2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)教案 新人教A版必修4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)教案 新人教A版必修4 教學(xué)分析 學(xué)生已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù),它是用直角三角形邊長(zhǎng)的比來刻畫的.銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系.任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關(guān)系了.因此,與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣,學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù),關(guān)鍵是要使學(xué)生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),并能用三角函數(shù)描述一些簡(jiǎn)單的周期變化規(guī)律,解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題. 本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子,利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù).由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系,使得我們?cè)谟懻撊呛瘮?shù)的問題時(shí),對(duì)于研究哪些問題以及用什么方法研究這些問題等,都可以從圓的性質(zhì)(特別是對(duì)稱性)中得到啟發(fā).三角函數(shù)的研究中,數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用. 利用信息技術(shù),可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)、單位圓中的三角函數(shù)線之間的聯(lián)系,并在角的變化過程中,將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來.所以,信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì).激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情,培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神;通過學(xué)生之間、師生之間的交流合作,實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境. 三維目標(biāo) 1.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義,理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù),并從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識(shí)正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào). 2.通過對(duì)任意角的三角函數(shù)定義的理解,掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等. 3.正確利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來,即用正弦線、余弦線、正切線表示出來. 4.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問題. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):任意角的正弦、余弦、正切的定義,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等. 教學(xué)難點(diǎn):用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫三角函數(shù);三角函數(shù)符號(hào);利用與單位圓有關(guān)的有向線段,將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示. 課時(shí)安排 2課時(shí) 教學(xué)過程 第1課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1.我們把角的范圍推廣了,銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎?譬如三角形內(nèi)角和為180,那么sin200的值還是三角形中200的對(duì)邊與斜邊的比值嗎?類比角的概念的推廣,怎樣修正三角函數(shù)定義?由此展開新課.另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義,然后再在適當(dāng)時(shí)機(jī)聯(lián)系銳角三角函數(shù),這也是一種不錯(cuò)的選擇. 思路2.教師先讓學(xué)生看教科書上的“思考”,通過這個(gè)“思考”提出用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的問題,以引導(dǎo)學(xué)生回憶銳角三角函數(shù)概念,體會(huì)引進(jìn)象限角概念后,用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比表示銳角三角函數(shù)的意義,從而為定義任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ).教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前,作了如下鋪墊:直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)→象限角為載體的銳角三角函數(shù)→單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的銳角三角函數(shù). 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 問題①:在初中時(shí)我們學(xué)了銳角三角函數(shù),你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎? 問題②:你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎? 活動(dòng):教師提出問題,學(xué)生口頭回答,突出它是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù),教師并對(duì)回答正確的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)回答不出來的同學(xué)給予提示和鼓勵(lì).然后教師在黑板上畫出直角三角形. 教師提示:前面我們對(duì)角的概念已經(jīng)進(jìn)行了擴(kuò)充,并且學(xué)習(xí)了弧度制,知道了角的集合與實(shí)數(shù)集是一一對(duì)應(yīng)的,在此基礎(chǔ)上,我們來研究任意角的三角函數(shù).教師在直角三角形所在的平面上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,畫出角α的終邊;學(xué)生給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),并用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù). 圖1 如圖1,設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在α的終邊上任取一點(diǎn)P(a,b),它與原點(diǎn)的距離>0.過P作x軸的垂線,垂足為M,則線段OM的長(zhǎng)度為a,線段MP的長(zhǎng)度為b. 根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義,我們有 sinα==,cosα==,tanα==. 討論結(jié)果: ①銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量,邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù). ②sinα==,cosα==,tanα==. 提出問題 問題①:如果改變終邊上的點(diǎn)的位置,這三個(gè)比值會(huì)改變嗎?為什么? 問題②:你利用已學(xué)知識(shí)能否通過取適當(dāng)點(diǎn)而將上述三角函數(shù)的表達(dá)式簡(jiǎn)化? 活動(dòng):教師先讓學(xué)生們相互討論,并讓他們動(dòng)手畫畫圖形,看看從圖形中是否能找出某種關(guān)系來.然后提問學(xué)生,由學(xué)生回答教師的問題,教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn),計(jì)算一下對(duì)應(yīng)的比值,獲得具體認(rèn)識(shí),并由相似三角形的性質(zhì)來證明.最后可以發(fā)現(xiàn),由相似三角形的知識(shí),對(duì)于確定的角α,這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變. 過圖形教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比,學(xué)生通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡(jiǎn)化. 此時(shí)sinα==b,cosα==a,tanα==. 在引進(jìn)弧度制時(shí)我們看到,在半徑為單位長(zhǎng)度的圓中,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)(符號(hào)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定).在直角坐標(biāo)系中,我們稱以原點(diǎn)O為圓心,以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓.這樣,上述P點(diǎn)就是α的終邊與單位圓的交點(diǎn).銳角三角函數(shù)可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示. 同樣地,我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù). 圖2 如圖2所示,設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么: (1)y叫做α的正弦,記作sinα,即sinα=y; (2)x叫做α的余弦,記作cosα,即cosα=x; (3)叫做α的正切,記作tanα,即tanα=(x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù). 教師出示定義后,可讓學(xué)生解釋一下定義中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.教師應(yīng)指出任意角的正弦、余弦、正切的定義是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn).用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù),與學(xué)生在銳角三角函數(shù)學(xué)習(xí)中建立的已有經(jīng)驗(yàn)有一定的距離,與學(xué)生在數(shù)學(xué)必修一的學(xué)習(xí)中建立起來的經(jīng)驗(yàn)也有一定的距離.學(xué)生熟悉的函數(shù)y=f(x)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng),而這里給出的三角函數(shù)首先是實(shí)數(shù)(弧度數(shù))到點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),然后才是實(shí)數(shù)(弧度數(shù))到實(shí)數(shù)(橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo))的對(duì)應(yīng),這就給學(xué)生的理解造成一定的困難.教師在教學(xué)中可以在學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)已有的幾何直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯(lián)系,在直角坐標(biāo)系中考查銳角三角函數(shù),得出用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)(比值)表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論,然后再“特殊化”引出用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論.在此基礎(chǔ)上,再定義任意角的三角函數(shù). 在導(dǎo)學(xué)過程中教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意,盡管我們從銳角三角函數(shù)出發(fā)來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù),但任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間并沒有一般與特殊的關(guān)系.教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)使學(xué)生體會(huì)到,用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù),不僅簡(jiǎn)單、方便,而且反映本質(zhì). 教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么,對(duì)應(yīng)關(guān)系有什么特點(diǎn),函數(shù)值是什么.特別注意α既表示一個(gè)角,又是一個(gè)實(shí)數(shù)(弧度數(shù)).“它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)”包含兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系.從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù).(2)sinα不是sin與α的乘積,而是一個(gè)比值;三角函數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體,離開自變量的“sin”“tan”等是沒有意義的. 討論結(jié)果:①這三個(gè)比值與終邊上的點(diǎn)的位置無關(guān),根據(jù)初中學(xué)過的三角函數(shù)定義,有 sinα==,cosα==, tanα==. 由相似三角形的知識(shí),對(duì)于確定的角α,這三個(gè)比值不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變. ②能. 提出問題 問題①:學(xué)習(xí)了任意角,并利用單位圓表示了任意角的三角函數(shù),引入一個(gè)新的函數(shù),我們可以對(duì)哪些問題進(jìn)行討論? 問題②:根據(jù)三角函數(shù)的定義,正弦、余弦、正切的定義域、值域是怎樣的? 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合在數(shù)學(xué)必修一中的有關(guān)函數(shù)的問題,讓學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí),并總結(jié)回答老師的問題,教師對(duì)學(xué)生總結(jié)的東西進(jìn)行提問,并對(duì)回答正確的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),回答不正確或者不全面的學(xué)生給予提示和補(bǔ)充.教師讓學(xué)生完成教科書上的“探究”,教師提問或讓學(xué)生上黑板板書. 按照這樣的思路,我們一起來探究如下問題:請(qǐng)根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表,再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)填入圖3中的括號(hào)內(nèi). 三角函數(shù) 定義域 sinα cosα tanα 圖3 教師要注意引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā),利用坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征得定義域、函數(shù)值的符號(hào)等結(jié)論.對(duì)于正弦函數(shù)sinα=y,因?yàn)閥恒有意義,即α取任意實(shí)數(shù),y恒有意義,也就是說sinα恒有意義,所以正弦函數(shù)的定義域是R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域;對(duì)于正切函數(shù)tanα=,因?yàn)閤=0時(shí),無意義,即tanα無意義,又當(dāng)且僅當(dāng)角α的終邊落在縱軸上時(shí),才有x=0,所以當(dāng)α的終邊不在縱軸上時(shí),恒有意義,即tanα恒有意義,所以正切函數(shù)的定義域是α≠ +kπ(k∈Z).(由學(xué)生填寫下表) 三角函數(shù) 定義域 sinα R cosα R tanα {α|α≠+kπ,k∈Z} 三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),取決于x,y的符號(hào),當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí),縱坐標(biāo)y>0,點(diǎn)P在第三、四象限時(shí),縱坐標(biāo)y<0,所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的,對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的(可制作課件展示);同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負(fù)的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負(fù)的.從而完成上面探究問題.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 討論結(jié)果:①定義域、值域、單調(diào)性等. ②y=sinα與y=cosα的定義域都是全體實(shí)數(shù)R,值域都是[-1,1].y=tanα的定義域是{α｜α≠ +kπ(k∈Z)},值域是R. 應(yīng)用示例 思路1 例1 已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值. 活動(dòng):教師留給學(xué)生一定的時(shí)間,學(xué)生獨(dú)立思考并回答.明確可以用角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來定義任意角的三角函數(shù),但用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義,既不失一般性,又簡(jiǎn)單,更容易看清對(duì)應(yīng)關(guān)系.教師要點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生習(xí)慣畫圖,充分利用數(shù)形結(jié)合,但要提醒學(xué)生注意α角的任意性.如圖4,設(shè)α是一個(gè)任意角,P(x,y)是α終邊上任意一點(diǎn),點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離r=>0,那么: 圖4 ①叫做α的正弦,即sinα=; ②叫做α的余弦,即cosα=; ③叫做α的正切,即tanα=(x≠0). 這樣定義三角函數(shù),突出了點(diǎn)P的任意性,說明任意角α的三角函數(shù)值只與α有關(guān),而與點(diǎn)P在角的終邊上的位置無關(guān),教師要讓學(xué)生充分思考討論后深刻理解這一點(diǎn). 解:由已知,可得OP0==5. 圖5 如圖5,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y).分別過點(diǎn)P、P0作x軸的垂線MP、M0P0,則|M0P 0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0, 于是sinα=y====; cosα=x====; tanα===. 點(diǎn)評(píng):本例是已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求角α的三角函數(shù)值問題.可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上,再由定義得解. 變式訓(xùn)練 求的正弦、余弦和正切值. 圖6 解:在平面直角坐標(biāo)系中,作∠AOB=,如圖6. 易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,), 所以sin=,cos=,tan=. 例2 求證:當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí),角θ為第三象限角. 活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生討論驗(yàn)證在不同的象限內(nèi)各個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)有什么樣的關(guān)系,提示學(xué)生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內(nèi)在的關(guān)系.可以知道:三角函數(shù)的定義告訴我們,各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),取決于x,y的符號(hào),當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí),縱坐標(biāo)y>0,點(diǎn)P在第三、四象限時(shí),縱坐標(biāo)y<0,所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的,對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的;同樣地,余弦函數(shù)在第一、四象限是正的,在第二、三象限是負(fù)的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的,在第二、四象限是負(fù)的. 證明:我們證明如果①②式都成立,那么θ為第三象限角. 因?yàn)棰賡inθ<0成立,所以θ角的終邊可能位于第三或第四象限,也可能位于y軸的非正半軸上; 又因?yàn)棰谑絫anθ>0成立,所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限. 因?yàn)棰佗谑蕉汲闪?所以θ角的終邊只能位于第三象限. 于是角θ為第三象限角. 反過來請(qǐng)同學(xué)們自己證明. 點(diǎn)評(píng):本例的目的是認(rèn)識(shí)不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào),其條件以一個(gè)不等式出現(xiàn),在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生把問題的條件、結(jié)論弄清楚,然后再給出證明.這一問題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力. 變式訓(xùn)練 (xx北京高考)已知cosθtanθ<0,那么角θ是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 答案:C 例3 求下列三角函數(shù)值: (1)sin390;(2)cos;(3)tan(-330). 活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)終邊相同角的表示法有什么特點(diǎn),終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍,那么這些角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系?為什么? 引導(dǎo)學(xué)生從角的終邊的關(guān)系到角之間的關(guān)系再到函數(shù)值之間的關(guān)系進(jìn)行討論,然后再用三角函數(shù)的定義證明. 由三角函數(shù)的定義,可以知道:終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.由此得到一組公式(公式一): sin(α+k2π)=sinα, cos(α+k2π)=cosα, tan(α+k2π)=tanα, 其中k∈Z. 利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求0到2π(或0到360)角的三角函數(shù)值.這個(gè)公式稱為三角函數(shù)的“誘導(dǎo)公式一”. 解:(1)sin390=sin(360+30)=sin30=; (2)cosπ=cos(2π+π)=cosπ=; (3)tan(-330)=tan(-360+30)=tan30=. 點(diǎn)評(píng):本題主要是對(duì)誘導(dǎo)公式一的考查,利用公式一將任意角都轉(zhuǎn)化到0—2π范圍內(nèi)求三角函數(shù)的值. 思路2 例1 已知角α的終邊在直線y=-3x上,則10sinα+3secα=. 活動(dòng):要讓學(xué)生獨(dú)立思考這一題目,本題雖然是個(gè)填空題,看似簡(jiǎn)單但內(nèi)含分類討論思想,可以找兩個(gè)學(xué)生來板演這個(gè)例題.對(duì)解答思路正確的學(xué)生給以鼓勵(lì),對(duì)思路受阻的學(xué)生要引導(dǎo)其思路的正確性.并適時(shí)地點(diǎn)撥學(xué)生:假如是個(gè)大的計(jì)算題應(yīng)該怎樣組織步驟. 解:設(shè)角α終邊上任一點(diǎn)為P(k,-3k)(k≠0),則 x=k,y=-3k,r==｜k｜. (1)當(dāng)k>0時(shí),r=,α是第四象限角, sinα===,secα===, ∴10sinα+3secα=10+3=-3+3=0. (2)當(dāng)k<0時(shí),r=,α為第二象限角, sinα===,secα===, ∴10sinα+3secα=10+3()=3-3=0. 綜合以上兩種情況均有10sinα+3secα=0. 點(diǎn)評(píng):本題的解題關(guān)鍵是要清楚當(dāng)k>0時(shí),P(k,-3k)是第四象限內(nèi)的點(diǎn),角α的終邊在第四象限;當(dāng)k<0時(shí),P(k,-3k)是第二象限內(nèi)的點(diǎn),角α的終邊在第二象限內(nèi),這與角α的終邊在y=-3x上是一致的. 變式訓(xùn)練 設(shè)f(x)=sinx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值. 解:∵f(1)=sin=,f(2)=sin=,f(3)=sinπ=0, f(4)=sin=,f(5)=sin=,f(6)=sin2π=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0. 而f(7)=sin=sin,f(8)=sin=sin,…,f(12)=sin=sin2π, ∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0. 同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0. 求函數(shù)y=+tanα的定義域. 活動(dòng):讓學(xué)生先回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點(diǎn),并讓學(xué)生歸納出一些常見函數(shù)有意義的要求,根據(jù)函數(shù)有意義的特征來求自變量的范圍.對(duì)于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時(shí)要結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行.求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時(shí),正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略,教師提醒學(xué)生應(yīng)引起注意這種情況.同時(shí),函數(shù)的定義域是一個(gè)集合,所以結(jié)論要用集合形式表示. 解:要使函數(shù)y=+tanα有意義,則sinα≥0且α≠kπ+(k∈Z). 由正弦函數(shù)的定義知道,sinα≥0就是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)非負(fù). ∴角α的終邊在第一、二象限或在x軸上或在y軸非負(fù)半軸上,即2kπ≤α≤π+2kπ(k∈Z). ∴函數(shù)的定義域是{α｜2kπ≤α<+2kπ或+2kπ<α≤(2k+1)π,k∈Z}. 點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵是弄清楚要使函數(shù)式有意義,必須sinα≥0,且tanα有意義,由此推導(dǎo)出α的取值范圍就是函數(shù)的定義域. 變式訓(xùn)練 求下列函數(shù)的定義域: (1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx; (3)y=;(4)y=+tanx. 解:(1)∵使sinx,cosx有意義的x∈R,∴y=sinx+cosx的定義域?yàn)镽. (2)要使函數(shù)有意義,必須使sinx與tanx有意義.∴有 ∴函數(shù)y=sinx+tanx的定義域?yàn)閧x｜x≠kπ+,k∈Z}. (3)要使函數(shù)有意義,必須使tanx有意義,且tanx≠0. ∴有(k∈Z), ∴函數(shù)y=的定義域?yàn)閧x｜x≠,k∈Z}. (4)當(dāng)sinx≥0且tanx有意義時(shí),函數(shù)有意義, ∴有(k∈Z). ∴函數(shù)y=+tanx的定義域?yàn)? ［2kπ,2kπ+)∪(2kπ+,(2k+1)π］(k∈Z). 知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí). 解答: 1.sin=;cos=;tan= 點(diǎn)評(píng):根據(jù)定義求某個(gè)特殊角的三角函數(shù)值. 2.sinθ=;cosθ=;tanθ=. 點(diǎn)評(píng):已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),由定義求角α的三角函數(shù)值. 3. 角α 0 90 180 270 360 角α的弧度數(shù) 0 Π 2π sinα 0 1 0 -1 0 cosα 1 0 -1 0 1 tanα 0 不存在 0 不存在 0 點(diǎn)評(píng):熟悉特殊角的三角函數(shù)值,并進(jìn)一步地理解公式一. 4.當(dāng)α為鈍角時(shí),cosα和tanα取負(fù)值. 點(diǎn)評(píng):認(rèn)識(shí)與三角形內(nèi)角有關(guān)的三角函數(shù)值的符號(hào). 5.(1)正;(2)負(fù);(3)零;(4)負(fù);(5)正;(6)正. 點(diǎn)評(píng):認(rèn)識(shí)不同位置的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào). 6.(1)①③或①⑤或③⑤;(2)①④或①⑥或④⑥; (3)②④或②⑤或④⑤;(4)②③或②⑥或③⑥. 點(diǎn)評(píng):認(rèn)識(shí)不同象限的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào). 7.(1)0.874 6;(2);(3)0.5;(4)1. 點(diǎn)評(píng):求三角函數(shù)值,并進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的定義及公式一. 課堂小結(jié) 本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義,并且討論了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,任意角的三角函數(shù)實(shí)質(zhì)上是銳角三角函數(shù)的擴(kuò)展,是將銳角三角函數(shù)中邊的比變?yōu)樽鴺?biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)的比,記憶方法可用銳角三角函數(shù)類比記憶,至于三角函數(shù)的定義域可由三角函數(shù)的定義分析得到.本節(jié)課我們重點(diǎn)討論了兩個(gè)內(nèi)容,一是三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),二是一組公式,兩者的作用分別是:前者確定函數(shù)值的符號(hào),后者將任意角的三角函數(shù)化為0到360角的三角函數(shù),這兩個(gè)內(nèi)容是我們?nèi)蘸髮W(xué)習(xí)的基礎(chǔ),經(jīng)常要用,請(qǐng)同學(xué)們熟記. 作業(yè) 課本習(xí)題1.2A組題1—9. 設(shè)計(jì)感想 關(guān)于三角函數(shù)定義法,總的說來就兩種:“單位圓定義法”與“終邊定義法”.這兩種方法本質(zhì)上是一致的.正因?yàn)榇?各種數(shù)學(xué)出版物中,兩種定義方法都有采用.在學(xué)習(xí)本節(jié)的過程中可以與初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義進(jìn)行類比、學(xué)習(xí).理解任意角三角函數(shù)的定義不但是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵,也是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵.在教學(xué)中,教師應(yīng)該充分調(diào)動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考和總結(jié)的能力,以鞏固對(duì)知識(shí)的理解和掌握. 教師在教學(xué)中,始終引導(dǎo)學(xué)生緊扣三角函數(shù)的定義,善于利用數(shù)形結(jié)合.在利用三角函數(shù)定義進(jìn)行求值時(shí),應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)要注意橫向聯(lián)系,即不僅僅能求出該值,還要善于觀察該值與其他三角函數(shù)值之間的聯(lián)系,找出規(guī)律來求解. (設(shè)計(jì)者：房增鳳) 第2課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1.(情境導(dǎo)入)同學(xué)們都在一些旅游景地或者在公園中見過大觀覽車,大家是否想過大觀覽車在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,座椅離地面的高度隨著轉(zhuǎn)動(dòng)角度的變化而變化,二者之間有怎樣的相依關(guān)系呢? 思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們研究了三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào),學(xué)習(xí)了將任意角的三角函數(shù)化成0—360角的三角函數(shù)的一組公式,前面還分析討論了三角函數(shù)的定義域,這些內(nèi)容的研究,都是建立在任意角的三角函數(shù)定義之上的,這些知識(shí)在以后我們繼續(xù)學(xué)習(xí)“三角”內(nèi)容時(shí),是經(jīng)常、反復(fù)運(yùn)用的,請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必在理解的基礎(chǔ)上要加強(qiáng)記憶.由三角函數(shù)的定義我們知道,對(duì)于角α的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的,或者說是用數(shù)來表示的,今天我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法——幾何表示法.我們知道,直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).因此自然產(chǎn)生一個(gè)想法是以坐標(biāo)軸的方向來規(guī)定有向線段的方向,以使它們的取值與點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 問題①:回憶上節(jié)課學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義并思考:三角函數(shù)的定義能否用幾何中的方法來表示,應(yīng)怎樣表示呢? 問題②:回憶初中學(xué)過的線段,若加上方向會(huì)怎樣呢?什么是有向線段? 活動(dòng):指導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出單位圓,設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y),x軸的正半軸與單位圓相交于A(1,0),過P作x軸的垂線,垂足為M;過A作單位圓的切線,這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行),設(shè)它與角α的終邊或其反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)T.教師點(diǎn)撥學(xué)生觀察線段的方向與點(diǎn)P的坐標(biāo).顯然,線段OM的長(zhǎng)度為|x|,線段MP的長(zhǎng)度為|y|,它們都只能取非負(fù)值. 當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段: 如果x>0,OM與x軸同向,規(guī)定此時(shí)OM具有正值x;如果x<0,OM與x軸正向相反(即反向),規(guī)定此時(shí)OM具有負(fù)值x,所以不論哪一種情況,都有OM=x. 如果y>0,把MP看作與y軸同向,規(guī)定此時(shí)MP具有正值y;如果y<0,把MP看作與y軸反向,規(guī)定此時(shí)MP具有負(fù)值y,所以不論哪一種情況,都有MP=y. 引導(dǎo)學(xué)生觀察OM、MP都是帶有方向的線段,這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段. 于是,根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義,就有 sinα===y=MP, cosα===x=OM. 這兩條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM分別叫做角α的正弦線、余弦線. 類似地,我們把OA、AT也看作有向線段,那么根據(jù)正切函數(shù)的定義和相似三角形的知識(shí),就有tanα===AT. 這條與單位圓有關(guān)的有向線段AT,叫做角α的正切線. 討論結(jié)果:①能. ②被看作帶有方向的線段叫做有向線段. 提出問題 問題①:怎樣把三角函數(shù)線與有向線段聯(lián)系在一起? 問題②:正弦線、余弦線、正切線在平面直角坐標(biāo)系中是怎樣規(guī)定的?當(dāng)角α的終邊變化時(shí),它們有什么變化? 活動(dòng):師生共同討論,最后一致得出以下幾點(diǎn): (1)當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí),余弦線變成一個(gè)點(diǎn),正切線不存在. (2)當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí),正弦線、正切線都變成點(diǎn). (3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關(guān)的有向線段,所以作某角的三角函數(shù)線時(shí),一定要先作單位圓. (4)線段有兩個(gè)端點(diǎn),在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時(shí),要先寫起點(diǎn)字母,再寫終點(diǎn)字母,不能顛倒;或者說,含原點(diǎn)的線段,以原點(diǎn)為起點(diǎn),不含原點(diǎn)的線段,以此線段與x軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn). (5)三種有向線段的正負(fù)與坐標(biāo)軸正反方向一致,三種有向線段的數(shù)量與三種三角函數(shù)值相同. 正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線. 討論結(jié)果:①略. ②略. 示例應(yīng)用 思路1 例1 如圖7,α,β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P,Q,過A(1,0)作切線AT,交 圖7 射線OP于點(diǎn)T,交射線OQ的反向延長(zhǎng)線于T′,點(diǎn)P、Q在x軸上的射影分別為點(diǎn)M、N,則 sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________,sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________. 活動(dòng):根據(jù)三角函數(shù)線的定義可知,sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT,sinβ=NQ,cosβ =ON,tanβ=AT′. 答案:MP OM AT NQ ON AT′ 點(diǎn)評(píng):掌握三角函數(shù)線的作法,注意用有向線段表示三角函數(shù)線時(shí),字母的書寫順序不能隨意顛倒. 變式訓(xùn)練 利用三角函數(shù)線證明｜sinα｜+｜c(diǎn)osα｜≥1. 解:當(dāng)α的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí),正弦(或余弦)線變成一個(gè)點(diǎn),而余弦(或正弦)線的長(zhǎng)等于r,所以｜sinα｜+｜c(diǎn)osα｜=1. 當(dāng)角α終邊落在四個(gè)象限時(shí),利用三角形兩邊之和大于第三邊有｜sinα｜+｜c(diǎn)osα｜=｜OM｜+｜MP｜>1,∴｜sinα｜+｜c(diǎn)osα｜≥1. 例2 在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊或終邊所在的范圍,并由此寫出角α的集合:(1)sinα=;(2)sinα≥. 活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生畫出單位圓,對(duì)于(1),可設(shè)角α的終邊與單位圓交于A(x,y),則sinα=y,所以要作出滿足sinα=的終邊,只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為的點(diǎn)A,則OA即為角α的終邊;對(duì)于(2),可先作出滿足sinα=的角的終邊,然后根據(jù)已知條件確定角α的范圍. 圖8 解:(1)作直線y=交單位圓于A與B兩點(diǎn),連結(jié)OA,OB,則OA與OB為角α的終邊,如圖8所示. 故滿足條件的角α的集合為{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}. (2)作直線y=交單位圓于A與B兩點(diǎn),連結(jié)OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖中的陰影部分)即為角α的終邊所在的范圍. 故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}. 點(diǎn)評(píng):在解簡(jiǎn)單的特殊值(如,等)的等式或不等式時(shí),應(yīng)首先在單位圓內(nèi)找到對(duì)應(yīng)的終邊(作縱坐標(biāo)為特殊值的直線與單位圓相交,連結(jié)交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)作射線),一般情況下,用(0,2π)內(nèi)的角表示它,然后畫出滿足原等式或不等式的區(qū)域,用集合表示出來. 變式訓(xùn)練 已知sinα≥,求角α的集合. 解:作直線y=交單位圓于點(diǎn)P,P′,則sin∠POx=sin∠P′Ox=,在［0,2π)內(nèi)∠POx=,∠P′Px=. ∴滿足條件的集合為{α｜2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}. 思路2 例1 求下列函數(shù)的定義域: (1)y=logsinx (2cosx+1);(2)y=lg(3-4sin2x). 活動(dòng):先引導(dǎo)學(xué)生求出x所滿足的條件,這點(diǎn)要提醒學(xué)生注意,研究函數(shù)必須在自變量允許的范圍內(nèi)研究,否則無意義.再利用三角函數(shù)線畫出滿足條件的角x的終邊范圍.求解時(shí),可根據(jù)各種約束條件,利用三角函數(shù)線畫出角x滿足條件的終邊范圍,寫出適合條件的x的取值集合. 解:(1)由題意,得 則(k∈Z). ∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kπ0,∴sin2x<.∴1;(2)sin2α+cos2α=1. 圖12 證明:如圖12,記角α與單位圓的交點(diǎn)為P,過P作PM⊥x軸于M,則sinα=MP,cosα=OM. (1)在Rt△OMP中,MP+OM>OP,即sinα+cosα>1. (2)在Rt△OMP中,MP2+OM2=OP2,即sin2α+cos2α=1. 2.求下列函數(shù)的定義域: (1)y=;(2)y=. 答案:(1)x∈[kπ-,kπ+],k∈Z. (2)x∈［+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ, +2kπ］,k∈Z. 設(shè)計(jì)感想 對(duì)于三角函數(shù)線,開始時(shí)學(xué)生可能不是很理解,教師應(yīng)該充分發(fā)揮好圖象的直觀作用,讓學(xué)生通過圖形來感知、了解三角函數(shù)線的定義.在學(xué)生理解了正弦線、余弦線、正切線的定義后,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生會(huì)利用三角函數(shù)線來發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì).以便為以后更好地學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)打下良好的基礎(chǔ).教師要讓學(xué)生對(duì)三角函數(shù)線了解即可,要讓學(xué)生利用任意角的三角函數(shù)線來感知對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),不要再向深處挖掘,因?yàn)槿呛瘮?shù)線能解決的問題都可以用三角函數(shù)的圖象來解決.教師在教學(xué)中要搞好師生互動(dòng),讓學(xué)生自己動(dòng)腦、動(dòng)手,多啟發(fā)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力,讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考和歸納總結(jié)知識(shí)的能力.