2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教案 新人教A版.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教案 新人教A版 自主梳理 1．?dāng)?shù)列的定義 按照________________著的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中的______________都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)；在函數(shù)意義下，數(shù)列是________________________的函數(shù)，數(shù)列的一般形式為：______________________，簡(jiǎn)記為{an}，其中an是數(shù)列的第____項(xiàng)． 1．一定順序排列　每一個(gè)數(shù)　定義域?yàn)镹*(或它的子集)a1，a2，a3，…，an，…　n　 2．通項(xiàng)公式： 如果數(shù)列{an}的______與____之間的關(guān)系可以____________來表示，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式．但并非每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，也并非都是唯一的． 2.第n項(xiàng)　n　用一個(gè)公式　 3．?dāng)?shù)列有三種表示法：它們分別是_________、________、________. .解析法(通項(xiàng)公式或遞推公式)　列表法　圖象法 4．?dāng)?shù)列的分類： 數(shù)列按項(xiàng)數(shù)來分，分為____________、__________； 按項(xiàng)的增減規(guī)律分為________、________、__________和__________． 遞增數(shù)列?an＋1______an；遞減數(shù)列?an＋1______an；常數(shù)列?an＋1______an. 按其他標(biāo)準(zhǔn)分類 有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M 擺動(dòng)數(shù)列 an的符號(hào)正負(fù)相間，如1，－1,1，－1，… 4.有窮數(shù)列　無窮數(shù)列　遞增數(shù)列　遞減數(shù)列　擺動(dòng)數(shù)列　常數(shù)列 >　0，在遞推關(guān)系式兩邊取對(duì)數(shù). 有l(wèi)g an＋1＝2lg an＋lg 3， 令bn＝lg an，則bn＋1＝2bn＋lg 3， ∴bn＋1＋lg 3＝2(bn＋lg 3)， ∴{bn＋lg 3}是等比數(shù)列， ∴bn＋lg 3＝2n－12lg 3＝2nlg 3， ∴bn＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg an， ∴an＝32n－1. (5) 由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列， ∴an－n＝(a1－1)4n－1，∴an＝4n－1＋n. (6) 將an＋2－4an＋1＋3an＝0變形為an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)， 則數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝－6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則an＋1－an＝－63n－1，利用累加法可得an＝11－3n. 題型三　由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an 例3?。?）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通項(xiàng)公式． 解　當(dāng)n＝1時(shí)， a1＝S1＝212－31＋1＝0； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5； 又n＝1時(shí)，an＝41－5＝－1≠a1， ∴an＝ （2）　已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通項(xiàng)公式. 解　由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)， 解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1>1，因此a1＝2. 又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)， 得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an. 因?yàn)閍n>0，故an＋1＝－an不成立，舍去. 因此an＋1－an－3＝0. 即an＋1－an＝3，從而{an}是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故{an}的通項(xiàng)為 an＝3n－1. 探究提高　(1)已知{an}的前n項(xiàng)和Sn，求an時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)： ①　an與Sn的關(guān)系式an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，求an時(shí)切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情況． ②由Sn－Sn－1＝an推得的an，當(dāng)n＝1時(shí)，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫”. ③由Sn－Sn－1＝an推得的an，當(dāng)n＝1時(shí)，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng) 分段表示(“分寫”)，即an＝ (2)利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)是一個(gè)重要內(nèi)容，應(yīng)注意Sn與an間關(guān)系的靈活運(yùn)用. 變式訓(xùn)練3　(1)已知{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋b，求{an}的通項(xiàng)公式． (2)已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和且2＝an＋1，求an. 解　(1)a1＝S1＝3＋b， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝23n－1. 當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式； 當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式． ∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝23n－1； 當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝. (2)由2＝an＋1，得Sn＝2， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，得a1＝1； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1 ＝2－2， 整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵數(shù)列{an}各項(xiàng)為正，∴an＋an－1>0. ∴an－an－1－2＝0. ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列． ∴an＝a1＋(n－1)2＝2n－1. (3) 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an＝＋2 (n－1) (n∈N*). ①求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并分別寫出an和Sn關(guān)于n的表達(dá)式； ②是否存在自然數(shù)n，使得S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝2 013？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解　①由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1) (n∈N*). 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，∴數(shù)列{an}是以a1＝1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列. 于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n (n∈N*). ②由Sn＝nan－2n(n－1)，得＝2n－1 (n∈N*)， ∴S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.令2n－1＝2 013，得n＝1 007， 即存在滿足條件的自然數(shù)n＝1 007. 　　　　　題型四　　用函數(shù)的思想方法解決數(shù)列問題 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列.因此，在研究函數(shù)問題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性. 例4已知數(shù)列{an}. (1)若an＝n2－5n＋4， ①數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？ ②n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值. (2)若an＝n2＋kn＋4且對(duì)于n∈N*，都有an＋1>an成立.求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 　(1)求使an<0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值.(2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，通項(xiàng)公式可以看作相應(yīng)的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù). 解　(1)①由n2－5n＋4<0，解得1an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，即得k>－3. (1)本題給出的數(shù)列通項(xiàng)公式可以看做是一個(gè)定義在正整數(shù)集N*上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸來研究其單調(diào)性，得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，使問題得到解決. (2)在利用二次函數(shù)的觀點(diǎn)解決該題時(shí)，一定要注意二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的選取. (3)易錯(cuò)分析：本題易錯(cuò)答案為k>－2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù). 　(3)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝(n＋1)n (n∈N*)，試問該數(shù)列{an}有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由． 解　方法一　令 ??，∴n＝9或n＝10時(shí)，an最大， 即數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，此時(shí)n＝9或n＝10. 方法二　∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n ＝n， 當(dāng)n<9時(shí)，an＋1－an>0，即an＋1>an； 當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當(dāng)n>9時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…， ∴數(shù)列{an}中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)． 有關(guān)數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性常用①作差法，②作商法，③圖象法．求最大項(xiàng)時(shí)也可用an滿足；若求最小項(xiàng)，則用an滿足. 數(shù)列實(shí)質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)，所以本題就是用函數(shù)的思想求最值． 方法與技巧 1.求數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng).通常用觀察法(對(duì)于交錯(cuò)數(shù)列一般用(－1)n或(－1)n＋1來區(qū)分奇偶項(xiàng)的符號(hào))；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，若求通項(xiàng)可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法. 2.強(qiáng)調(diào)an與Sn的關(guān)系：an＝. 3.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)：對(duì)這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有三種常見思路： (1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想； (2)“an＋1＝pan＋q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系數(shù)法求出λ，再化為等比數(shù)列； (3)逐差累加或累乘法. 　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 一、選擇題 1.下列說法正確的是 (　　) A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7} B.數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列 C.數(shù)列的第k項(xiàng)為1＋ D.數(shù)列0,2,4,6，…可記為{2n} 2.數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an對(duì)所有正整數(shù)n都成立，則a10等于(　　) 　A.34 B.55 C.89 D.100 3.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝an－3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是 (　　) A.an＝2(n2＋n＋1) B.an＝32n C.an＝3n＋1 D.an＝23n 二、填空題 4.已知數(shù)列{an}對(duì)于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，a36＝__4______. 5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意n∈N*都有Sn＝an－，且10，解得n>6或n<1(舍).∴從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù). 一、選擇題 1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)，則a1a2…a2 011的值為 (　　) A.－3 B.1 C.2 D.3 2.數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為(　　) A.5 B. C. D. 3.數(shù)列{an}中，a1＝1，對(duì)于所有的n≥2，n∈N*都有a1a2a3…an＝n2，則a3＋a5等于(　　) A. B. C. D. 1．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為 (　　) A．15 B．16 C．49 D．64 2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，那么這個(gè)數(shù)列是 (　　) A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 D．常數(shù)列 3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于 (　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 4．?dāng)?shù)列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，則a6等于 (　　) A．13 B. C．11 D. 5．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為 (　　) A．5 B. C. D. 二、填空題 4.已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝1－ (n≥2)，則a16＝________. 5.數(shù)列，，，，…中，有序數(shù)對(duì)(a，b)是______________. 6.若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k＝__4______. 7．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且有Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝__________________. 8．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 …　…　…　…　…　… 根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n (n≥3)行從左至右的第3個(gè)數(shù)是____________． 三、解答題 7.已知數(shù)列{an}中，an＝1＋ (n∈N*，a∈R，且a≠0). (1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值； (2)若對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍. 7.解　(1)∵an＝1＋ (n∈N*，a∈R，且a≠0)，∵a＝－7，∴an＝1＋. 結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性. 可知1>a1>a2>a3>a4； a5>a6>a7>…>an>1 (n∈N*). ∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5＝2，最小項(xiàng)為a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. ∵對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，并結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性， ∴5<<6，∴－100，即cn＋1

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