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1、
2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征
1.某校舉行2012年元旦匯演,七位評(píng)委為某班的小品打出的分?jǐn)?shù)如下莖葉統(tǒng)計(jì)圖所示,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為( )
A.85,1.6 B.85,4
C.84,1.6 D.84,4.84
解析:所剩數(shù)據(jù)為84,84,86,84,87,
∴平均數(shù)為=85.
∴s2=[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+(87-85)2]
=1.6.
答案:A
2.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場比賽得分的莖葉圖,則甲、乙
2、兩人這幾場比賽得分的中位數(shù)之和是( )
A.62 B.63 C.64 D.65
解析:甲得分的中位數(shù)為28,乙得分的中位數(shù)為36,所以甲、乙兩人得分的中位數(shù)之和為64.
答案:C
3.某校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣班,其中甲班有40人,乙班有50人,現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績,算得甲班的平均分為90分,乙班的平均分為81分,則這兩個(gè)班的總平均分為 .
解析:=85.
答案:85
4.一位研究化肥的科學(xué)家將一片土地劃分成100個(gè)50m2的小塊,并在50個(gè)小塊上施用新化肥,留下50個(gè)條件大致相當(dāng)?shù)男K不施新化肥.
施用新化肥的50塊土地的小麥產(chǎn)量如下(單位:kg):
15 29
3、 22 15 3 30 22 16 5 2
22 13 20 25 42 25 20 38 12 29
14 21 26 13 21 27 13 21 11 18
10 18 24 24 36 34 23 18 10 9
17 23 23 8 16 23 31 16 23 40
沒有施用新化肥的50塊土地的小麥產(chǎn)量如下(單位:kg):
23 16 16 17 22 3 10 10 8 14
16 5 24 16 32 23 15 18 9 21
4 24 5 24 15 2 15 25 17 29
33 39 16 17 2 15 17 17 26 13
26 11 18
4、19 12 20 27 12 28 22
你認(rèn)為新化肥已經(jīng)取得成功了嗎?
解:利用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算,
第一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=20.32,標(biāo)準(zhǔn)差s1≈8.9609;
第二組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=17.36,標(biāo)準(zhǔn)差s2≈8.1578.
可見,施用新化肥后平均產(chǎn)量有了提高,雖然出現(xiàn)了幾個(gè)極端值,但產(chǎn)量相對(duì)穩(wěn)定,所以新化肥已經(jīng)取得了初步成效,但還需在穩(wěn)定性上加強(qiáng).
新化肥是比較成功的.
5.已知一樣本的各個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,11,12,14,18,20,且該樣本的中位數(shù)為10.5.
(1)求該樣本的平均數(shù);
(2)求該樣本的方差.
解:(1)由題意得=10.5,即a=
5、10.
于是2+3+3+7+a+11+12+14+18+20=100,
所以2,3,3,7,10,11,12,14,18,20的平均數(shù)為=10.
(2)設(shè)2,3,3,7,10,11,12,14,18,20的方差為s2,則s2=[(2-10)2+(3-10)2+…+(20-10)2]=35.6.
6.甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)分別是:
甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7
乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5
(1)分別計(jì)算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù);
(2)分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差;
(3)根據(jù)計(jì)算結(jié)果,估計(jì)一下兩名戰(zhàn)士的射擊情況.
解:(
6、1)(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7(環(huán)),
(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(環(huán)).
(2)由方差公式s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]得=3.0(環(huán)2),=1.2(環(huán)2).
(3),說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當(dāng);
又∵,說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動(dòng)大,因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定.
7.(2012廣東高考,文13)由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4,其平均數(shù)和中位數(shù)都是2,且標(biāo)準(zhǔn)差等于1,則這組數(shù)據(jù)為 .(從小到大排列)
解析:設(shè)該組數(shù)據(jù)依次為x1≤x2≤x3≤x4,則=2,=2,
∴x1+x4=4,x2+
7、x3=4.
∵x1,x2,x3,x4∈N*,∴
又∵標(biāo)準(zhǔn)差為1,∴x1=1,x2=1,x3=3,x4=3.
答案:1,1,3,3
8.如果數(shù)據(jù)a1,a2,a3,…,an的平均數(shù)為,方差為s2,則數(shù)據(jù)2a1,2a2,2a3,…,2an的平均數(shù)與方差分別為 ?, ?;數(shù)據(jù)2a1+1,2a2+1,2a3+1,…,2an+1的平均數(shù)與方差分別為 , .
解析:記數(shù)據(jù)2a1,2a2,…,2an的平均數(shù)為,方差為,
則
==2;
=4s2.
記數(shù)據(jù)2a1+1,…,2an+1的平均數(shù)為,方差為,
則
=
=+1=2+1;
=4s2.
答案:2
8、4s2 2+1 4s2
9.一次科技知識(shí)競賽,兩組學(xué)生成績?nèi)缦卤?
分?jǐn)?shù)
50
60
70
80
90
100
人數(shù)
甲組
2
5
10
13
14
6
乙組
4
4
16
2
12
12
已經(jīng)計(jì)算得兩個(gè)組的平均分都是80分,請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí),進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組這次競賽中成績誰優(yōu)誰次,并說明理由.
解:(1)甲組成績的眾數(shù)為90分,乙組成績的眾數(shù)為70分,從成績的眾數(shù)比較,甲組的成績好一些.
(2)[2(50-80)2+5(60-80)2+10(70-80)2+13(80-80)2+14(90-80)2+6(100-80)2]=1
9、72.
[4(50-80)2+4(60-80)2+16(70-80)2+2(80-80)2+12(90-80)2+12(100-80)2]=(4900+4400+16100+20+12100+12400)=256.
因?yàn)?所以甲組的成績比乙組的成績穩(wěn)定.
(3)甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均分都是80分,其中,甲組成績?cè)?0分及以上的有33人,乙組成績?cè)?0分及以上的有26人,從這一角度來看甲組的成績總體較好.
(4)從成績統(tǒng)計(jì)表來看,甲組的成績不低于90分的人數(shù)為14+6=20,乙組的成績不低于90分的人數(shù)為12+12=24.
所以乙組成績集中在高分段的人數(shù)多,同時(shí)乙組得滿分的人數(shù)比
10、甲組得滿分的人數(shù)多6人,從這一角度來看,乙組的成績較好.
10.為了檢驗(yàn)A,B兩條網(wǎng)線從網(wǎng)絡(luò)下載數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性,現(xiàn)選取一天內(nèi)的10個(gè)不同的時(shí)間點(diǎn),測得分別用A,B兩條網(wǎng)線在同一網(wǎng)址下載同一文件所需要的時(shí)間(單位:s)如下表:
A
40.0
39.8
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
B
40.0
40.0
39.9
40.0
39.9
40.1
40.1
40.1
40.0
39.9
分別計(jì)算A,B兩條網(wǎng)線下載上面同一文件所用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差,并比較兩者下載時(shí)間的穩(wěn)定性.
解:從數(shù)據(jù)容易得到A,B兩條
11、網(wǎng)線下載同一文件10次所需時(shí)間的平均數(shù)=40(s).
分別計(jì)算出它們下載10次所用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差:
sA=≈0.161(s),
sB=≈0.077(s).
由上面的計(jì)算可以看出:A,B兩條網(wǎng)線下載同一文件10次所需時(shí)間的平均數(shù)相同,而A網(wǎng)線下載時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差約為0.161s,比B網(wǎng)線下載時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差0.077s大,說明B網(wǎng)線下載時(shí)間更穩(wěn)定一些.
11.某班4個(gè)小組的人數(shù)為10,10,x,8,已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等,求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
解:該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(28+x),中位數(shù)一定是其中兩個(gè)數(shù)的平均數(shù),由于x未知,所以要分下列幾種情況討論.
(1)當(dāng)x≤8時(shí),原數(shù)據(jù)按從小到
12、大的順序排列為x,8,10,10,其中位數(shù)為(10+8)=9.若(x+28)=9,則x=8,此時(shí)中位數(shù)為9.
(2)當(dāng)810時(shí),原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為8,10,10,x,其中位數(shù)為(10+10)=10.若(x+28)=10,則x=12,此時(shí)中位數(shù)為10.
綜上所述,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為9或10.
12.甲、乙兩人在相同條件下打靶10次,每次打靶的成績情況如圖所示:
(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤?
平均
13、數(shù)
中位數(shù)
命中9環(huán)及以上次數(shù)
甲
7
乙
(2)從下列三個(gè)不同角度對(duì)這次測驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析:
從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看,誰的成績好些?
從平均數(shù)和命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數(shù)相結(jié)合看,誰的成績好些?
從折線圖中兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看,誰更有潛力?
解:(1)甲:中位數(shù)是7.5,命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數(shù)為3;
乙:平均數(shù)是6.7,中位數(shù)是6.5,命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數(shù)為1.
(2)由(1)知,從平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合看,甲的成績好些;從平均數(shù)和命中9環(huán)及以上(包含9環(huán))的次數(shù)相結(jié)合看,甲的成績好些;從折線圖中兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看,甲的潛力更大些.
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