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1、2014—2015學(xué)年度吉林一中“教與學(xué)”質(zhì)量檢測1
高三數(shù)學(xué)試題(理科)
(答題時間120分鐘,滿分150分)
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.已知集合,,則集合
A. B. C. D.
2.已知向量,若,則等于
A. B. C. D.
3. 若命題:,則:
A. B.
C. D.
4.兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20,燈塔B在觀察站C的南偏東40,則燈塔A與
2、燈塔B的距離為
A.a(chǎn) km B.a km
C.2a km D.a km
5.某程序框圖如圖所示,若輸出的S = 57,則判斷框內(nèi)應(yīng)為
A.k>5? B.k>4?
C.k>7? D.k>6?
6.過點(diǎn)可作圓的兩條切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A.或 B.
C. 或 D.或
7. 若,若的最大值為,則的值是
A. B. C. D.
8.函數(shù),若,則下列不等式一定成立的是
A
3、. B. C. D.
9.已知函數(shù),其中為實(shí)數(shù),若對恒成立,
且 ,則的單調(diào)遞增區(qū)間是
A. B.
C. D.
10.已知等比數(shù)列的公比且,又,則
A. B.
C. D.
11.已知橢圓,為其左、右焦點(diǎn),為橢圓上任一點(diǎn),的重心為,內(nèi)心,且有(其中為實(shí)數(shù)),橢圓的離心率
A. B. C. D.
12.已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為.
①的單調(diào)減區(qū)間是; ②的極小值是;
③當(dāng)時,對任意的且,恒有
④函數(shù)有且只有一個零點(diǎn).其中真命題的個數(shù)為
A.1個
4、 B.2個 C.3個 D.4個
二、填空題(每小題5分,共20分)
13.設(shè) (其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),則的值為 _________.
14.在平面直角坐標(biāo)系中,已知的頂點(diǎn)和,頂點(diǎn)在雙曲線上,則為___________.
15.設(shè)是不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn),向量,若,則的最大值為 .
16.已知函數(shù),若數(shù)列滿足(),且是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ___________.
三、解答題
17.(本小題滿分10分)
已知是函數(shù)圖象的一條對稱軸.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)化簡的解析式,并作出函數(shù)在上的圖象簡圖(不要求寫作
5、圖過程).
18.(本小題滿分12分)
已知等差數(shù)列{}的公差,它的前n項(xiàng)和為,若,且成等比數(shù)列,
(Ⅰ)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,求證:.
19.(本小題滿分12分)
在中,內(nèi)角、、所對的邊分別為,其外接圓半徑為6, ,
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求的面積的最大值.
20.(本小題滿分12分)
在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為圓心的圓與直線相切.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)若已知點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線,求切線的方程.
21.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
(Ⅰ
6、)用表示出,;
(Ⅱ)若在上恒成立,求的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)
已知橢圓:的一個焦點(diǎn)為,左右頂點(diǎn)分別為,.
經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)當(dāng)直線的傾斜角為時,求線段的長;
(Ⅲ)記與的面積分別為和,求的最大值.
數(shù)學(xué) (理科)
參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題
1. D; 2. D;3. A;4. D; 5. B;6. D ;7. A;8. A ;
9. C ;10. A ;11.A ;12. C .
二、填空題
13.;14. ;15. 5 ;16.(2,3).
三、解答題
17. (本
7、小題滿分10分)
解:(I)方法1:, ………………2分
∵是函數(shù)圖象一條對稱軸,∴, …………… 4分
即,∴; ………………6分
方法2:∵,∴最值是,
………………2分
∵是函數(shù)圖象的一條對稱軸,∴,
………………4分
∴,
整理得,∴; ………………6分
(II)
8、 ………………7分
在上的圖象簡圖如下圖所示. ………………10分
18.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由已知,, ………………2分
又成等比數(shù)列,
由且可
解得, ………………4分
,
故數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為; ………………6分
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ), ………………7分
, …………
9、……9分
顯然,. ………………12分
19.(本小題滿分12分)
(Ⅰ)解: ,
………………3分
,……………………6分
(Ⅱ) ,即.
又. ………………………………8分
. ……………………10分
而時,. …………………………………………12分
20.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)設(shè)圓的方程為x2+y2=r2, ……………
10、……………1分
由題可知,半徑即為圓心到切線的距離,故r==2, ……………………3分
∴圓的方程是x2+y2=4; ………………………………4分
(Ⅱ) ∵|OP|==>2,∴點(diǎn)P在圓外.
顯然,斜率不存在時,直線與圓相離. ……………………………6分
故可設(shè)所求切線方程為y-2=k(x-3),
即kx-y+2-3k=0. ……………………………8分
又圓心為O(0,0),半徑r=2,
而圓心到切線的距離d==2,即|3k-2|=2, ………………9分
∴k=或k=0,
11、 …………………………………11分
故所求切線方程為12x-5y-26=0或y-2=0. ……………………12分
21.(本小題滿分12分)
解: (Ⅰ), ………………………………………1分
由題設(shè),則有, …………………………3分
解得. ………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
令,
則 , ………………………………………5分
……………7分
①當(dāng) ,
若 ,則,是減函數(shù),
12、
所以,當(dāng)時,有, 即,
故在上不能恒成立. ……………………………9分
②當(dāng)時,有
若,則,在上為增函數(shù).
所以,當(dāng)時,, 即,
故當(dāng)時,. ……………………………………11分
綜上所述,所求的取值范圍為 ……………………12分
22.(本小題滿分12分)
解:(I)因?yàn)闉闄E圓的焦點(diǎn),所以又
所以所以橢圓方程為 …………………………3分
(Ⅱ)因?yàn)橹本€的傾斜角為,所以直線的斜率為1,
所以直線方程為,和橢圓方程聯(lián)立得到
,消掉,得到 …………………………5分
所以
所以
13、…………………………6分
(Ⅲ)當(dāng)直線無斜率時,直線方程為,
此時, 面積相等, …………7分
當(dāng)直線斜率存在(顯然)時,設(shè)直線方程為,
設(shè)
和橢圓方程聯(lián)立得到,消掉得
顯然,方程有根,且 ………………8分
此時
………………………………10分
因?yàn)?上式,(時等號成立)
所以的最大值為 ………………………………12分
另解:(Ⅲ)設(shè)直線的方程為:,則
由 得,.
設(shè),,
則,. ………………8分
所以,,,
……………………10分
當(dāng)時,.
由,得 .
當(dāng)時,
從而,當(dāng)時,取得最大值.…………………………12分
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