2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 5.7 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 5.7 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 利用正、余弦定理解三角形 【例1】在△ABC中,AB=,BC=1,cos C=. (1)求sin A的值;(2)求的值. 【解析】(1)由cos C=得sin C=. 所以sin A===. (2)由(1)知,cos A=. 所以cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C =-+=-. 所以=(+)=+ =-1+1cos B=-1-=-. 【點(diǎn)撥】在解三角形時(shí),要注意靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí). 【變式訓(xùn)練1】在△ABC中,已知a、b、c為它的三邊,且三角形的面積為,則∠C= . 【解析】S==absin C. 所以sin C==cos C.所以tan C=1, 又∠C∈(0,π),所以∠C=. 題型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問題 【例2】設(shè)△ABC是銳角三角形,a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長,并且sin2A=sin(+B)sin(-B)+sin2B. (1)求角A的值; (2)若=12,a=2,求b,c(其中b<c). 【解析】(1)因?yàn)閟in2A=(cos B+sin B)(cos B-sin B)+sin2B=cos2B-sin2B+sin2B=,所以sin A=.又A為銳角,所以A=. (2)由=12可得cbcos A=12.① 由(1)知A=,所以cb=24.② 由余弦定理知a2=c2+b2-2cbcos A,將a=2及①代入得c2+b2=52.③ ③+②2,得(c+b)2=100,所以c+b=10. 因此,c,b是一元二次方程t2-10t+24=0的兩個(gè)根. 又b<c,所以b=4,c=6. 【點(diǎn)撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,特殊角的三角函數(shù)值,向量的數(shù)量積,利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識(shí),考查綜合運(yùn)算求解能力. 【變式訓(xùn)練2】在△ABC中,a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊,且滿足(2a-c)cos B= bcos C. (1)求角B的大??; (2)若b=,a+c=4,求△ABC的面積. 【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入(2a-c)cos B=bcos C, 整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B, 即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, 在△ABC中,sin A>0,2cos B=1, 因?yàn)椤螧是三角形的內(nèi)角,所以B=60. (2)在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac-2accos B, 將b=,a+c=4代入整理,得ac=3. 故S△ABC=acsin B=sin 60=. 題型三 正、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用 【例3】(xx陜西模擬)如圖所示,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個(gè)觀測點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45,B點(diǎn)北偏西60的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距20海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/小時(shí),則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時(shí)間? 【解析】由題意知AB=5(3+)(海里),∠DBA=90-60=30,∠DAB=90-45=45,所以∠ADB=180-(45+30)=105. 在△DAB中,由正弦定理得=, 所以DB== ===10(海里). 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30+(90-60)=60,BC=20海里, 在△DBC中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BDBCcos∠DBC=300+1 200-21020=900, 所以CD=30(海里),則需要的時(shí)間t==1(小時(shí)). 所以,救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí). 【點(diǎn)撥】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題的基本步驟是: (1)根據(jù)題意,抽象地構(gòu)造出三角形; (2)確定實(shí)際問題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系; (3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解; (4)給出結(jié)論. 【變式訓(xùn)練3】如圖,一船在海上由西向東航行,在A處測得某島M的方位角為北偏東α角,前進(jìn)m km后在B處測得該島的方位角為北偏東β角,已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁,現(xiàn)該船繼續(xù)東行,當(dāng)α與β滿足條件 時(shí),該船沒有觸礁危險(xiǎn). 【解析】由題可知,在△ABM中,根據(jù)正弦定理得=,解得BM=,要使船沒有觸礁危險(xiǎn)需要BMsin(90-β)=>n.所以α與β的關(guān)系滿足mcos αcos β>nsin(α-β)時(shí),船沒有觸礁危險(xiǎn). 總結(jié)提高 1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系,如證明兩內(nèi)角A>B與sin A>sin B是一種等價(jià)關(guān)系. 2.在判斷三角形的形狀時(shí),一般將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化,統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,再用恒等變形(如因式分解、配方)求解,注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉,否則會(huì)漏解. 3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條件判斷角的范圍,以免增解或漏解.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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