新人教A版高中數(shù)學(xué)必修四《簡(jiǎn)單的三角恒等變換》學(xué)案

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1、 湖南省隆回縣萬(wàn)和實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中數(shù)學(xué)《簡(jiǎn)單的三角恒等變換》學(xué)案 新人教A版必修4 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、通過(guò)二倍角的變形公式推導(dǎo)半角的正弦、余弦、正切公式，體會(huì)化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形，體會(huì)三角恒等變形在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。 3、通過(guò)例題的解答，學(xué)會(huì)對(duì)變換對(duì)象目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比、分析，形成對(duì)解題過(guò)程中如何選擇公式，如何根據(jù)問(wèn)題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過(guò)程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高自己的推理能力． 【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】以已有的十一個(gè)公式為依據(jù)，以推導(dǎo)積化和

2、差、和差化積、半角公式的推導(dǎo)為基本訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會(huì)三角變換的特點(diǎn)，提高推理、運(yùn)算能力． 【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過(guò)程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過(guò)程的能力． 【自主學(xué)習(xí)】(一)課前回顧 ①三角函數(shù)的和角公式：sin(α+β)= Cos(α+β) = tan(α+β)= ②三角函數(shù)的差角公式：sin(α-β)= Cos(α-β) = ta

3、n(α-β)= ③三角函數(shù)的倍角公式：sin2= Cos2 = tan2= （二）新課引入 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值、證明，都離不開(kāi)三角恒等變換.學(xué)習(xí)了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行三角變換的新工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富和靈活，同時(shí)也為培養(yǎng)和提高我們的推理、運(yùn)算、實(shí)踐能力提供了廣闊的空間和發(fā)展的平臺(tái).對(duì)于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,而且還會(huì)有所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異,因此

4、三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式,這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn).本節(jié)課我們來(lái)探討一下簡(jiǎn)單的三角恒等變換。 （三）新課講授【自主質(zhì)疑和合作探究】 【目標(biāo)一】降次公式與半角公式的得出，體現(xiàn)三角變換的靈活性。 1、思考：有什么樣的關(guān)系？ 2、試一試：以表示 。 自我總結(jié)：通過(guò)變換發(fā)現(xiàn)兩組公式（不要求記憶）： A：降次公式： B，半角公式：自己完成如下： C，自我應(yīng)用：已知，且在第三象限，求的值 探究1 ：公式成立的條件是什么？半角公式前的符號(hào)怎么確定？ 探究2：代數(shù)式變換與三角變換有什么不

5、同？ 【目標(biāo)二】積化和差與和差化積公式（不要求記憶），體會(huì)三角變換的特點(diǎn)和方程思想。 1、自己試一試：求證：（提示：先觀察兩邊的結(jié)構(gòu)及角的特點(diǎn)） （１）、； （２）、 探究1（2）的證明還有其他方法嗎？ 探究2在以上證明中用到哪些數(shù)學(xué)思想？ 探究3（１）式是積化和差的形式（２）式是和差化積的形式，你還能得出類似的公式嗎？ 2、自我總結(jié)一下：（1）積化和差公式： （2）和差化積公式： （3）數(shù)學(xué)思想方法： 【目標(biāo)三】函數(shù)y=asinx+bcosx的變形與應(yīng)用，學(xué)會(huì)把此類形式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)從而解決求一類三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)性等問(wèn)題。 1、 試一試：求函

6、數(shù)周期、最大值和最小值。 2、 探究1：能否把a(bǔ)sinx+bcosx化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式？ 3、 探究2：得到公式如下： asinx+bcosx=（sinxcosφ+cosxsinφ）=sin（x+φ） 這個(gè)公式中的φ角怎么確定？說(shuō)說(shuō)你的看法？ 4，變式訓(xùn)練：1)、把下列各式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)：（1）sinx+cosx (2) 2), 3),已知函數(shù) 求的最小正周期，（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值及取得最小值時(shí)的集合 【目標(biāo)四】建立函數(shù)模型利用三角恒等變換解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)、觀察、分析、解決問(wèn)題的能力。 1、如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是

7、扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記∠COP＝a，求當(dāng)角a取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積. 2、探究：結(jié)合本題，你能指出建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步嗎？ 4、 變式訓(xùn)練1：把一段半徑為R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使橫截面的面積最大？（分別設(shè)邊與角為自變量） 5、 變式訓(xùn)練2：已知半徑為1的半圓，PQRS是半圓的內(nèi)接矩形如圖，問(wèn)P點(diǎn)在什么位置時(shí)，矩形的面積最大，并求最大面積時(shí)的值． 【課堂練習(xí)】第142頁(yè)練習(xí)1，2，3，4 【知識(shí)梳理】 1、要對(duì)變換過(guò)程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識(shí)，學(xué)

8、會(huì)靈活運(yùn)用； ２、學(xué)會(huì)三角變形技巧和代數(shù)變形技巧，常見(jiàn)的三角變形技巧有 ①切化弦； ②“1”的變用；③統(tǒng)一角度，統(tǒng)一函數(shù)，統(tǒng)一形式等等； ３、建立函數(shù)模型利用三角恒等變換解決實(shí)際問(wèn)題. 【總結(jié)反思】 【鞏固拓展訓(xùn)練】1. 下列等式成立的是（ ） 2．函數(shù)是（ ） A．周期為的奇函數(shù) B．周期為的偶函數(shù) C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的偶函數(shù) 3. 某物體受到恒力是，產(chǎn)生的位移為，則恒力物體所做的最大功是（ ） A． B. C. D. 4. 若-2π

9、