《2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題03 導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用分項(xiàng)試題(含解析)理.doc》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題03 導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用分項(xiàng)試題(含解析)理.doc(28頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題03 導(dǎo)數(shù)與應(yīng)用分項(xiàng)試題(含解析)理
一、選擇題
1.【xx河南省南陽(yáng)一中三?!筷P(guān)于函數(shù),下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 是的極小值點(diǎn) B. 函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)
C. 存在正實(shí)數(shù),使得恒成立 D. 對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù),且,若,則
【答案】C
∴函數(shù)y=f(x)﹣x有且只有1個(gè)零點(diǎn),即B正確;
f(x)>kx,可得k< + ,
令g(x)= +
則g′(x)
令h(x)=﹣4+x﹣xlnx,則h′(x)=﹣lnx,
∴(0,1)上,函數(shù)單調(diào)遞增,(1,+∞)上函數(shù)單調(diào)遞減,
∴h(x)≤h(1)<0,∴g′(x)<0,
∴g(x)= +在(0,+∞)上函數(shù)單調(diào)遞減,函數(shù)無(wú)最小值,
∴不存在正實(shí)數(shù)k,使得f(x)>kx恒成立,即C不正確;
對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1,x2,且x2>x1,
(0,2)上,函數(shù)單調(diào)遞減,(2,+∞)上函數(shù)單調(diào)遞增,
若f(x1)=f(x2),則x1+x2>4,正確.
故選:C.
2.【xx河南省洛陽(yáng)市尖子生聯(lián)考】已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),,(其中),則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈(1,e)時(shí),g′(x)>0;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),g′(x)<0.
即g(x)在(0,1),(e,+∞)上為減函數(shù),在(1,e)上為增函數(shù).
∴0<x1<1<x2<e<x3,
a==,令μ=,
則a=﹣μ,即μ2+(a﹣1)μ+1﹣a=0,
μ1+μ2=1﹣a<0,μ1μ2=1﹣a<0,
對(duì)于μ=,μ′=
則當(dāng)0<x<e時(shí),μ′>0;當(dāng)x>e時(shí),μ′<0.而當(dāng)x>e時(shí),μ恒大于0.
畫(huà)其簡(jiǎn)圖,
點(diǎn)睛:先分離變量得到a=,令g(x)=.求導(dǎo)后得其極值點(diǎn),求得函數(shù)極值,則使g(x)恰有三個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a的取值范圍由g(x)==,再令μ=,轉(zhuǎn)化為關(guān)于μ的方程后由根與系數(shù)關(guān)系得到μ1+μ2=1﹣a<0,μ1μ2=1﹣a<0,再結(jié)合著μ=的圖象可得到(1﹣)2(1﹣)(1﹣)=1.
3.【xx浙江省溫州市一?!恳阎瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則函數(shù)的圖象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
4.【xx吉林省百校聯(lián)盟九月聯(lián)考】已知當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解,則距離最近的整數(shù)為( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】由可得: ,
令,則,
令,則,
由可得,函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,
函數(shù)h(x)的最小值為,
則存在滿(mǎn)足h(x)=0,
據(jù)此可得:距離最近的整數(shù)為3.
本題選擇B選項(xiàng).
點(diǎn)睛:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào).關(guān)鍵是分離參數(shù)k,把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題.
(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減),求參數(shù)范圍問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題,從而構(gòu)建不等式,要注意“=”是否可以取到.
5.【xx遼寧省大連八中模擬】設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí), .若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】A
6.【xx遼寧省遼南協(xié)作校一?!恳阎瘮?shù)在上滿(mǎn)足,則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得,即代入可得,即,故,則切線(xiàn)的斜率,因?yàn)?,所以切線(xiàn)方程為,即,應(yīng)選答案D。
點(diǎn)睛:解答本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的解析表達(dá)式,求解時(shí)充分利用題設(shè)中提供 的函數(shù)解析式方程,巧妙運(yùn)用變量替換得到方程,即,然后代入解得,即,然后再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義從而使得問(wèn)題巧妙獲解。
7.【xx江西省紅色七校聯(lián)考】已知函數(shù),關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
即當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,同時(shí)也是最大值f()==,
即當(dāng)0
時(shí),00得>0,此時(shí)有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解,不滿(mǎn)足條件。
若a>0,
則由+af(x)>0得f(x)>0或f(x)0時(shí),不等式由無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解,不滿(mǎn)足條件。
當(dāng)a<0時(shí),由+af(x)>0得f(x)>?a或f(x)<0,
當(dāng)f(x)<0時(shí),沒(méi)有整數(shù)解,
則要使當(dāng)f(x)>?a有兩個(gè)整數(shù)解,
∵f(1)=ln2,f(2)= =ln2,f(3)= ,
∴當(dāng)f(x)?ln2時(shí),函數(shù)有兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)1,2,當(dāng)f(x)? 時(shí),函數(shù)有3個(gè)整數(shù)點(diǎn)1,2,3
∴要使f(x)>?a有兩個(gè)整數(shù)解,
則??ae時(shí),g′(t)>0,
當(dāng)01.
【答案】(Ⅰ)a≥-7;(Ⅱ)證明見(jiàn)解析.
(Ⅰ)由f(x)=x2++aln x,得f(x)=2x-+,
由已知得2x-+≥0在x∈[2,3]上恒成立,即a≥-2x2 恒成立.
設(shè)g (x)=-2x ,則g(x )=- -4x <0,所以g(x)在x∈[2,3]上單調(diào)遞減,
g(x)max =g(2)=-7,所以a≥-7.
(Ⅱ)證明:|k|>1等價(jià)于||>1,等價(jià)于| |>|x1-x2|,
而| |=|
=|x1-x2||2+-|
所以只需要證明|2+-|>1.
即a<x1+x2+或a>3x1+x2+,
而a>3x1+x2+,顯然不可能對(duì)一切正實(shí)數(shù)x1x2 均成立,
所以只需要證a<x1+x2+成立.
因?yàn)閤1+x2+>x1x2+,設(shè)t=,M(t)=t2+ (t>0)
得M’(t)=2t-當(dāng)t=時(shí)M’(t)=0
在t∈(0, )上,M(t)遞減;在t∈(,+∞)上,M(t)遞增
所以M(t)≥3=>4≥a,所以a<x1x2+
所以||>1,即當(dāng)a≤4時(shí),|K|>1.
20.【xx廣西柳州模擬】已知為實(shí)數(shù),函數(shù).
(1)若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值;
(2)設(shè),若,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) ,(2) .
解析:(1)函數(shù)定義域?yàn)?,
.
∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),∴,解得.
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí), 是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),符合題意,
∴.
(2)由,得,
記,
∴,
∴當(dāng) 時(shí), , 單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞増.
∴,
∴,記,
∴ .
∵,∴,
∴,
∴時(shí), , 單調(diào)遞減;
時(shí), , 單調(diào)遞增,
∴,
∴.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,函數(shù)的最值的求法,極值的求法,用到了變量集中的方法.
21.【xx海南省八校聯(lián)考】設(shè)函數(shù),其中.
(1)若直線(xiàn)與函數(shù)的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn),求的取值范圍;
(2)若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 或;(2) .
解析:(1)當(dāng)時(shí), ,
令時(shí)得;
令得, 遞增;
令得, 遞減,
∴在處取得極小值,且極小值為,
∵, ,
∴由數(shù)形結(jié)合可得或.
(2)當(dāng)時(shí), , ,令得;
令得, 遞增;
令得, 遞減,
∴在處取得極小值,且極小值為,
∵,∴,
∵當(dāng)即時(shí), ,∴,即,∴無(wú)解,
當(dāng)即時(shí), ,∴,即,又,∴,綜上, .
點(diǎn)睛:函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題,研究函數(shù)的單調(diào)性找函數(shù)最值,求參;恒成立求參,對(duì)于分段函數(shù)來(lái)講,分段討論最值即可.
22.【xx湖南省永州市一?!恳阎瘮?shù).
(1)若在區(qū)間有最大值,求整數(shù)的所有可能取值;
(2)求證:當(dāng)時(shí), .
【答案】(1) ;(2)證明見(jiàn)解析.
,只需證明即可.
試題解析:(1)f′(x)=(x2+x-2)ex,
當(dāng)x<-2時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)-2<x<1時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
由題知:a<-2<a+5,得:-7<a<-2,
則a=-6、-5、-4、-3,
當(dāng)a=-6、-5、-4,顯然符合題意,
若a=-3時(shí),f(-2)=5e―2,f(2)=e2,f(-2)<f(2),不符合題意,舍去.
故整數(shù)a的所有可能取值-6,―5,-4.
(2)f(x)<-3lnx+x3+(2x2-4x)ex+7可變?yōu)?-x2+3x-1)ex<-3lnx+x3+7,
令g(x)=(-x2+3x-1)ex,h(x)=-3lnx+x3+7,
g′(x)=(-x2+x+2)ex,
0<x<2時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x>2時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
g(x)的最大值為g(2)=e2,
h′(x)=,當(dāng)0<x<1時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x>1時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
h(x)的最小值為h(1)=8>e2,
g(x)的最大值小于h(x)的最小值,
故恒有g(shù)(x)<h(x),即f(x)<-3lnx+x3+(2x2-4x)ex+7.
23.【xx廣東省珠海六校聯(lián)考】設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且
(I)求的取值范圍,并討論的單調(diào)性;
(II)證明:
【答案】:(Ⅰ)因?yàn)?,設(shè),
依題意知得,所以的取值范圍是
由得,由得,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間,
其中, 且.
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,設(shè),
所以在遞減,又在處連續(xù),所以,
即.
24.【xx廣東省珠海九月模擬】函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求證:
【答案】(1) 時(shí), 在上單減,在上單增; 時(shí), 在上單減,在和上單增; 時(shí), 在上單增;(2)見(jiàn)解析.
試題解析:
解: 的定義域是,
(1)由題設(shè)知,
令,這是開(kāi)口向上,以為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn).
在時(shí),當(dāng),即時(shí), ,即在上恒成立.
②當(dāng),即時(shí),由得
令,
則,
1) 當(dāng)即,即時(shí),
時(shí), ,即, 時(shí), ,即
2) 當(dāng)時(shí),即,即時(shí)
時(shí), ,即
或時(shí), ,即
綜上:
時(shí), 在上單減,在上單增;
時(shí), 在上單減,在和上單增; 時(shí), 在上單增.
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且
則必是,則,則,
且在上單減,在和上單增,
則
、是的二根
,即,
若證成立,只需證
即證對(duì)恒成立
設(shè)
當(dāng)時(shí), , ,
故,故在上單增
故
對(duì)恒成立
25.【xx吉林省長(zhǎng)春一模】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若函數(shù)與的圖像在點(diǎn)處有相同的切線(xiàn),求的值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),恒成立,求整數(shù)的最大值;
(Ⅲ)證明: .
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見(jiàn)解析.
試題解析:(Ⅰ)由題意可知,和在處有相同的切線(xiàn),
即在處且,
解得.
(Ⅱ)現(xiàn)證明,設(shè),
令,即,
因此,即恒成立,
即,
同理可證.
由題意,當(dāng)時(shí),且,
即,
即時(shí),成立.
當(dāng)時(shí),,即不恒成立.
因此整數(shù)的最大值為2.
(Ⅲ)由,令,
即,即
由此可知,當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
……
當(dāng)時(shí),.
綜上:
.
即.
26.【xx陜西省西工大附中六?!恳阎瘮?shù).
(1) 求的極值;
(2) 當(dāng)時(shí),求證:
【答案】(1)答案見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
試題解析:
(1)∵,
時(shí), 遞增; 時(shí), 遞減,
∴在時(shí)取極小值,極小值為,無(wú)極大值.
(2)因?yàn)椋灾恍枳C明.
設(shè),則,
所以遞增,又,
所以有且只有一個(gè)根,記為,∴.
在遞減,在遞增,所以
∵ ,
設(shè),∵,∴遞增.
,∴,∴,故結(jié)論成立.
27.【xx湖北武漢市調(diào)研】已知函數(shù)()(…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求單調(diào)區(qū)間;
(2)討論在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(1) 當(dāng)時(shí), , 單調(diào)增間為,無(wú)減區(qū)間;
當(dāng)時(shí), 單調(diào)減間為,增區(qū)間為
(2) 所以或或時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)且時(shí), 有三個(gè)零點(diǎn)
試題解析:(1)
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)增間為,無(wú)減區(qū)間;
當(dāng)時(shí), 單調(diào)減間為,增區(qū)間為
(2)由得或
先考慮在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
當(dāng)時(shí), 在單調(diào)增且, 有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí), 在單調(diào)遞減, 有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí), 在單調(diào)遞減, 單調(diào)遞增.
而,所以或時(shí), 有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn)
而時(shí),由得
所以或或時(shí), 有兩個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)且時(shí), 有三個(gè)零點(diǎn).
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟:①確定函數(shù)的定義域;②對(duì)求導(dǎo);③令,解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間;令,解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.
28.【xx陜西省西工大附中七?!恳阎瘮?shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最值;
(2)當(dāng)時(shí),對(duì)任意都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),數(shù)列滿(mǎn)足, ,求證: , .
【答案】(1),無(wú)最大值.(2)(3)見(jiàn)解析
試題解析:(1)∵,∴,
∴,令,得,則隨變化如下:
所以,無(wú)最大值.
(2)設(shè),則,
當(dāng)時(shí),且, ,函數(shù)在上是增加的,
∴, 成立;
當(dāng)時(shí),令,得,當(dāng), ,
函數(shù)在上是減小的,而,所以,當(dāng)時(shí), ,
所以不恒成立,
綜上,對(duì)任意都有恒成立時(shí), .
(3)∵,∴,
又,當(dāng)時(shí), ,∴在上是增加的,
所以,當(dāng)時(shí),∵,∴,
而,∴成立.
,假設(shè)時(shí), 成立,那么當(dāng)時(shí), ,
而,∴成立.
綜合, 得: , 成立.
29.【xx河北石家莊二中八月模擬】已知函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,若對(duì)任意,存在,使得 成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) 的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間時(shí);(2) .
,使得成立, 的圖象與直線(xiàn)有交點(diǎn), 方程在上有解.
試題解析:
(Ⅰ)因?yàn)椋?
所以,
因?yàn)榈亩x域?yàn)?,?dāng)時(shí), 或時(shí),
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間時(shí).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),
又,
所以對(duì)任意,存在,使得成立,
存在,使得成立,
存在,使得成立,
因?yàn)?表示點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方,
所以存在,使得成立,
的圖象與直線(xiàn)有交點(diǎn),
方程在上有解,
設(shè),則,
當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減,
又,所以的值域是,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
30.【xx河北石家莊二中八月模擬】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的最大值與最小值;
(Ⅱ)討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).
【答案】(1) 最小值是,最大值是;(2) 時(shí),方程有1個(gè)實(shí)根; 時(shí),方程有3個(gè)實(shí)根.
試題解析:
(Ⅰ)因?yàn)椋?
所以,
令得, 的變化如下表:
在上的最小值是,
因?yàn)椋?
所以在上的最大值是.
(Ⅱ),
所以或,
設(shè),則, 時(shí), , 時(shí), ,
所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù), ,
且,
(?。┊?dāng)時(shí),即時(shí), 沒(méi)有實(shí)根,方程有1個(gè)實(shí)根;
(ⅱ)當(dāng)時(shí),即時(shí), 有1個(gè)實(shí)根為零,方程有1個(gè)實(shí)根;
(ⅲ)當(dāng)時(shí),即時(shí), 有2不等于零的實(shí)根,方程有3個(gè)實(shí)根.
綜上可得, 時(shí),方程有1個(gè)實(shí)根; 時(shí),方程有3個(gè)實(shí)根.
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