量生成的，所以我們把｛｝叫做空間的一個基低，都叫做基向量，（）叫做對基底｛｝下的坐標(biāo)。 推論 設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)使。 四、兩向量的數(shù)量積 1、空間兩向量的夾角 如圖，已知兩個非零向量，在空間任取一點(diǎn)O，作，則角叫做的夾角，記作。，并且 2、=則稱互相垂直，并記作。 3．已知空間兩個向量,則︱︱︱︳叫做向量的數(shù)量積，記作。 即=︱︱︱︳。 4、性質(zhì)：① ② ③ ④ 5、運(yùn)算律 ① ② ③ 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1.有4個命題： ①若p=xa+yb，則p與a、b共面； ②若p與a、b共面，則p=xa+yb； ③若=x+y，則P、M、A、B共面； ④若P、M、A、B共面，則=x+y.其中真命題的個數(shù)是 . 2.下列是真命題的命題序號是 . ①分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量 ②若|a|=|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反 ③若向量，滿足||＞||，且與同向，則＞ ④若兩個非零向量與滿足+=0，則∥ 3.在四面體O-ABC中，=a,=b, =c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn)，則= (用a,b,c表示). 4.已知向量a,b滿足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=，則a與b的夾角為 . 5.如圖所示，已知空間四邊形ABCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若=（+），則 = 【典型列題】 一、空間向量的基本運(yùn)算 例1 如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)=a，=b，=c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量： （1）；（2）；（3）+. 二、應(yīng)用空間向量證明線面關(guān)系、求空間角和距離 例2 已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)， （1）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面； （2）求證：BD∥平面EFGH； （3）設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對空間任一點(diǎn)O，有 =（+++）. 例3 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn). （1）求證：MN⊥AB，MN⊥CD； （2）求MN的長； （3）求異面直線AN與CM所成角的余弦值. 三、空間向量的綜合運(yùn)用 例4 如圖，已知平行六面體ABCD--的底面ABCD是菱形，且 當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使？請給出證明。 例5 在平行六在面體ABCD--中已知數(shù)AB=5，AD=4，=3 ， ， ，（1）試用向量法證明：頂點(diǎn)在底面ABCD上的射影在∠BAD 的平分線上；（2）若M、N分別在上且==2，求所成的角。 【小 結(jié)】 1、 空間向量在立幾中應(yīng)用，既可以證明垂直和平行，又可以計算角和距離，其主要依據(jù)是向量運(yùn)算的幾何意義。 2、 用向量方法解決立體幾何問題時，關(guān)鍵是一個幾何問題向量化的轉(zhuǎn)化過程，從建立基向量，到表示相關(guān)向量，到應(yīng)用向量的有關(guān)運(yùn)算，構(gòu)成一個非常嚴(yán)密的推理過程。 [鞏固練習(xí)] 1、已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，則的值為 . 2、A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足=0，=0，=0，則△BCD是 三角形（用“銳角”、“直角”、“鈍角”填空）. 3、已知六面體ABCD—A′B′C′D′是平行六面體. （1）化簡++,并在圖上標(biāo)出其結(jié)果； （2）設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC′B′對角線BC′上的分點(diǎn)，設(shè) =++，試求,,的值. 4、.已知ABCD是平行四邊形，P點(diǎn)是ABCD所在平面外的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD.設(shè)點(diǎn)E、F、G、H分別為△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心. （1）試用向量方法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面； （2）試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關(guān)系，并用向量方法證明你的判斷.