2019-2020年高中數學 第十一課時 小結與復習（1） 教案 蘇教版必修4.doc

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2019-2020年高中數學 第十一課時 小結與復習（1） 教案 蘇教版必修4 ●教學目標 （一）知識目標 1.本身知識網絡結構； 2.向量概念； 3.向量的運算律； 4.重要的定理、公式. （二）能力目標 1.了解本章知識網絡結構； 2.進一步熟悉基本概念及運算律； 3.理解重要定理、公式并能熟練應用； 4.加強數學應用意識，提高分析問題，解決問題的能力. （三）德育目標 1.認識事物之間的相互轉化； 2.培養(yǎng)學生的數學應用意識. ●教學重點 突出本章重、難點內容. ●教學難點 通過例題分析突出向量運算與實數運算的區(qū)別. ●教學方法 自學輔導法 在給出本章的知識網絡結構后，列出復習提綱，引導學生補充相關內容，同時加強學生對基本概念、基本運算律、重要定理、公式的熟悉程度. ●教具準備 投影儀、幻燈片（三張） 第一張：本章知識網絡圖（記作5.13.1 A） 第二張：向量運算法則（記作5.13.1 B） 第三張：本節(jié)例題（記作5.13.1 C） ●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］前面一段，我們一起學習了向量的知識以及解斜三角形問題，并掌握了一定的分析問題解決問題的方法.這一節(jié)，我們開始對本章進行小結與復習. Ⅱ.講授新課 ［師］首先我們通過投影屏幕來看向量知識的網絡結構（給出幻燈片5.13.1 A） 1.本章知識網絡結構 2.本章重點及難點 （1）本章的重點有向量的概念、運算及坐標表示，線段的定比分點，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的應用； （2）本章的難點是向量的概念，向量運算法則的理解和運用，已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形等； （3）對于本章內容的學習，要注意體會數形結合的數學思想方法的應用. 3.向量的概念 （1）向量的基本要素：大小和方向. （2）向量的表示：幾何表示法：，a；坐標表示法：a＝xi＋yj＝（x，y）. （3）向量的長度：即向量的大小，記作|a|. （4）特殊的向量：零向量a＝0|a|＝0. 單位向量a0為單位向量|a0|＝1. （5）相等的向量：大小相等，方向相同（x1，y1）＝（x2，y2） （6）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.由于向量可以進行任意的平移（即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量. 4.向量的運算 （給出幻燈片5.13.1 B） 運算類型 幾何方法 坐標方法 運算性質 向 量 的 加 法 1.平行四邊形法則 2.三角形法則 a＋b ＝（x1＋x2，y1＋y2） a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 向 量 的 減 法 三角形法則 a－b ＝（x1－x2，y1－y2） a－b＝a＋（－b）  數 乘 向 量 λa是一個向量，滿足： 1.|λa|＝|λ||a|； 2.λ＞0時,λa與a同向; λ＜0時，λa與a反向； λ＝0時，λa＝0 λa＝（λx，λy） λ（μa）＝（λμ）a （λ＋μ）a＝λa＋μa λ（a＋b）＝λa＋λb a∥ba＝λb 向 量 的 數 量 積 ab是一個數： 1.a≠0，且b≠0時，ab＝|a||b|cos＜a，b＞ 2.a＝0或b＝0時，ab＝0 ab＝x1x2＋y1y2 ab＝ba （λa）b＝a（λb） ＝λ（ab） （a＋b）c＝ac＋bc a2＝|a|2，|a|＝ |ab|≤|a||b| 5.重要定理、公式 （1）平面向量基本定理 e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. （2）兩個向量平行的充要條件 a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0. （3）兩個向量垂直的充要條件 a⊥bab＝0x1x2＋y1y2＝0. （4）線段的定比分點公式 設點P分有向線段所成的比為λ，即＝λ，則 （線段的定比分點的向量公式） （線段定比分點的坐標公式） 當λ＝1時，得中點公式： （5）平移公式 設點P（x，y）按向量a＝（h，k）平移后得到點P′（x′，y′），則＋a或 曲線y＝f（x）按向量a＝（h，k）平移后所得的曲線的函數解析式為： y－k＝f（x－h(huán)） （6）正、余弦定理 正弦定理：． 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. ［師］下面我們通過例題分析來進一步熟悉向量知識的應用. （通過幻燈片5.13.1 C給出本節(jié)例題） ［例1］設坐標平面上有三點A、B、C，i，j分別是坐標平面上x軸，y軸正方向的單位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在實數m，使A、B、C三點共線. 分析：可以假設滿足條件的m存在，由A、B、C三點共線∥存在實數λ，使＝λ，從而建立方程來探索. 解法一：假設滿足條件的m存在，由A、B、C三點共線，即∥， ∴存在實數λ，使＝λ，i－2j＝λ（i＋mj）， ∴m＝－2. ∴當m＝－2時，A、B、C三點共線. 解法二：假設滿足條件的m存在，根據題意可知：i＝（1，0），j＝（0，1） ∴＝（1，0）－2（0，1）＝（1，－2）， ＝（1，0）＋m（0，1）＝（1，m）， 由A、B、C三點共線，即∥， 故1m－1（－2）＝0，解得m＝－2. ∴當m＝－2時，A、B、C三點共線. 評述：（1）共線向量的充要條件有兩種不同的表示形式，但其本質是一樣的，在運用中各有特點，解題時可靈活選擇； （2）本題是存在探索性問題，這類問題一般有兩種思考方法，即假設存在法——當存在時；假設否定法——當不存在時. Ⅲ.課堂練習 1.判斷題 （1）＋＝0（） （2）0＝0（） （3）－＝（） 2.選擇題 已知a，b為兩個單位向量，下列四個命題中正確的是( ) A．a與b相等 B．如果a與b平行，那么a與b相等 C. ab＝1 D．a2＝b2 答案：D 3.已知A、B、C是直線l上的順次三點，指出向量、、、中，哪些是方向相同的向量. 答案：與方向相同，與方向相同. 4.已知為與的和向量，且＝a，＝b，分別用a、b表示，. 解：＝（a－b），＝（a＋b）. 5.已知ABCDEF為正六邊形，且＝a，＝b，用a，b表示向量、、、、、、、. 解：＝－a，＝a＋b， ＝（a＋b），＝－（a＋b）， ＝（a－b），CD＝（b－a）， ＝a＋b，＝b－a. 6.已知點A（－3，－4）、B（5，－12） （1）求的坐標及||； （2）若，求及的坐標； （3）求. 解：（1）＝（8，－8），||＝8 （2）＝（2，－16），＝（－8，8） （3）＝33. Ⅳ.課時小結 ［師］通過本節(jié)學習，要求大家在了解向量知識網絡結構基礎上，進一步熟悉基本概念及運算律，并能熟練重要定理、公式的應用，并加強數學應用意識，提高分析問題、解決問題的能力. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P149復習參考題五 7，11，13，15，17，19. （二）1.預習內容 （1）三角形的有關性質； （2）向量數量積的性質及坐標表示. 2.預習提綱 （1）向量加、減法基本原則的適用前提； （2）向量數量積坐標表示的形式特點. ●板書設計 5.13.1 小結與復習（一） 1.向量知識網絡結構 2.本章重難點歸納 （1）重點 （2）難點 3.向量基本概念 4.本章運算律、性質 5.重要公式、定理 ●備課資料 1.三點共線的證明 對于三點共線的證明，可以利用向量共線的充要條件證明，也可利用定比分點知識證明.因為，定比分點問題中所涉及的三個點必然共線，而三個點共線時，必然構成定比分點. ［例1］已知A（－1，－1）、B（1，3）、C（2，5），求證A、B、C三點共線. 證明：設點B′（1，y）是的一個分點，且＝λ，則1＝ 解得λ＝2. ∴y＝＝3. 即點B′與點B重合. ∵點B′在上， ∴點B在上， ∴A、B、C三點共線. 2.利用正、余弦定理判斷三角形形狀 ［例2］根據下列條件，判斷△ABC的形狀 （1）acosA＝bcosB （2）sin2?。玸in2B＝sin2C，且c＝2acosB. 解：（1）∵acosA＝bcosB ∴ ∴， 即sinAcosA＝sinBcosB ∴sin2A＝sin2B ∴2A＝2B或2A＝π－2B ∴A＝B或A＋B＝ ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. （2）∵sin2A＋sin2B＝sin2C ∴， ∴a2＋b2＝c2 故△ABC是直角三角形，且C＝90， ∴cosB＝，代入c＝2acosB 得cosB＝ ∴B＝45，A＝45 綜上，△ABC是等腰直角三角形. 評注：（1）條件中有邊有角，一般須化邊為角或化角為邊，題（1）也可以化角為邊. （2）題（1）結論中用“或”，題（2）中用“且”結論也就不同，切不可混淆. ［例3］在△ABC中，若a2＝b（b＋c），則A與B有何關系? 解：由正弦定理得sin2A＝sinB（sinB＋sinC） ∴sin2A－sin2B＝sinBsinC， （sinA＋sinB）（sinA－sinB）＝sinBsinC， sin（A＋B）sin（A－B）＝sinBsinC ∵sin（A＋B）＝sinC， ∴sin（A－B）＝sinB， ∴A－B＝B，A＝2B，或A－B＝π－B（舍去） 故A與B的關系是A＝2B. 3.利用正、余弦定理證明三角恒等式 ［例4］在△ABC中，求證. 證明：由余弦定理，知 a2＋b2－c2＝2abcosC， a2－b2＋c2＝2cacosB， ∴. 評注：對于含有a2、b2、c2的形式，常用余弦定理化邊為角. ［例5］在△ABC中，已知2sin2A＝3sin2B＋3sin2C ① cos2A＋3cosA＋3cos（B－C）＝1 ② 求：a∶b∶c. 解：由①得2a2＝3b2＋3c2 ③ ∵cosA＝－cos（B＋C） 由②得3cos（B－C）－3cos（B＋C） ＝1－cos2A＝2sin2A＝3sin2B＋3sin2C. ∴cos（B－C）－cos（B＋C）＝sin2B＋sin2C， 2sinBsinC＝sin2B＋sin2C 即（sinB－sinC）2＝0， ∴sinB＝sinC， ∴2RsinB＝2RsinC， ∴b＝c代入③得 a＝b. ∴a∶b∶c＝b∶b∶b＝∶1∶1. 4.向量知識在近幾年高考中的體現 ［例6］(xx年全國高考)若向量a=（1，1），b=（1，－1），c=（－1，2）,則c等于 A.－a+b B. a－b C.a－b D.－a+b 分析：本題主要考查平面向量的加、減運算,數與向量的乘法運算,以及簡單計算的技能. 解法一：設實數x、y滿足c=xa+yb 則有（x+y，x－y）=（－1，2）， 所以. 解得x=，y=－. 故選B. 解法二：逐項檢驗如下： ∵－a+b=（1，－2）≠c， 故排除A. 又∵a－b=（－1，2）=c 故選B. 解法三：（圖解法） 依題設可作向量圖，如右圖： 令c=xa+yb，根據向量加法的平行四邊形法則，觀察圖形，可知系數x＞0，y＜0，且應有|y|＞|x|，從而可以排除A、C、D. 故選B. ［例7］（xx年上海高考）向量=（－1，2），向量=（3，m），若⊥，則m= . 解：=－=（4，m－2）， 由兩非零向量垂直的充要條件可得－14+2（m－2）=0， 解得m=4.