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1、
教學(xué)案例《函數(shù)的應(yīng)用舉例》
南寧市第十四中學(xué)高中部 陳元菊
一、案例背景：
高中的數(shù)學(xué)知識(shí)也涉及初中的內(nèi)容，可以說高中數(shù)學(xué)知識(shí)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的延拓和提高，但不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，因此在教學(xué)中要正確處理好二者的銜接，深入研究?jī)烧弑舜藵撛诘穆?lián)系和區(qū)別，做好新舊知識(shí)的串連和溝通。由于實(shí)行九年制義務(wù)教育和倡導(dǎo)全面提高學(xué)生素質(zhì)，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中在函數(shù)的內(nèi)容上進(jìn)行了較大幅度的調(diào)整，難度、深度和廣度大大降低，而在高一學(xué)習(xí)中函數(shù)應(yīng)用教廣泛。為提高學(xué)生對(duì)初高中銜接重要性的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生初步了解高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)。為此，結(jié)合實(shí)例，在上課時(shí)找出結(jié)合初高中知識(shí)的銜接點(diǎn)，給學(xué)生分析初高中教學(xué)在函數(shù)這一章學(xué)習(xí)方
2、法的延續(xù)和存在的區(qū)別。
二、案例主題:
在初中基礎(chǔ)上,進(jìn)一步通過建立函數(shù)模型以及運(yùn)用模型解決問題，體會(huì)函數(shù)的廣泛應(yīng)用及運(yùn)用方法。通過思考、交流、合作等探究過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。學(xué)會(huì)使用信息技術(shù)工具如計(jì)算器,計(jì)算機(jī),來計(jì)算、整理、表達(dá)信息。重點(diǎn)數(shù)學(xué)建模的方法. 難點(diǎn)根據(jù)實(shí)際問題合理的選擇數(shù)學(xué)模型和科學(xué)評(píng)價(jià)模型優(yōu)劣
三、案例過程：
引入：“能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”是九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱規(guī)定的初中數(shù)學(xué)教學(xué)目的之一，學(xué)生通過初中的學(xué)習(xí)已經(jīng)基本具備這種能力。從初中到高中目前已經(jīng)學(xué)習(xí)過的幾類重要的函數(shù)：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指
3、數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。在解決實(shí)際問題過程中常用到函數(shù)的知識(shí)有：函數(shù)的概念，函數(shù)解析式，函數(shù)圖像性質(zhì)。最核心是確定函數(shù)解析式，在初中我們就已經(jīng)學(xué)習(xí)到待定系數(shù)法。
【2008年中考26題】：隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高.某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹木的利潤(rùn)與投資量成正比例關(guān)系，如圖-①所示；種植花卉的利潤(rùn)與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖-②所示（注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬(wàn)元）
（1） 分別求出利潤(rùn)關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式
（2）如果這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲取的最大利潤(rùn)是多少？
4、
圖① 圖②
在初中，函數(shù)關(guān)系具體（如本題中已明確是正比例關(guān)系、二次函數(shù)關(guān)系），且有圖形提供數(shù)據(jù)，學(xué)生只需用待定系數(shù)法確定各函數(shù)中的常數(shù)，即可獲得函數(shù)關(guān)系，再將其化為常規(guī)的函數(shù)問題解決。到高中，思維層次上升，對(duì)函數(shù)應(yīng)用提出更高的要求。
問題提出：
以下是對(duì)某一地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值調(diào)查統(tǒng)計(jì)表：
身高(cm)
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
體重(kg)
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.
5、50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
問題：據(jù)醫(yī)學(xué)測(cè)定，如果體重超過相同身高男性平均值的1.2倍屬偏胖，低于相同身高男性平均值的0.8倍屬偏瘦。現(xiàn)在某地區(qū)某中學(xué)有一男生，其身高175cm，體重為75kg,試問他的體重是否正常？
1、引導(dǎo)分析：
啟發(fā)（1）：表中身高欄中沒有175 cm這個(gè)數(shù)值，對(duì)應(yīng)的體重只有靠推測(cè)，依據(jù)統(tǒng)計(jì)表，是否可以找到身高與體重的關(guān)系呢？
啟發(fā)（2）：根據(jù)身高與體重的數(shù)對(duì)關(guān)系，假設(shè)身高用來表示，體重用來表示，那么、之間有什么函數(shù)關(guān)系呢？
以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中，描出各點(diǎn)，設(shè) A（60，6.1
6、3）、B（70，7.90）、C（80，9.99）、D（90，12.15）、E（100，15.02）、F（110，17.50）、G（120，20.92）、H（130，26.86）、I（140，31.11）、J（150，38.85）、K（160，47.253）、L（170，55.05）
（觀察連線接近的函數(shù)圖象，猜想應(yīng)當(dāng)選擇哪種函數(shù)關(guān)系式；然后用待定系數(shù)法確定函數(shù)中的常數(shù)，找出與之接近的模擬函數(shù)）
2、討論模型：（備好坐標(biāo)紙，學(xué)生兩兩合作，描點(diǎn)，成圖，猜想函數(shù)模型），
學(xué)生操作后易發(fā)現(xiàn)（推選代表發(fā)言）：
猜想模擬函數(shù)：（1）二次函數(shù)型：
（2）指數(shù)函數(shù)型：
兩種意見的同學(xué)分別用待定系數(shù)
7、法確定所選函數(shù)式中的待系數(shù)，
（學(xué)生繼續(xù)兩兩合作，代值，計(jì)算（用計(jì)算器），求解）
猜想1：二次函數(shù)型，設(shè)函數(shù)關(guān)系為，
（因時(shí)間限制，統(tǒng)一選擇點(diǎn)A（60，6.13）, C (80,9.99), E (100,15.02)
坐標(biāo)代入得:
近似函數(shù)關(guān)系式為:
猜想2:指數(shù)函數(shù)型：設(shè)函數(shù)關(guān)系為,
選擇點(diǎn)B（70，7.90）, L (170,55.05)坐標(biāo)代入,得:
近似函數(shù)關(guān)系式為:
3、評(píng)價(jià)模型優(yōu)劣：
記二次函數(shù)型:
記指數(shù)函數(shù)型:
將H（130，26.86）, J（150，38.85）,K（160，47.253）分別代入 、中，計(jì)算并比較誤差：
得到(1
8、): 誤差:-0.66
誤差:-2.16
(2)： 誤差:0.15
誤差:-6.15
（3）： 誤差:0.25
誤差:-10.15
引導(dǎo)學(xué)生分析上述兩個(gè)模型的優(yōu)劣,結(jié)合模擬函數(shù)圖象與散點(diǎn)圖切合的情況（電腦制作）和計(jì)算的結(jié)果誤差情況,指出從形的角度考慮，要求剩余點(diǎn)較少，從數(shù)的角度考慮，要求計(jì)算的誤差要小,這樣選出的函數(shù)才比較接近實(shí)際情況.
比較后得出：用指數(shù)函數(shù)型:擬合較符合實(shí)際。
把=175代入得: 即身高175 cm的
9、男性體重平均值 kg
結(jié)論：這名男生體形偏胖。
問題：已知姚明的身高為226cm,體重為125kg,他的體重是否正常？
把=226代入得: ，即相同身高226cm男性平均值為 kg
結(jié)論：姚明的體形偏瘦。
相比初中函數(shù)應(yīng)用題，高中內(nèi)涵更豐富，知識(shí)信息更廣泛，邏輯推理強(qiáng)，抽象程度高，知識(shí)難度大，但是初高中函數(shù)應(yīng)用有很多知識(shí)銜接點(diǎn)，如總是通過用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式再解決實(shí)際問題等。
4、小結(jié)歸納：（理論上升，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)）
函數(shù)擬合過程的一般步驟：
⑴、根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)畫出圖象，該圖象就叫做散點(diǎn)圖；
⑵、根據(jù)散點(diǎn)的分布猜想應(yīng)當(dāng)選擇哪種函數(shù)關(guān)系式；
⑶、
10、用待定系數(shù)法確定所選函數(shù)式中的待定系數(shù),求出函數(shù)表達(dá)式；
⑷、用求出的函數(shù)表達(dá)式解決實(shí)際問題。
（初中，教師講得細(xì)，類型歸納得全，學(xué)生習(xí)慣于圍著教師轉(zhuǎn)，不需要獨(dú)立思考和對(duì)規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)。而到了高中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生勤于思考，善于歸納總結(jié)規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)思想方法，做到舉一反三，觸類旁通）
四、教學(xué)反思：
1、初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容少，知識(shí)難度不大，教學(xué)要求較低，在高一階段數(shù)學(xué)的教與學(xué)中明顯出現(xiàn)了障礙 “學(xué)生感到難學(xué)，教師感到難教”， 高一《函數(shù)應(yīng)用》章節(jié)相對(duì)于初中而言, 邏輯推理強(qiáng)，抽象程度高，知識(shí)難度大，這使得剛?cè)敫咧械膶W(xué)生不容易適應(yīng)這種教學(xué)方法，聽課時(shí)就存在思維障礙。
2、上課學(xué)生不
11、愛舉手發(fā)言，課內(nèi)討論氣氛不夠熱烈，有時(shí)點(diǎn)名回答問題也不夠直爽。心理上的閉鎖性，給教學(xué)帶來很大的障礙，表現(xiàn)在學(xué)生課堂上啟而不發(fā)，呼而不應(yīng)。搞好初高中銜接，除了優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)外，還應(yīng)充分發(fā)揮情感和心理的積極作用。我們?cè)诟咭唤虒W(xué)中，應(yīng)注意運(yùn)用情感和成功原理，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣。
3、多媒體技術(shù)的出現(xiàn)為我們教學(xué)手段改進(jìn)提供了新的機(jī)會(huì)，產(chǎn)生不可估量的教學(xué)效果。比較兩個(gè)模型的優(yōu)劣,模擬函數(shù)圖象與散點(diǎn)圖切合的情況（電腦制作）并計(jì)算結(jié)果誤差，省時(shí)省力，而且有說服力。
4、培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)確計(jì)算能力
用待定系數(shù)法列方程組，通過計(jì)算求借函數(shù)表達(dá)式，很多學(xué)生計(jì)算不出或者花時(shí)間太多，造成課堂節(jié)奏慢，時(shí)間分配上，重心不突出。
總之，在高一數(shù)學(xué)的起步教學(xué)階段，抓好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接，分析清楚學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的原因，便能使學(xué)生盡快適應(yīng)新的學(xué)習(xí)模式，從而更高效、更順利地接受新知和發(fā)展能力。
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教學(xué)案例《函數(shù)的應(yīng)用舉例》
