9、出這個(gè)值；
（Ⅲ）若，求與平面PQEF所成角的正弦值．
（八）
17.在中，已知內(nèi)角，邊．設(shè)內(nèi)角，周長(zhǎng)為．
（1）求函數(shù)的解析式和定義域；
（2）求的最大值．
18.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床相互沒(méi)有影響地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲機(jī)床產(chǎn)品的正品率是0.9，乙機(jī)床產(chǎn)品的正品率是0.95．
（Ⅰ）從甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用數(shù)字作答）；
（Ⅱ）從甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率.
19. 如圖，正四棱柱中，，點(diǎn)在上且．
A
B
C
D
E
A1
B1
10、C1
D1
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大?。?
（九）
17.在中，角的對(duì)邊分別為．
（1）求；
（2）若，且，求．
18. 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球.兩甲，乙兩袋中各任取2個(gè)球.
(Ⅰ)若n=3，求取到的4個(gè)球全是紅球的概率；
(Ⅱ)若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為，求n.
19. 如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H為PD上的動(dòng)
11、點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的
正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值。
（十）
17.設(shè)函數(shù)，其中向量，，，且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的最小值及此時(shí)值的集合．
18. 甲、乙、丙三人在同一辦公室工作。辦公室只有一部電話機(jī)，設(shè)經(jīng)過(guò)該機(jī)打進(jìn)的電話是打給甲、乙、丙的概率依次為、、。若在一段時(shí)間內(nèi)打進(jìn)三個(gè)電話，且各個(gè)電話相互獨(dú)立。求：
（Ⅰ）這三個(gè)電話是打給同一個(gè)人的概率；
（Ⅱ）這三個(gè)電話中恰有兩個(gè)是打給甲的概率；
A1
A
C1
B1
B
D
C
19. 三棱錐被
12、平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，，平面，，，，，．
（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大?。?
參考答案
（一）
17.解：因?yàn)闉榈淖钚≌芷?，故?
因，又．
故．
由于，所以
18. 解：（1）當(dāng)乙連勝四局時(shí)，對(duì)陣情況如下：
第一局：甲對(duì)乙，乙勝；第二局：乙對(duì)丙，乙勝；第三局：乙對(duì)甲，乙勝；
第四局：乙對(duì)丙，乙勝．
所求概率為＝＝＝0.09
∴ 乙連勝四局的概率為0.09．
?。?）丙連勝三局的對(duì)陣情況如下：
第一局：甲對(duì)乙，甲勝，或乙勝．
當(dāng)甲勝時(shí)，第二局：甲對(duì)丙，丙勝．第三局：丙對(duì)乙，丙勝；第四局：丙對(duì)甲
13、，丙勝．
當(dāng)乙勝時(shí)，第二局：乙對(duì)丙，丙勝；第三局：丙對(duì)甲，丙勝；第四局：丙對(duì)乙，丙勝．
故丙三連勝的概率＝0.40.5＋（1-0.4）0.6＝0.162．
19. 解法一：
（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．
因?yàn)?，所以?
D
B
C
A
S
又，故為等腰直角三角形，，
由三垂線定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題設(shè)，
故，由，，，
得，．
的面積．
連結(jié)，得的面積
設(shè)到平面的距離為，由于，得
，
解得．
設(shè)與平面所成角為，則．
所以，直線與平面所成的我為．
解法二：
D
B
C
A
S
（Ⅰ）作，垂
14、足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．
因?yàn)?，所以?
又，為等腰直角三角形，．
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，
建立直角坐標(biāo)系，
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中點(diǎn)，，
連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，．
，，．
，，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直．
所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余．
，．
，，
所以，直線與平面所成的角為．
（二）
17.解：（Ⅰ），
．
又，．
（Ⅱ），邊最大，即．
又，
角最小，邊為最小邊．
由且，
得．由得：．
所以，最小邊．
18. 解：（I）設(shè)A表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)不同”，則
答：拋擲2次，向上的
15、數(shù)不同的概率為
（II）設(shè)B表示事件“拋擲2次，向上的數(shù)之和為6”。
向上的數(shù)之和為6的結(jié)果有、、、、 5種，
A
A
E
B
C
F
S
D
G
M
y
z
x
答：拋擲2次，向上的數(shù)之和為6的概率為
19.(1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則
，．
取的中點(diǎn)，則．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨設(shè)，
則．
中點(diǎn)M
又，，
所以向量和的夾角等于二面角的平面角．
．
（III）由（I）知，平面，
是與平面所成的角，且．
當(dāng)最小時(shí)，最大，
這時(shí)，，垂足為，，，
與平面所成角的最大值為．
（三）
17.
16、解：（Ⅰ）設(shè)中角的對(duì)邊分別為，
則由，，可得，．
（Ⅱ）
．
，，．
即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
18. 解:（1）
（2）方法一：
方法二：
方法三：
19. （I）由題意，，，
是二面角是直二面角，
又二面角是直二面角，
，又，
平面，
又平面．
平面平面．
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，
，，
．
異面直線與所成角的大小為．
（四）
17. 解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范圍是．
18. 解：（Ⅰ）甲班參賽同學(xué)恰有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率為
乙班參賽同學(xué)中恰有一
17、名同學(xué)成績(jī)及格的概率為
故甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)幾個(gè)的概率為
（Ⅱ）解法一：甲、乙兩班4名參賽同學(xué)成績(jī)都不及格的概率為
故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有一名同學(xué)成績(jī)都不及格的概率為
解法二：甲、乙兩班參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率為
甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有2名同學(xué)成績(jī)及格的概率為
甲、乙兩班參賽同學(xué)中恰有3名同學(xué)成績(jī)及格的概率為
甲、乙兩班4同學(xué)參賽同學(xué)成績(jī)都及格的概率為
故甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率為
19. 作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系
,
(1)
設(shè)平面OCD的法向量為,則
即
取,解得
18、
(2)設(shè)與所成的角為,
, 與所成角的大小為
(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的交流為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,
由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為。
（五）
17.解：
．
（I）函數(shù)的最小正周期是；
（II）當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）．
18. 解：設(shè)表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1；
表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2；
（1）依題意所求的概率為
(2)解法一：所求的概率為
解法二：所求的概率為
19.解：如圖，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(
19、1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)
所以
所以異面直線所成的角的余弦值為：
(2)設(shè)平面PCD的法向量為，
，所以 ；
令x=1,則y=z=1,所以 又
則，點(diǎn)A到平面PCD的距離為：w
（六）
17.解：（Ⅰ）依題設(shè)，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).
由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2 x +)=－.
∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，
即x=-.
（Ⅱ）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m，n)平移后得到函數(shù)y=2sin2(x－m)+n的圖象，即函數(shù)y=f(x)的圖象.
由（Ⅰ）得 f(x)=2
20、sin2(x+)+1.
∵|m|<，∴m=-，n=1.
18. 解：（I）“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事件記為A，由題意
（II）“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3”的事件記為B，則
（III）“抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同”的事件記為C，“抽出的3張卡片上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為D，由題意，C與D是對(duì)立事件，因?yàn)?
所以 .
19. 解：如圖，以為原點(diǎn)，為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系．
則，．
A
B
C
D
P
x
y
z
H
連結(jié)，．
在平面中，延長(zhǎng)交于．
設(shè)，
由已知，
由
可得．
解得，
21、所以．
（Ⅰ）因?yàn)椋?
所以．
即與所成的角為．
（Ⅱ）平面的一個(gè)法向量是．
因?yàn)椋?
所以．
可得與平面所成的角為．
（七）
17.解：（Ⅰ）由，根據(jù)正弦定理得，所以，
由為銳角三角形得．
（Ⅱ）
．
由為銳角三角形知，
，．
，
所以．
由此有，
所以，的取值范圍為．
18. 解: (Ⅰ)記"甲投進(jìn)"為事件A1 ， "乙投進(jìn)"為事件A2 ， "丙投進(jìn)"為事件A3，
則 P(A1)= ， P(A2)= ， P(A3)= ，
∴ P(A1A2A3)=P(A1) P(A2) P(A3) = =
∴3人都投進(jìn)的概率為
(Ⅱ) 設(shè)“3人中恰有
22、2人投進(jìn)"為事件B
P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2)
=P()P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P(A1)P(A2)P()
=(1－) + (1－) + (1－) =
∴3人中恰有2人投進(jìn)的概率為
19. 以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D－xyz．由已知得，故
A
B
C
D
E
F
P
Q
H
y
x
z
G
，，，，
，，，
，，．
（Ⅰ）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得
，
，
．
因?yàn)?，所以是平面PQEF的法
23、向量．
因?yàn)?，所以是平面PQGH的法向量．
因?yàn)?，所以?
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分
（Ⅱ）證明：因?yàn)?，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．
在所建立的坐標(biāo)系中可求得，，
所以，又，
所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．
由為中點(diǎn)可知，分別為，，的中點(diǎn)．
所以，，因此與平面所成角的正弦值等于
．
（八）
17.解：（1）的內(nèi)角和，由得．
應(yīng)用正弦定理，知
，
．
因?yàn)椋?
所以，
（2）因?yàn)?
，
所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．
18. 解
24、：（I）任取甲機(jī)床的3件產(chǎn)品恰有2件正品的概率為
（II）解法一：記“任取甲機(jī)床的1件產(chǎn)品是正品”為事件A，“任取乙機(jī)床的1件產(chǎn)品是正品”為事件B。則任取甲、乙兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品各1件，其中至少有1件正品的概率為
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
y
x
z
解法二：運(yùn)用對(duì)立事件的概率公式，所求的概率為
19. 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，
建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
依題設(shè)，．
，．----3分
（Ⅰ）因?yàn)?，?
故，．
又，
所以平面． 6分
（Ⅱ）設(shè)向量是平面的法向量，則
，．
故，．
令，則，，．
25、 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小為．
（九）
17解：（1）
又
解得．
，是銳角．
．
（2），
，
．
又
．
．
．
．
18. 解：（I）記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件.
（II）記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件，“取到的4個(gè)球全是白球”為事件.由題意，得
所以，
化簡(jiǎn)，得
解得，或（舍去），
19. 由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以
E、F分別為BC、PC的
26、中點(diǎn)，所以
A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（），
所以
設(shè)平面AEF的一法向量為
則
因此
取
因?yàn)? BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以 BD⊥平面AFC，
故 為平面AFC的一法向量.
又 =（-），
所以 cos＜m, ＞=
因?yàn)? 二面角E-AF-C為銳角，
所以所求二面角的余弦值為
（十）
17.解：（Ⅰ），
由已知，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
當(dāng)時(shí)，的最小值為，
由，得值的集合為．
18. 解：（I）記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件.
（II）記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件，“取到的4個(gè)球全是白球”為事件.由題意，得
所以，
A1
A
C1
B1
B
D
C
z
y
x
化簡(jiǎn)，得
解得，或（舍去），
19. （Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，．
點(diǎn)坐標(biāo)為．
，．
，，，，又，
平面，又平面，平面平面．
（Ⅱ）平面，取為平面的法向量，
設(shè)平面的法向量為，則．
，
如圖，可取，則，
，
即二面角為．
30
高考數(shù)學(xué)前三大題突破訓(xùn)練(110)含詳細(xì)解答
