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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題三 三角函數(shù) 解三角形與平面向量 第3講 平面向量試題
1.(xx課標(biāo)全國Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),=3,則( )
A.=-+ B.=-
C.=+ D.=-
2.(xx四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,||=6,||=4,若點(diǎn)M,N滿足=3,=2,則等于( )
A.20 B. 15 C.9 D.6
3.(xx江蘇)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),則m-n的值為________.
4.(xx湖南)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0),B(0,),C(3,0),動點(diǎn)D滿足||=1,則|++|的最大值是________.
1.考查平面向量的基本定理及基本運(yùn)算,多以熟知的平面圖形為背景進(jìn)行考查,多為選擇題、填空題、難度中低檔.2.考查平面向量的數(shù)量積,以選擇題、填空題為主,難度低;向量作為工具,還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合,以解答題形式出現(xiàn).
熱點(diǎn)一 平面向量的線性運(yùn)算
(1)在平面向量的化簡或運(yùn)算中,要根據(jù)平面向量基本定理選好基底,變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化;
(2)在用三角形加法法則時要保證“首尾相接”,結(jié)果向量是第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量終點(diǎn)所在的向量;在用三角形減法法則時要保證“同起點(diǎn)”,結(jié)果向量的方向是指向被減向量.
例1 (1)(xx陜西)設(shè)0<θ<,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,則tan θ=______.
(2)如圖,在△ABC中,AF=AB,D為BC的中點(diǎn),AD與CF交于點(diǎn)E.若=a,=b,且=xa+yb,則x+y=________.
思維升華 (1)對于平面向量的線性運(yùn)算,要先選擇一組基底;同時注意共線向量定理的靈活運(yùn)用.(2)運(yùn)算過程中重視數(shù)形結(jié)合,結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系.
跟蹤演練1 (1)(xx黃岡中學(xué)期中)已知向量i與j不共線,且=i+mj,=ni+j,m≠1,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)m,n滿足的條件是( )
A.m+n=1 B.m+n=-1
C.mn=1 D.mn=-1
(2)(xx北京)在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足=2,=.若=x+y,則x=________;y=________.
熱點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積
(1)數(shù)量積的定義:ab=|a||b|cos θ.
(2)三個結(jié)論
①若a=(x,y),則|a|==.
②若A(x1,y1),B(x2,y2),則
||=.
③若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為a與b的夾角,
則cos θ==.
例2 (1)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,=2,則的值是________.
(2)在△AOB中,G為△AOB的重心,且∠AOB=60,若=6,則||的最小值是________.
思維升華 (1)數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法:數(shù)量積的定義,坐標(biāo)運(yùn)算,數(shù)量積的幾何意義;(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角,向量要分解成題中模和夾角已知的向量進(jìn)行計(jì)算.
跟蹤演練2 (1)(xx山東)過點(diǎn)P(1,)作圓x2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則=________________________________________________________________________.
(2)(xx課標(biāo)全國Ⅰ)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若=(+),則與的夾角為________.
熱點(diǎn)三 平面向量與三角函數(shù)
平面向量作為解決問題的工具,具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”,高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題,通過向量運(yùn)算作為題目條件.
例3 已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其中0<α
c,已知=2,cos B=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
1.如圖,在△ABC中,=,DE∥BC交AC于E,BC邊上的中線AM交DE于N,設(shè)=a,=b,用a,b表示向量.則等于( )
A.(a+b) B.(a+b)
C.(a+b) D.(a+b)
2.如圖,BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑,=2,則等于( )
A.- B.- C.- D.-
3.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),且a⊥b,則tan(2α+)=________.
4.如圖,在半徑為1的扇形AOB中,∠AOB=60,C為弧上的動點(diǎn),AB與OC交于點(diǎn)P,則最小值是_______________________________________________________.
二輪專題強(qiáng)化練
專題三
第3講 平面向量
A組 專題通關(guān)
1.(xx佛山月考)在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線,=(2,4),=(1,3),則等于( )
A.(2,4) B.(3,5)
C.(1,1) D.(-1,-1)
2.(xx安徽)△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下列結(jié)論正確的是( )
A.|b|=1 B.a(chǎn)⊥b
C.a(chǎn)b=1 D.(4a+b)⊥
3.在△ABC中,N是AC邊上一點(diǎn),且=,P是BN邊上的一點(diǎn),若=m+,則實(shí)數(shù)m的值為( )
A. B.
C.1 D.3
4.(xx福建)已知⊥,||=,||=t,若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且=+,則的最大值等于( )
A.13 B.15 C.19 D.21
5.(xx湖北)已知向量⊥,||=3,則=________.
6.若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且滿足5=+3,則△ABM與△ABC的面積比值為________.
7.(xx天津)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上,且=,=,則的值為________.
8.設(shè)向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定義一種向量積a?b=(a1b1,a2b2),已知向量m=(2,),n=(,0),點(diǎn)P(x,y)在y=sin x的圖象上運(yùn)動,Q是函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn),且滿足=m?+n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則函數(shù)y=f(x)的值域是________.
9.(xx惠州二調(diào))設(shè)向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈[0,].
(1)若|a|=|b|,求x的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ab,求f(x)的最大值.
10.已知向量a=(2sin(ωx+),0),b=(2cos ωx,3)(ω>0),函數(shù)f(x)=ab的圖象與直線y=-2+的相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為π.
(1)求ω的值;
(2)求函數(shù)f(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間.
B組 能力提高
11.已知非零單位向量a與非零向量b滿足|a+b|=|a-b|,則向量b-a在向量a上的投影為( )
A.1 B.
C.-1 D.-
12.已知a,b是單位向量,ab=0,若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是( )
A.[-1,+1] B.[-1,+2]
C.[1,+1] D.[1,+2]
13.(xx江蘇)設(shè)向量ak=(k=0,1,2,…,12),則(akak+1)的值為________.
14.(xx陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,1),B(2,3),C(3,2),點(diǎn)P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上.
(1)若++=0,求||;
(2)設(shè)=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.
學(xué)生用書答案精析
第3講 平面向量
高考真題體驗(yàn)
1.A [∵=3,∴-=3(-),
即4-=3,∴=-+.]
2.C [=+,
=-=-+,
∴=(4+3)(4-3)
=(162-92)=(1662-942)=9,選C.]
3.-3
解析 ∵a=(2,1),b=(1,-2),∴ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),即解得故m-n=2-5=-3.
4.+1
解析 設(shè)D(x,y),由=(x-3,y)及
||=1知(x-3)2+y2=1,
即動點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓.
又O++
=(-1,0)+(0,)+(x,y)
=(x-1,y+),
∴|++|=
.
問題轉(zhuǎn)化為圓(x-3)2+y2=1上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1,-)間距離的最大值.
∵圓心C(3,0)與點(diǎn)P(1,-)之間的距離為=,
故的最大值為+1.
熱點(diǎn)分類突破
例1 (1) (2)-
解析 (1)因?yàn)閍∥b,
所以sin 2θ=cos2θ,2sin θcos θ=cos2θ.
因?yàn)?<θ<,所以cos θ>0,
得2sin θ=cos θ,tan θ=.
(2)如圖,設(shè)FB的中點(diǎn)為M,連接MD.
因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),M為FB的中點(diǎn),所以MD∥CF.
因?yàn)锳F=AB,所以F為AM的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn).
方法一 因?yàn)椋絘,=b,D為BC的中點(diǎn),
所以=(a+b).
所以==(a+b).
所以=+=-+
=-b+(a+b)
=a-b.
所以x=,y=-,所以x+y=-.
方法二 易得EF=MD,MD=CF,
所以EF=CF,所以CE=CF.
因?yàn)椋剑剑剑璪+a,
所以=(-b+a)=a-b.
所以x=,y=-,則x+y=-.
跟蹤演練1 (1)C (2)?。?
解析 (1)因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以
=λ?i+mj=λ(ni+j),m≠1,又向量i與j不共線,所以所以mn=1.
(2)如圖,=+
=+
=+(-)
=-,
∴x=,y=-.
例2 (1)22 (2)2
解析 (1)由=3,得==,=+=+,=-=+-=-.因?yàn)椋?,所以(+
)(-)=2,即2-
-2=2.又因?yàn)?=25,2=64,所以=22.
(2)如圖,在△AOB中,==(+)
=(+),
又=||||cos 60=6,
∴||||=12,
∴||2=(+)2=(||2+||2+2)=(||2+||2+12)≥(2||||+12)=36=4(當(dāng)且僅當(dāng)||=||時取等號).
∴||≥2,故||的最小值是2.
跟蹤演練2 (1) (2)90
解析 (1)由題意,圓心為O(0,0),半徑為1.如圖所示,
∵P(1,),∴PA⊥x軸,PA=PB=.
∴△POA為直角三角形,其中OA=1,AP=,則OP=2,
∴∠OPA=30,∴∠APB=60.
∴=||||cos∠APB=cos 60=.
(2)∵=(+),
∴點(diǎn)O是△ABC中邊BC的中點(diǎn),
∴BC為直徑,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有〈,〉=90.
例3 解 (1)∵b=(cos x,sin x),
c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α=,
∴f(x)=bc
=cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α
=2sin xcos x+(sin x+cos x).
令t=sin x+cos x,
則2sin xcos x=t2-1,且-1c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,
sin B== =,
由正弦定理,
得sin C=sin B==.
因?yàn)閍=b>c,
所以C為銳角,
因此cos C== =.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=+=.
高考押題精練
1.C [因?yàn)镈E∥BC,所以DN∥BM,則△AND∽△AMB,所以=.
因?yàn)椋?,所以?
因?yàn)镸為BC的中點(diǎn),
所以=(+)=(a+b),
所以==(a+b).
故選C.]
2.B [∵=2,圓O的半徑為1,
∴||=,
∴=(+)(+)=2+(+)+=()2+0-1=-.]
3.-
解析 因?yàn)閍=(1,2),b=(cos α,sin α),且a⊥b,
所以cos α+2sin α=0,
則tan α=-.
所以tan 2α==-.
所以tan(2α+)====-.
4.-
解析 因?yàn)椋剑?,所以?+)=+()2.又因?yàn)椤螦OB=60,OA=OB,
∴∠OBA=60.OB=1.所以=||cos 120=-||.所以=-||+||2=(||-)2-≥-.故當(dāng)且僅當(dāng)||=時,最小值是-.
二輪專題強(qiáng)化練答案精析
第3講 平面向量
1.C [==-=(2,4)-(1,3)=(1,1).]
2.D [在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,
得|b|=2.
又|a|=1,所以ab=|a||b|cos 120=-1,所以(4a+b)=(4a+b)b=4ab+|b|2=4(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥,故選D.]
3.B [如圖,因?yàn)椋?,所以=?
=m+=m+,因?yàn)锽,P,N三點(diǎn)共線,
所以m+=1,所以m=.]
4.A [建立如圖所示坐標(biāo)系,則
B,C(0,t),=,=(0,t),
=+=t+(0,t)=(1,4),∴P(1,4),=(-1,t-4)=17-≤17-2=13,
故選A.]
5.9
解析 因?yàn)椤停裕?.所以=(+)=2+=||2+0=32=9.
6.
解析 設(shè)AB的中點(diǎn)為D,
由5=+3,得3-3
=2-2,
即3=2.
如圖所示,故C,M,D三點(diǎn)共線,
且=,
也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為3∶5,
則△ABM與△ABC的面積比值為.
7.
解析 在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2,BC=1,
∠ABC=60,∴CD=1,=+=+,
=+=+,
∴==+++=21cos 60+2+1cos 60+cos 120=.
8.[-,]
解析 令Q(c,d),由新的運(yùn)算可得=m?+n=(2x,sin x)+(,0)=(2x+,sin x),
∴消去x得d=sin(c-),
∴y=f(x)=sin(x-),
易知y=f(x)的值域是[-,].
9.解 (1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,
|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,
及|a|=|b|,得4sin2x=1.
又x∈[0,],從而sin x=,
所以x=.
(2)f(x)=ab=sin xcos x+sin2x
=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,
當(dāng)x=∈[0,]時,sin(2x-)取最大值1.
所以f(x)的最大值為.
10.解 (1)因?yàn)橄蛄縜=(2sin(ωx+),0),b=(2cos ωx,3)(ω>0),所以函數(shù)f(x)=ab=4sin(ωx+)cos ωx=4[sin ωx(-)+cos ωx]cos ωx=2cos2ωx-2sin ωxcos ωx=(1+cos 2ωx)-sin 2ωx=2cos(2ωx+)+,
由題意,可知f(x)的最小正周期為T=π,所以=π,即ω=1.
(2)易知f(x)=2cos(2x+)+,當(dāng)x∈[0,2π]時,2x+∈[,4π+],
故2x+∈[π,2π]或2x+∈[3π,4π]時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[,]和[,].
11.C [因?yàn)閨a+b|=|a-b|,
所以(a+b)2=(a-b)2,
解得ab=0,所以向量b-a在向量a上的投影為|b-a|cos〈a,b-a〉==
=-|a|=-1.]
12.A [∵ab=0,且a,b是單位向量,
∴|a|=|b|=1.
又∵|c-a-b|2=c2-2c(a+b)+2ab+a2+b2=1,
∴2c(a+b)=c2+1.
∵|a|=|b|=1且ab=0,
∴|a+b|=,
∴c2+1=2|c|cos θ(θ是c與a+b的夾角).
又-1≤cos θ≤1,∴0
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