2019-2020年高中數(shù)學 1.1 空間幾何體 1.1.7 柱、錐、臺和球的體積教案 新人教B版必修2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 1.1 空間幾何體 1.1.7 柱、錐、臺和球的體積教案 新人教B版必修2 教學分析 本節(jié)教材介紹了祖暅原理，并利用長方體體積推導出了柱體的體積公式．利用柱體體積推導出了錐體和臺體的體積．直接給出了球的體積公式． 值得注意的是教學重點放在體積的計算和應用，盡量在體積公式的推導上少“糾纏”． 三維目標 1．掌握柱、錐、臺和球的體積公式，培養(yǎng)學生的探究能力． 2．能夠利用體積公式解決有關應用問題，提高學生解決實際問題的能力． 重點難點 教學重點：體積的計算和應用． 教學難點：體積公式的推導． 課時安排 1課時 導入新課 設計1.我們在初中的學習中已經(jīng)會根據(jù)長方體的長、寬、高來計算長方體的體積了，那么，棱柱、棱錐、棱臺以及圓柱、圓錐、圓臺的體積如何計算呢？ 設計2.被譽為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物．在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時代，埃及人是怎樣采集、搬運數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔的，真是一個十分難解的謎．胡夫大金字塔是一個正四棱錐外形的建筑，塔底邊長230.4米，塔高146.6米，假如知道每塊石塊的體積，你能計算出建此金字塔用了多少石塊嗎？ 推進新課 (1)回顧長方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？,(2)比較柱體、錐體、臺體的體積公式：,V柱體＝Sh(S為底面積，h為柱體的高)；,V錐體＝ (S為底面積，h為錐體的高)；,V臺體＝ (S＋\r(SS′)＋S′)h(S′、S分別為上、下底面積，h為臺體的高).,你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺體？其體積公式是否可以看作臺體體積公式的“特殊”形式？ 討論結果： (1)棱長為a的正方體的體積V＝a3＝a2a＝Sh； 長方體的長、寬和高分別為a、b、c，其體積為V＝abc＝(ab)c＝Sh； 底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V＝πr2h＝Sh， 可以類比，一般的柱體的體積也是V＝Sh，其中S是底面面積，h為柱體的高． 圓錐的體積公式是V＝Sh(S為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的. 棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的，即棱錐的體積V＝Sh(S為底面面積，h為高)． 由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的. 由于圓臺(棱臺)是由圓錐(棱錐)截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差，得到圓臺(棱臺)的體積公式V＝(S′＋＋S)h，其中S′、S分別為上、下底面面積，h為圓臺(棱臺)高． 注意：不要求推導公式，也不要求記憶． (2)柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體．因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺體．當S′＝0時，臺體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式；當S′＝S時，臺體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺體體積公式的“特殊”形式． 柱體和錐體可以看作由臺體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體，因此很容易得出它們之間的體積關系，如下圖： 思路1 例1如下圖所示，在長方體ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一個棱錐C—A′DD′，求棱錐C—A′DD′的體積與剩余部分的體積之比． 解：已知長方體可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′，設它的底面ADD′A′面積為S，高為h，則它的體積為V＝Sh. 因為棱錐C—A′DD′的底面面積為S，高是h，所以棱錐C—A′DD′的體積VC—A′DD′＝Sh＝Sh. 余下的體積是Sh－Sh＝Sh. 所以棱錐C—A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為1∶5. 變式訓練 已知一正四棱臺的上底邊長為4 cm，下底邊長為8 cm，高為3 cm.求其體積． 解：V＝(S上＋S下＋)h＝(42＋82＋)3＝112(cm3)． 即正四棱臺的體積為112 cm3. 例2有一堆相同規(guī)格的六角螺帽毛坯(下圖)，共重5.8 kg.已知螺帽的底面六邊形邊長是12 mm，高是10 mm，內(nèi)孔直徑是10 mm，這一堆螺帽約有多少個(鐵的密度是7.8 g/cm3，π≈3.14)? 解：六角螺帽毛坯的體積是一個正六棱柱的體積和一個圓柱的體積的差． 因為V正六棱柱＝612(12sin60)10＝312210≈3.74103(mm3)， V圓柱＝3.14(102)210≈0.785103(mm3)， 所以一個螺帽的體積V＝3.74103－0.785103≈2.96103(mm3)＝2.96(cm3)． 因此約有5.8103(7.82.96)≈2.5102(個)． 答：這堆螺帽約有250個． 變式訓練 埃及胡夫金字塔大約建于公元前2580年，其形狀為正四棱錐．金字塔高146.6 m，底面邊長230.4 m．問這座金字塔的側面積和體積各是多少？ 解：如下圖，AC為高，BC為底面的邊心距，則AC＝146.6，BC＝115.2，底面周長c＝4230.4. S側面積＝cAB＝4230.4≈85 916.2(m2)， V＝SAC＝230.42146.6≈2 594 046.0(m3)． 答：金字塔的側面積約是85 916.2 m2，體積約是2 594 046.0 m3. 思路2 例3如下圖所示，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為( ) A．1 B. C. D. 活動：讓學生將三視圖還原為實物圖，討論和交流該幾何體的結構特征． 解析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，下圖所示為該三棱錐的直觀圖，并且側棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.則該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個幾何體的體積為V＝S△ABCPA＝1＝. 答案：D 點評：本題主要考查幾何體的三視圖和體積．給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結構特征，再利用公式求得．此類題目成為新課標高考的熱點，應引起重視． 變式訓練 1．如果一個空間幾何體的主視圖與左視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個半徑為1的圓及其圓心，那么這個幾何體的體積為( ) A. B. C.π D. 解析：由三視圖知該幾何體是圓錐，且軸截面是等邊三角形，其邊長等于底面直徑2，則圓錐的高是軸截面等邊三角形的高為，所以這個幾何體的體積為V＝π12＝. 答案：A 2.已知某幾何體的俯視圖是如下圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形． (1)求該幾何體的體積V； (2)求該幾何體的側面積S. 解：由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長分別為6、8的矩形，高為4的四棱錐．設底面矩形為ABCD.如下圖所示，AB＝8，BC＝6，高VO＝4. (1)V＝(86)4＝64. (2)設四棱錐側面VAD、VBC是全等的等腰三角形，側面VAB、VCD也是全等的等腰三角形， 在△VBC中，BC邊上的高為h1＝＝＝4， 在△VAB中，AB邊上的高為h2＝＝＝5. 所以此幾何體的側面積S＝2(64＋85)＝40＋24. 點評：高考試題中對面積和體積的考查有三種方式：一是給出三視圖，求其面積或體積；二是與組合體有關的面積和體積的計算；三是在解答題中，作為最后一問，求出幾何體的面積或體積． 3．（xx 山東省煙臺市高三期末統(tǒng)考，文6）已知一個全面積為24的正方體，內(nèi)有一個與每條棱都相切的球，則此球的體積為 ( ) A. B．4π C. D. 解析：設正方體的棱長為a，則6a2＝24，解得a＝2，又球與正方體的每條棱都相切，則正方體的截面對角線長2等于球的直徑，則球的半徑是，則此球的體積為π()3＝π. 答案：D 點評：球與其他幾何體的簡單組合體問題，通常借助于球的截面來明確構成組合體的幾何體的結構特征及其聯(lián)系，本題利用正方體的面的對角線長等于球的直徑這一隱含條件使得問題順利獲解． 1．三個球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的 ( ) A．1倍 B．2倍 C.倍 D.倍 解析：根據(jù)球的表面積等于其大圓面積的4倍，可設最小的一個半徑為r，則另兩個為2r、3r，所以各球的表面積分別為4πr2、16πr2、36πr2，＝(倍)． 答案：C 2．（xx天津高考，理12）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為__________． 解析：長方體的對角線為＝，則球的半徑為，則球的表面積為4π()2＝14π. 答案：14π 3．一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為4π，則該正方體的表面積為__________． 解析：4π＝R3，∴R＝(R為球的半徑)． ∴a＝2R＝2. ∴a＝2(a為正方體棱長)． ∴S表＝6a2＝24. 答案：24 4.如下圖所示，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證： (1)球的體積等于圓柱體積的； (2)球的表面積等于圓柱的側面積． 活動：學生思考圓柱和球的結構特征，并展開空間想象．教師可以使用信息技術幫助學生讀懂圖形． 證明：(1)設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R. 則有V球＝πR3，V圓柱＝πR22R＝2πR3， 所以V球＝V圓柱． (2)因為S球＝4πR2，S圓柱側＝2πR2R＝4πR2，所以S球＝S圓柱側． 5．養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉庫的底面直徑為12 m，高4 m．養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4 m(高不變)；二是高度增加4 m(底面直徑不變)． (1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積； (2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的側面積； (3)哪個方案更經(jīng)濟些？ 解：(1)如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16 m，則倉庫的體積 V1＝Sh＝π()24＝π(m3)． 如果按方案二，倉庫的高變成8 m，則倉庫的體積V2＝Sh＝π()28＝π(m3)． (2)如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16 m，半徑為8 m．棱錐的母線長為l＝＝4. 則倉庫的表面積S1＝π84＝32π(m2)． 如果按方案二，倉庫的高變成8 m，棱錐的母線長為l＝＝10， 則倉庫的側面積S2＝π610＝60π(m2)． (3)∵V2>V1，S2
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