2019-2020年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應(yīng)用3.2.3導數(shù)的四則運算法則教學案新人教B版選修1-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應(yīng)用3.2.3導數(shù)的四則運算法則教學案新人教B版選修1-1 [學習目標]　1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導法則.2.理解求導法則的證明過程，能夠綜合運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)． [知識鏈接] 前面我們已經(jīng)學習了幾個常用函數(shù)的導數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，這樣做起題來比用導數(shù)的定義顯得格外輕松．我們已經(jīng)會求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函數(shù)的導數(shù)，那么怎樣求f(x)與g(x)的和、差、積、商的導數(shù)呢？ 答：利用導數(shù)的運算法則． [預習導引] 導數(shù)運算法則 法則 語言敘述 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x) 兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差) 續(xù)表 [f(x)g(x)]′ ＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導數(shù) [Cf(x)]′＝Cf′(x) 常數(shù)與函數(shù)積的導數(shù)，等于常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù) ′ ＝ (g(x)≠0) 兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)乘上分母減去分子乘上分母的導數(shù)，再除以分母的平方 要點一　利用導數(shù)的運算法則求函數(shù)的導數(shù) 例1　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝3x－lgx. 解　(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－(1)′＝3x2－2x＋1. (2)函數(shù)y＝3x－lgx是函數(shù)f(x)＝3x與函數(shù)g(x)＝lgx的差．由導數(shù)公式表分別得出 f′(x)＝3xln3，g′(x)＝， 利用函數(shù)差的求導法則可得 y′＝(3x－lgx)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln3－. 規(guī)律方法　本題是基本函數(shù)和(差)的求導問題，求導過程要緊扣求導法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導法則，對于不具備求導法則結(jié)構(gòu)形式的可先進行適當?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導的結(jié)構(gòu)形式再求導數(shù)． 跟蹤演練1　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcosx； (3)y＝exlnx；(4)y＝lgx－. 解　(1)y′＝－12x2； (2)y′＝(3x2＋xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx； (3)y′＝exlnx＋； (4)y′＝＋. 要點二　導數(shù)的應(yīng)用 例2　求過點(1，－1)與曲線f(x)＝x3－2x相切的直線方程． 解　設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線斜率為k＝f′(x0)＝3x－2. 故切線方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)?、? ∵(x0，y0)在曲線上，∴y0＝x－2x0?、? 又∵(1，－1)在切線上， ∴將②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)． 解得x0＝1或x0＝－. 切線的斜率分別為1和－. 故所求的切線方程為y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)． 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 規(guī)律方法　(1，－1)雖然在曲線上，但是經(jīng)過該點的切線不一定只有一條，即該點有可能是切點，也可能是切線與曲線的交點，解題時注意不要漏解． 跟蹤演練2　已知某運動著的物體的運動方程為s(t)＝＋2t2(位移單位：m，時間單位：s)，求t＝3s時物體的瞬時速度． 解　∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2， ∴s′(t)＝－＋2＋4t，∴s′(3)＝－＋＋12＝， 即物體在t＝3s時的瞬時速度為m/s. 1．下列結(jié)論不正確的是(　　 ) A．若y＝3，則y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，則f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，則y′＝－＋1 D．若y＝sinx＋cosx，則y′＝cosx＋sinx 答案　D 解析　利用求導公式和導數(shù)的加、減運算法則求解．D項，∵y＝sinx＋cosx， ∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx. 2．函數(shù)y＝的導數(shù)是(　　) A.B. C.D. 答案　C 解析　y′＝′＝＝. 3．曲線y＝在點(－1，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝2x＋1B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3D．y＝－2x＋2 答案　A 解析　∵y′＝＝， ∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝＝2， ∴切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1. 4．直線y＝x＋b是曲線y＝lnx(x>0)的一條切線，則實數(shù)b＝________. 答案　ln2－1 解析　設(shè)切點為(x0，y0)，∵y′＝，∴＝， ∴x0＝2，∴y0＝ln2，ln2＝2＋b，∴b＝ln2－1. 求函數(shù)的導數(shù)要準確把函數(shù)拆分為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導數(shù)．在求導過程中，要仔細分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)導數(shù)運算法則，聯(lián)系基本函數(shù)的導數(shù)公式展開運算．對于不具備導數(shù)運算法則結(jié)構(gòu)形式的要進行適當恒等變形，轉(zhuǎn)化為較易求導的結(jié)構(gòu)形式，再求導數(shù)，進而解決一些切線斜率、瞬時速度等問題．