2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 第2節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用（4）教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 第2節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用（4）教案 新人教A版必修1 教學(xué)分析　　　　　 本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)1必修(A版)》第三章的3.2.2“函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例”，即建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題． 函數(shù)模型的應(yīng)用是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它主要包含三個(gè)方面：利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題，建立確定性函數(shù)模型解決問題，建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題．而建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題是其重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．函數(shù)模型的應(yīng)用教學(xué)，既有不可替代的位置，又有重要的現(xiàn)實(shí)意義． 本節(jié)通過實(shí)例來說明函數(shù)模型的應(yīng)用，是因?yàn)楹瘮?shù)模型本身就來源于現(xiàn)實(shí)，能給學(xué)生提供更多從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)或建立數(shù)學(xué)模型的機(jī)會，并體會數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值．因此在中學(xué)教學(xué)中有重要的地位． 學(xué)情分析　　　　　 學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解了函數(shù)的圖象與性質(zhì)之間的關(guān)系，尤其是學(xué)習(xí)了3.2.1幾類不同的函數(shù)增長模型和3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例．學(xué)會了如何利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題，建立確定性函數(shù)模型解決問題，已經(jīng)具備了一定的函數(shù)模型應(yīng)用能力．這為理解建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題提供了基礎(chǔ)，也為深入理解如何建立合適的擬合函數(shù)模型提供了依據(jù)．但學(xué)生對于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)認(rèn)識薄弱，對于綜合應(yīng)用函數(shù)圖象與性質(zhì)尚不夠熟練，這些都給學(xué)生選擇合適的模型造成一定的困難．因此，在教學(xué)時(shí)應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的問題情境，充分利用學(xué)生熟悉的函數(shù)圖象來選擇合適的模型．引導(dǎo)學(xué)生觀察、計(jì)算、思考和理解問題的本質(zhì)． 教學(xué)目標(biāo)　　　　　 知識與技能：了解函數(shù)擬合的基本思想，學(xué)會建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題． 過程與方法：借助信息技術(shù)，利用數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖象，從擬合簡單的一次函數(shù)模型入手，掌握多角度觀察函數(shù)圖象的技能，探究出各種合適的擬合函數(shù)模型．在建構(gòu)知識的過程中體會數(shù)形結(jié)合的思想與從特殊到一般的歸納思想． 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：體驗(yàn)探究的樂趣，體驗(yàn)函數(shù)是描述變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力． 重點(diǎn)與難點(diǎn)　　　　　 重點(diǎn)：將實(shí)際問題化為函數(shù)模型，建立合適的擬合函數(shù)模型解決簡單的實(shí)際問題． 難點(diǎn)：如何建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來解決實(shí)際問題． 設(shè)計(jì)思想 一、創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境，引出問題 前面我們學(xué)習(xí)過兩種函數(shù)模型的應(yīng)用，分別是利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題，建立確定性的函數(shù)模型解決問題，那么在既沒有給出函數(shù)模型又無法建立確定性函數(shù)模型的情況下，又該如何解決實(shí)際問題呢？ 二、組織探究 例1下表是我校從實(shí)施研究性學(xué)習(xí)以來，高一年級段學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)小論文在我市每年一次的評比中獲獎(jiǎng)的相關(guān)數(shù)據(jù)． 年份 1 2 3 4 5 篇數(shù) 14 21 27 35 41 請描點(diǎn)畫出獲獎(jiǎng)篇數(shù)隨年份變化的圖象，并寫出一個(gè)能基本反映這個(gè)變化現(xiàn)象的函數(shù)解析式． 設(shè)計(jì)意圖 以學(xué)生熟悉的實(shí)際問題為背景，激活學(xué)生的原有知識，形成學(xué)生的“再創(chuàng)造”欲望，讓學(xué)生在熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識，使新知識和原知識形成聯(lián)系，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值． 探究： (1)組織學(xué)生讀、議，小組討論該如何分析題目？ ①列表 c1 c2 c3 c4 c5 c6 1 14 2 21 3 27 4 35 5 41 ②描點(diǎn) 圖1 ③根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可以考慮以一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)作為描繪篇數(shù)與年份的變化趨勢． 取(1,14)，(4,35)，有 解得這樣，我們就得到函數(shù)模型y＝7x＋7. 作出此模型函數(shù)圖象如下： 圖2 根據(jù)上述圖象，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映我校獲獎(jiǎng)篇數(shù)與年份的變化趨勢. 變式訓(xùn)練 我校自實(shí)施研究性學(xué)習(xí)以來，全校三個(gè)年級段學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)小論文在我市每年一次的評比中第1年、第2年、第3年的獲獎(jiǎng)篇數(shù)分別是52、61、68.為了預(yù)測以后每年的獲獎(jiǎng)篇數(shù)，甲同學(xué)選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙同學(xué)選擇了模型y＝pqx＋r，其中y為篇數(shù)，x為年份．a(chǎn)，b，c，p，q，r都是常數(shù)．結(jié)果第4年、第5年、第6年的獲獎(jiǎng)篇數(shù)分別為74、78、83，你認(rèn)為誰選擇的模型較好？探究組織學(xué)生讀、議，小組討論分析、解決問題．  　解：(1)列表 c1 c2 c3 c4 c5 c6 1 52 2 61 3 68 4 74 5 78 6 83 (2)畫散點(diǎn)圖 圖3 (3)確定函數(shù)模型 由前三組數(shù)據(jù)，用計(jì)算器確定函數(shù)模型： 甲：y1＝－x2＋12x＋41； 乙：y2＝－52.070.778x＋92.5. (4)作出函數(shù)圖象進(jìn)行比較 計(jì)算x＝6時(shí)，y1＝77，y2＝80.9. 圖4 可見，乙同學(xué)選擇的模型較好. 設(shè)計(jì)意圖 此變式訓(xùn)練是為進(jìn)一步鞏固例1的擬合函數(shù)思想，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)意識與提高解決問題能力． 例2我校不同身高的男、女同學(xué)的體重平均值如下表： 身高/cm 150 152 154 156 158 160 162 164 166 168 170 172 體重/kg 42.9 44.8 46.5 48.5 50.2 52.3 54.2 56.6 59.1 61.4 63.8 66.2 (1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映我校同學(xué)體重y kg與身高x cm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式． (2)若體重超過相同身高的同學(xué)體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，下面請各位同學(xué)對照擬合函數(shù)模型來測算自己的體重是否正常？ 設(shè)計(jì)意圖 本例題以學(xué)生熟悉的問題出發(fā)再創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再次引發(fā)學(xué)生構(gòu)建自身基礎(chǔ)上的“再創(chuàng)造”，并通過小組合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識． 問題(1)的探究： ①通過學(xué)生自主活動(dòng)分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)本題只給出了通過測量得到的數(shù)據(jù)表，要想由這些數(shù)據(jù)直接發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型是困難的． ②教師引導(dǎo)學(xué)生將表中的數(shù)據(jù)輸入計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，畫出它們的散點(diǎn)圖．教師提問所作散點(diǎn)圖與已知的哪個(gè)函數(shù)圖象最接近，從而選擇這個(gè)函數(shù)模型． 圖5 由圖可發(fā)現(xiàn)指數(shù)型函數(shù)y＝abx的圖象可能與散點(diǎn)圖的吻合較好，可選之． ③教師再問：如何確定擬合函數(shù)模型中a，b值． ④教師把學(xué)生每4人分成一小組合作探究，求出擬合函數(shù)模型中a，b的值，然后畫出圖形，得到的擬合函數(shù)效果如何？ ⑤教師下去巡視后，請小組中的1名成員上臺到實(shí)物投影處講解． 組1：選取(150,42.9)，(154,46.5)兩組數(shù)據(jù)，用計(jì)算器得a＝0.918，b＝1.026. 從而得函數(shù)解析式為y＝0.9181.026x，畫出這個(gè)函數(shù)圖象與散點(diǎn)圖． 圖6 我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y＝0.9181.026x不能很好地反映我校學(xué)生身高與體重的關(guān)系． 組2：選取(168,61.4)，(172,66.2)兩組數(shù)據(jù)，用計(jì)算器算出a＝3.065，b＝1.018. 這樣得到函數(shù)模型為y＝3.0651.018x，畫出這個(gè)函數(shù)圖象與散點(diǎn)圖． 圖7 我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y＝3.0651.018x不能很好地反映我校學(xué)生身高與體重關(guān)系． 組3：選取(154,46.5)，(168,61.4)兩組數(shù)據(jù)，用計(jì)算器算出a＝2.2，b＝1.02. 這樣得出函數(shù)模型為y＝2.21.02x，畫出這個(gè)函數(shù)圖象與散點(diǎn)圖． 圖8 我們發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)圖上的點(diǎn)基本上或大多數(shù)接近函數(shù)y＝2.21.02x的圖象，所以函數(shù)y＝2.21.02x很好地刻畫了我校學(xué)生身高與體重的關(guān)系． 教師引導(dǎo)學(xué)生回顧問題的特點(diǎn)及解決問題的過程與方法．本題需要判斷選擇的函數(shù)模型與問題所給數(shù)據(jù)的吻合程度，當(dāng)取表中不同的兩組數(shù)據(jù)時(shí)，得到的函數(shù)解析式可能會不一樣，需不斷修正．當(dāng)然本題若運(yùn)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的擬合功能，那么獲得的函數(shù)模型會更精確，下課后同學(xué)們自己試一試，并且本例題體現(xiàn)了一個(gè)完整的建立函數(shù)模型進(jìn)而解決問題的過程． 在教師引導(dǎo)下，請一學(xué)生歸納解決問題的基本過程： 設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思和總結(jié)，并將之一般化，用流程的形式表達(dá)出來，培養(yǎng)了學(xué)生的反思能力及總結(jié)提升的能力． 問題(2)探究： 由于是研究學(xué)生自身的體重問題，因而學(xué)生的興趣很高，每人很快都編好了自己的問題，解答起來．如一男生身高175 cm，體重80 kg，他的計(jì)算如下： 將x＝175代入y＝2.21.02x，得y＝2.21.02175≈70.4. 由于8070.4≈1.136<1.2. 所以，該男生體重正常． 設(shè)計(jì)意圖 采用師生平等對話交流，學(xué)生單獨(dú)完成的模式．因?yàn)楸绢}是測算自己本身體重的問題，所以學(xué)生興趣很高．本題問題難度不大，但意義重大，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的重要素材，即用擬合函數(shù)來預(yù)測自己關(guān)心的日常生活問題，學(xué)生體驗(yàn)過程方式教學(xué)，體現(xiàn)了新課程的理念． 三、練習(xí)反饋 教材本節(jié)練習(xí)1. 學(xué)生完成后在小組中互相批改、交流． 設(shè)計(jì)意圖 本環(huán)節(jié)以個(gè)別指導(dǎo)為主，體現(xiàn)面對全體學(xué)生的理念，使學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)知識、方法，以達(dá)到教學(xué)目標(biāo)． 四、小結(jié)反思 以小組中1人總結(jié)，3人傾聽的方式，對本課內(nèi)容進(jìn)行自主小結(jié)，教師歸納強(qiáng)調(diào)建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本過程． 設(shè)計(jì)意圖 提高學(xué)習(xí)主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)、交流的數(shù)學(xué)能力，自主小結(jié)的形式是將課堂還給學(xué)生，是對所學(xué)內(nèi)容的回顧與梳理． 五、課外作業(yè) 教材習(xí)題3.2A組1題，B組1題． 六、課外實(shí)踐 通過擬合函數(shù)模型看溫州經(jīng)濟(jì)發(fā)展． 上網(wǎng)收集1995～xx年溫州的國內(nèi)生產(chǎn)總值、財(cái)政收支、對外經(jīng)濟(jì)三項(xiàng)數(shù)據(jù)，建立適當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)模型，畫出擬合函數(shù)模型的圖象，并通過擬合函數(shù)圖象來預(yù)測溫州在xx年的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r． 設(shè)計(jì)意圖 課外作業(yè)為鞏固作業(yè)，課外實(shí)踐為拓展作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、提高解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的探究和再創(chuàng)造能力． 教學(xué)流程　　　　　 ——實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生興趣． ↓ ——畫出散點(diǎn)圖，建立模型，體會不同函數(shù)模型擬合的準(zhǔn)確程度． ↓ ——由數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，建立擬合函數(shù)模型，嘗試選擇不同的函數(shù)擬合數(shù)據(jù)并不斷修正． ↓ ——師生交流共同小結(jié)，歸納建立擬合函數(shù)模型應(yīng)用題的求解方法與步驟． ↓ ——強(qiáng)化基本方法及過程，規(guī)范基本格式． ↓ ——收集生活中的具體實(shí)際問題，運(yùn)用擬合函數(shù)思想來解決，培養(yǎng)問題意識及提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力． 知識結(jié)構(gòu)　　　　　 問題探討　　　　　 (1)第三章的3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例是否可以設(shè)置為3課時(shí)，給定的函數(shù)模型、建立確定性函數(shù)模型、建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題各設(shè)置1課時(shí)，這樣可以讓學(xué)生感受到函數(shù)的廣泛應(yīng)用，真實(shí)體驗(yàn)到數(shù)學(xué)是有用的；體現(xiàn)新課程的問題性，應(yīng)用性特點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，更加拓展學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的空間，發(fā)展學(xué)生“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”的意識． (2)在函數(shù)模型的應(yīng)用中，建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題是實(shí)際應(yīng)用最廣泛、學(xué)生最陌生、也是難度最大的，尤其是如何建立適當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)模型來解決實(shí)際問題．建議在教材中是否可安排更多的建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題的例題，加深學(xué)生對如何建立適當(dāng)擬合函數(shù)模型的理解．并在練習(xí)中多安排滲透擬合函數(shù)思想的思考題． 學(xué)習(xí)資源