湖南省長(zhǎng)望瀏寧四縣市高三下學(xué)期3月模擬考試 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 2015年3月長(zhǎng)望瀏寧高三模擬考試 理科數(shù)學(xué)試卷 時(shí)量：120分鐘 總分150分 考生注意： 1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)在答題卡上，考生要認(rèn)真核對(duì)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。 2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。第Ⅱ卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上作答的答案無(wú)效。 3．考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回。 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合

2、題目要求的。 1、集合，則 A． B． C． D． 2、設(shè)，則是的 A．充要條件 B．充分但不必要條件 C．必要但不充分條件 D．既不充分也不必要條件 3、已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，則 A．－3 B．－1 C．1 D．2 4、的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是 A．2 B．3 C．-2 D． -3 5、如下圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x＋y，且＝3，則 第5題圖 A、x＝，y＝ B、x

3、＝，y＝ C、x＝，y＝ D、x＝，y＝ 是 否 開(kāi)始 輸入a,b 輸出S a≥b? S=b(a+1) 結(jié)束 S=a(a-b) 第6題圖 6、定義運(yùn)算為執(zhí)行如圖所示的程序框圖 輸出的S值，則的值為 A．2 B．-2 C．-1 D．1 7、已知最小正周期為2的函數(shù)在區(qū)間 上的解析式是，則函數(shù) 在實(shí)數(shù)集R上的圖象與函數(shù) 的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 第8題圖 A．3 B．4 C．5 D．6 8、已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所

4、示，俯視圖是 邊長(zhǎng)為2的正三角形，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為 9、如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,—1)，B(,—1)，C(,1)，D(0,1)， 正弦曲線和余弦曲線在矩形ABCD內(nèi)交于點(diǎn)F，向矩形ABCD C B x y O A E D F f(x)=sinx g(x)=cosx 區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 A． B． C． D． 第9題圖 第12題圖 10、若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對(duì)于任意正整數(shù)都有成立，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，周期為.已知數(shù)列滿足，則

5、下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 A. 若，則可以取3個(gè)不同的值； B. 若，則數(shù)列是周期為3的數(shù)列； C. 且，存在，數(shù)列周期為； D. 且，數(shù)列是周期數(shù)列. 二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分。 （一）選做題（請(qǐng)考生在第11、12、13三題中任選兩題作答，若全做，則按前兩題記分） 11、在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，則直線和曲線C的公共點(diǎn)有 個(gè)． 12、如右上圖，圓O的直徑AB = 8，C為圓周上一點(diǎn)，BC = 4，過(guò)C作圓的切線，過(guò)A作直線的垂線AD，

6、D為垂足，AD與圓O交于點(diǎn)E，則線段AE的長(zhǎng)為 ． 13、若,則的最小值為_(kāi)_______. （二）必做題（14-16題） 14、設(shè)實(shí)數(shù)滿足，向量．若，則實(shí)數(shù)m的最小值為 ． 15、已知兩定點(diǎn)A(－1，0)和B(1，0),動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，橢圓C 以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為 . 16、若函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a,b]上存在，滿足，則稱函數(shù)是[a,b]上的“平均值函數(shù)”， 是它的一個(gè)均值點(diǎn)．例如是[-2，2]上的“平均值函數(shù)”，O就是它的均值點(diǎn)．若函數(shù)是[-1，1]上的“平均值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范

7、圍是 . 三、解答題：本大題共6個(gè)小題，滿分75分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。 17、（本小題滿分12分） “ALS冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項(xiàng)社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的籌款活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)定：被邀請(qǐng)者要么在24小時(shí)內(nèi)接受挑戰(zhàn)，要么選擇為慈善機(jī)構(gòu)捐款（不接受挑戰(zhàn)），并且不能重復(fù)參加該活動(dòng).若被邀請(qǐng)者接受挑戰(zhàn)，則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容，然后便可以邀請(qǐng)另外3個(gè)人參與這項(xiàng)活動(dòng).假設(shè)每個(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，且互不影響. （Ⅰ）若某被邀請(qǐng)者接受挑戰(zhàn)后，對(duì)其他3個(gè)人發(fā)出邀請(qǐng)，則這3個(gè)人中至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率是多少？ （Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀請(qǐng)到的

8、3個(gè)人中恰有兩人接受挑戰(zhàn).根據(jù)活動(dòng)規(guī)定，現(xiàn)記為接下來(lái)被邀請(qǐng)到的6個(gè)人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 18、（本小題滿分12分） 第18題圖 如圖，摩天輪上一點(diǎn)在時(shí)刻距離地面高度滿足 ，已知某摩天輪的半徑為米，點(diǎn)距地面的高度為米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處． （1）根據(jù)條件寫(xiě)出（米）關(guān)于（分鐘）的解析式； （2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)距離地面超過(guò)米? 19、 (本小題滿分12分) 第19題圖 如圖，在四棱錐中，,四邊形是菱形， 且交于點(diǎn)，是上任意一點(diǎn). （1）求證：； （2）已知二面角的余弦值為，若為

9、 的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值. 20、（本小題滿分13分） 為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，某市計(jì)劃用若干年時(shí)間更換10000輛燃油型公交車。每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動(dòng)力型車。今年初投入了電力型公交車輛，混合動(dòng)力型公交車輛，計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加，混合動(dòng)力型車每年比上一年多投入輛．設(shè)、分別為第年投入的電力型公交車、混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量，設(shè)、分別為年里投入的電力型公交車、混合動(dòng)力型公交車的總數(shù)量。 （1）求、，并求年里投入的所有新公交車的總數(shù)； （2）該市計(jì)劃用年的時(shí)間完成全部更換，求的最小值．

10、 21、（本小題滿分13分） 如圖，已知圓E:，點(diǎn)，P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q． （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程； （Ⅱ）設(shè)直線與(Ⅰ)中軌跡相交于兩點(diǎn), 直線的斜率分別為(其中 )．△的面積為, 以為直徑的圓的面積分別為．若恰好 第21題圖 構(gòu)成等比數(shù)列, 求的取值范圍． 22、（本小題滿分13分） 已知． (1)若，函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求的取值范圍； (2) 的圖象與軸交于)兩點(diǎn),中點(diǎn)為，求證：平面． 2015年3月長(zhǎng)

11、望瀏寧高三模擬考試 理科數(shù)學(xué) 參考答案 一、選擇題：（每小題5分，共50分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B D A C B B D 二、填空題：（每小題5分，共25分） 11、1；12、4；13、；14、－2；15、；16、(0,2). 三、解答題：（共75分） 17、（12分）解法一：（Ⅰ）這3個(gè)人接受挑戰(zhàn)分別記為、、，則分別表示這3個(gè)人不接受挑戰(zhàn)．這3個(gè)人參與該項(xiàng)活動(dòng)的可能結(jié)果為：，，，，，，，．共有8種； 2分 其中，至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)的可能結(jié)果有：，，，，

12、共有4種． 3分 根據(jù)古典概型的概率公式，所求的概率為． 4分 （說(shuō)明：若學(xué)生先設(shè)“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑戰(zhàn)的情況”，再將所有結(jié)果寫(xiě)成,,，,,,,，不扣分．） （Ⅱ）因?yàn)槊總€(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的， 所以每個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為． 5分 所以，， ，， ，，

13、 9分 0 1 2 3 4 5 6 10分 故的分布列為： 所以． 故所求的期望為． 12分 解法二：因?yàn)槊總€(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的， 所以每個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為． 1分 （Ⅰ）設(shè)事件M為“這3個(gè)人中至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)”， 則．

14、 4分 （Ⅱ）因?yàn)闉榻酉聛?lái)被邀請(qǐng)的6個(gè)人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，所以． 5分 所以，， ，， ，， 9分 故的分布列為： 10分 0 1 2 3 4 5 6 所以．故所求的期望為． 12分 18、（12分）（1）由題設(shè)可知，，

15、 1分 又，所以， 3分 從而，再由題設(shè)知時(shí)， 代入，得，從而， 5分 因此，. 6分 （2）要使點(diǎn)距離地面超過(guò)米，則有， 8分 即 ，又解得， 即 10分 所以，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，點(diǎn)距離地面超過(guò)米的時(shí)間有分鐘.

16、 12分 19、（12分）（1）因?yàn)槠矫妫裕? 1分 因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所? 2分 x y z 又 因?yàn)? 5分 （2）連接在中， 所以分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)則，. 6分 由（1）知，平面的一個(gè)法向量為（1,0,0）， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得，令，得 8分 因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以? 解得或（舍去），所以 10分 設(shè)與平面所成的角為.因?yàn)椋?/p>

17、， ∴ 所以與平面所成角的正弦值為. 12分 20、（13分）（1）設(shè)、分別為第年投入的電力型公交車、混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量， 依題意知，數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列； 1分 數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列， 2分 所以數(shù)列的前和， 4分 數(shù)列的前項(xiàng)和， 6分 所以經(jīng)過(guò)年，該市更換的公交車總數(shù) ； 7

18、分 （2）因?yàn)?、是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)， 9分 因此是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)， 10分 所以滿足的最小值應(yīng)該是， 11分 即，解得， 12分 又，所以的最小值為147． 13分 21、（13分）（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓． 2

19、分 設(shè)其方程為， 可知，，則， 3分 所以點(diǎn)Q的軌跡的方程為． 4分 (Ⅱ)設(shè)直線的方程為，， 由可得， 由韋達(dá)定理有： 且 6分 ∵構(gòu)成等比數(shù)列，=，即： 由韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得：．∵ ，． 8分 此時(shí)，即． 又由三點(diǎn)不共線得，從而． 故 10分 ∵ 則 為定值． 12分 ∴ ∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)

20、成立． 綜上：的取值范圍是． 13分 22、（13分）(1)依題意：．∴ 1分 ∵在上遞增，∴對(duì)恒成立， 即對(duì)恒成立，只需． 3分 ∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”， 4分 ∴，∴b的取值范圍為． 6分 (2)由已知得 兩式相減，得 ． 8分 由及，得 10分 令． ∵，∴在上遞減，∴． ，即， 12分 又，． 13分 - 18 -