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2019-2020年高三最后一卷(臨門一腳)數(shù)學試題含答案
參考公式:
棱錐的體積公式:,其中S為錐體的底面積,h為高.
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.請把答案填寫在答題卡相應的位置上.
1.已知集合A={1,k-1},B={2,3},且A∩B={2},則實數(shù)k的值為 ▲ .
2.若復數(shù)z滿足iz=2(i為虛數(shù)單位),則z= ▲ .
3.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為 ▲ .
4.函數(shù)y=sin2x的最小正周期為 ▲ .
5.若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則三棱錐A-BDA1的體積為 ▲ .
6.已知函數(shù)若f(x)=5,則x= ▲ .
7.設函數(shù)f(x)=log2x(0
2y>0,則的最小值為 ▲ .
12.設t∈R,[t]表示不超過t的最大整數(shù).則在平面直角坐標系xOy中,滿足[x]2+[y]2=13的點P(x,y)所圍成的圖形的面積為 ▲ .
13.設函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(3x),且當x∈時,f(x)=lnx.若在區(qū)間內,存在3個不同的實數(shù)x1,x2,x3,使得=t,則實數(shù)t的取值范圍為 ▲ .
14.設各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列{an},滿足a54=xx,且存在正整數(shù)k,使a1,a54,ak成等比數(shù)列,則公差d的所有可能取值之和為 ▲ .
二、解答題:本大題共6小題,共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分14分)
如圖,在△ABC中,||=3,||=5,||=7.
(第15題圖)
B
A
C
D
(1)求C的大??;
(2)設D為AB的中點,求CD的長.
16.(本小題滿分14分)
如圖,AB為圓O的直徑,點E,F(xiàn)在圓上,四邊形ABCD為矩形,AB∥EF,∠BAF=,M為BD的中點,平面ABCD⊥平面ABEF.求證:
(第16題圖)
A
C
D
F
E
M
O
B
(1)BF平面DAF;
(2)ME∥平面DAF.
17.(本小題滿分14分)
圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖,圖2是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖,其中四邊形ABCD是矩形,弧CmD是半圓,凹槽的橫截面的周長為4.若凹槽的強度T等于橫截面的面積與邊的乘積,設AB=2x,BC=y.
(1)寫出y關于x函數(shù)表達式,并指出x的取值范圍;
(第17題圖)
圖1
圖2
A
B
C
D
m
(2)求當x取何值時,凹槽的強度T最大.
18.(本小題滿分16分)
在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓(a>b>0)過點(1,1).
(1)若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;
(2)若橢圓上兩動點P,Q,滿足OP⊥OQ.
①已知命題:“直線PQ恒與定圓C相切”是真命題,試直接寫出圓C的方程;
(不需要解答過程)
②設①中的圓C交y軸的負半軸于M點,二次函數(shù)y=x2-m的圖象過點M.點A,B在該圖象上,當A,O,B三點共線時,求△MAB的面積S的最小值.
19.(本小題滿分16分)
設數(shù)列{an},a1=1,.數(shù)列{bn},.正數(shù)數(shù)列{dn},.
(1)求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(2)設數(shù)列{bn},{dn}的前n項和分別為Bn,Dn,求數(shù)列{bnDn+dnBn-bndn}的前n項和Sn.
20.(本小題滿分16分)
設函數(shù)f(x)=ax2+ex(a∈R)有且僅有兩個極值點x1,x2(x12y>0,則的最小值為 ▲ .
答案:4.
12.設t∈R,[t]表示不超過t的最大整數(shù).則在平面直角坐標系xOy中,滿足[x]2+[y]2=13的點P(x,y)所圍成的圖形的面積為 ▲ .
答案:8.
13.設函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(3x),且當x∈時,f(x)=lnx.若在區(qū)間內,存在3個不同的實數(shù)x1,x2,x3,使得=t,則實數(shù)t的取值范圍為 ▲ .
答案:.
14.設各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列{an},滿足a54=xx,且存在正整數(shù)k,使a1,a54,ak成等比數(shù)列,則公差d的所有可能取值之和為 ▲ .
答案:92.
二、解答題:本大題共6小題,共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分14分)
如圖,在△ABC中,||=3,||=5,||=7.
(第15題圖)
B
A
C
D
(1)求C的大小;
(2)設D為AB的中點,求CD的長.
解:(1)依題意BC=3,CA=5,AB=7.1分
由余弦定理,得=. 4分
因0b>0)過點(1,1).
(1)若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;
(2)若橢圓上兩動點P,Q,滿足OP⊥OQ.
(2)若橢圓上兩動點P,Q,滿足OP⊥OQ.
①已知命題:“直線PQ恒與定圓C相切”是真命題,試直接寫出圓C的方程;
(不需要解答過程)
②設①中的圓C交y軸的負半軸于M點,二次函數(shù)y=x2-m的圖象過點M.點A,B在該圖象上,當A,O,B三點共線時,求△MAB的面積S的最小值.
解:(1)由,所以.2分
設橢圓方程為,將(1,1)代入得,
所以,橢圓方程為.5分
(2)①.9分
②由題意,二次函數(shù)為y=x2-1.10分
設直線AB的方程為y=kx.
由,消去得,.
設,,則,.12分
所以. 14分
當時,△MAB的面積S的最小值為1. 16分
19.(本小題滿分16分)
設數(shù)列{an},a1=1,.數(shù)列{bn},.正數(shù)數(shù)列{dn},.
(1)求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(2)設數(shù)列{bn},{dn}的前n項和分別為Bn,Dn,求數(shù)列{bnDn+dnBn-bndn}的前n項和Sn.
解:(1)由,得.
又,所以.3分
又b1=a1=1,所以數(shù)列{bn}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列.4分
(2)由(1)得,Bn=.6分
因,
故.
由dn>0,得.
于是,. 10分
又當n≥2時,
bnDn+dnBn-bndn=(Bn-Bn-1)Dn+(Dn-Dn-1)Bn-(Bn-Bn-1)(Dn-Dn-1)=BnDn-Bn-1Dn-1,
所以Sn=(BnDn-Bn-1Dn-1)+(Bn-1Dn-1-Bn-2Dn-2)+…+(B2D2-B1D1)+B1D1=BnDn.14分
因S1=b1D1+d1B1-b1d1=B1D1也適合上式,故對于任意的n∈N*,都有Sn=BnDn.
所以Sn=BnDn==. 16分
20.(本小題滿分16分)
設函數(shù)f(x)=ax2+ex(a∈R)有且僅有兩個極值點x1,x2(x10,<0,>0,而x1=∈(0,1),
故當a=時,f(x)極大=f(x1)=.16分
南通市xx高三數(shù)學臨門一腳
數(shù)學Ⅱ(附加題)
21.【選做題】本題包括A、B、C、D共4小題,請選定其中兩小題,并在相應的答題區(qū)域內作答.若多做,則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.[選修4-1:幾何證明選講](本小題滿分10分)
如圖,⊙O是三角形△ABC的外接圓,AB=AC,延長BC到點D,使得CD=AC,連結AD交⊙O于點E,連結BE與AC交于點F,求證BE平分∠ABC.
O
A
E
C
D
B
F
(第21A題圖)
解:因CD=AC,故∠D=∠CAD.
因AB=AC,故∠ABC=∠ACB.
因∠EBC=∠CAD,故∠EBC=∠D.
因∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD.
故∠ABE=∠EBC,即BE平分∠ABC. 10分
B.[選修4-2:矩陣與變換](本小題滿分10分)
已知矩陣,A的兩個特征值為,=3.
(1)求a,b的值;
(2)求屬于的一個特征向量.
解:(1)令,于是
+=a+4,=4a+b.解得a=1,b=2. 5分
(2)設=,則===3=,
故解得x=y.于是,=.10分
C.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程](本小題滿分10分)
圓C的參數(shù)方程為(q為參數(shù)),設P是圓C與x軸正半軸的交點.以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.設過點P的圓C的切線為l,求直線l的極坐標方程.
解:由題設知,圓心,,∠CPO=60,
故過P點的切線的傾斜角為30. 3分
設是過P點的圓C的切線上的任一點,則在△PMO中,
∠MOP=,,.
由正弦定理得,于是,
即(或)即為所求切線的極坐標方程.10分
D.[選修4-5:不等式選講](本小題滿分10分)
已知a、b、c均為正實數(shù),且a+b+c=1,求的最大值.
解:因 a、b、c>0,
故()2 = ()2
≤((a+1)+(b+1)+(c+1))(1+1+1)=12,3分
于是≤,
當且僅當,即a=b=c=時,取“=”.
所以,的最大值為.10分
【必做題】第22題、第23題,每題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
22.(本小題滿分10分)
(1)計算:;
(2)觀察下面一組組合數(shù)等式:;;;…
由以上規(guī)律,請寫出第k(k∈N*)個等式并證明.
解:(1)原式=2074.5分
(2)等式為:,k∈N*. 7分
證明:===.10分
23.(本小題滿分10分)
數(shù)列{an},{bn}滿足a1=b1,且對任意正整數(shù)n,{an}中小于等于n的項數(shù)恰為bn;
{bn}中小于等于n的項數(shù)恰為an.
(1)求a1;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
解:(1)首先,容易得到一個簡單事實:{an}與{bn}均為不減數(shù)列且an∈N,bn∈N.
若a1=b1=0,故{an}中小于等于1的項至少有一項,從而b1≥1,這與b1=0矛盾.
若a1=b1≥2,則{an}中沒有小于或等于1的項,從而b1=0,這與b1≥2矛盾.
所以,a1=1.4分
(2)假設當n=k時,ak=bk=k,k∈N*.
若ak+1≥k+2,因{an}為不減數(shù)列,故{an}中小于等于k+1的項只有k項,
于是bk+1=k,此時{bn}中小于等于k的項至少有k+1項(b1,b2,…,bk,bk+1),
從而ak≥k+1,這與假設ak=k矛盾.
若ak+1=k,則{an}中小于等于k的項至少有k+1項(a1,a2,…,ak,ak+1),
于是bk≥k+1,這與假設bk=k矛盾.
所以,ak+1=k+1.
所以,當n=k+1時,猜想也成立.
綜上,由(1),(2)可知,an=bn=n對一切正整數(shù)n恒成立.
所以,an=n,即為所求的通項公式.10分
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