2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題8.3 空間角與綜合問(wèn)題試題 理.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專(zhuān)題8.3 空間角與綜合問(wèn)題試題 理 【三年高考】 1. 【xx課標(biāo)II，理10】已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 【xx浙江，9】如圖，已知正四面體D–ABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，AP=PB，，分別記二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角為α，β，γ，則 A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α 【答案】B 【解析】設(shè)O為三角形ABC中心，則O到PQ距離最小，O到PR距離最大，O到RQ距離居中，而高相等，因此，所以選B． 3. 【xx課標(biāo)3，理16】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與b成30角； ②當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與b成60角； ③直線AB與a所成角的最小值為45； ④直線AB與a所成角的最小值為60. 其中正確的是________.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)） 【答案】②③ 【解析】由題意， 是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線，由 ，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn)B，作 ，交底面圓 于點(diǎn)D，如圖所示，連結(jié)DE，則DE⊥BD， ，連結(jié)AD，等腰△ABD中， ,當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)， ，故 ，又在 中， ，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE，交圓C于點(diǎn)F，連結(jié)AF，由圓的對(duì)稱(chēng)性可知 , 為等邊三角形， ，即AB與b成60角，②正確，①錯(cuò)誤. 由最小角定理可知③正確；很明顯，可以滿(mǎn)足平面ABC⊥直線a，直線 與 所成的最大角為90，④錯(cuò)誤.正確的說(shuō)法為②③. 4．【xx課標(biāo)1，理18】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且. （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. 【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，從而AB⊥平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. （2）在平面內(nèi)作，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則， 所以二面角的余弦值為. 5．【xx天津，理17】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求證：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值； （Ⅲ）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng). 【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）. （Ⅰ）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量， 則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得. 因?yàn)槠矫鍮DE，所以MN//平面BDE. （Ⅱ）易知為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因?yàn)?，，所?不妨設(shè)，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值為. （Ⅲ）依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進(jìn)而可得，.由已知，得，整理得，解得，或. 所以，線段AH的長(zhǎng)為或. 6．【xx高考新課標(biāo)1卷】平面過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,則m、n所成角的正弦值為 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】如圖,設(shè)平面平面=,平面平面=,因?yàn)槠矫?所以,則所成的角等于所成的角.延長(zhǎng),過(guò)作,連接,則為,同理為,而,則所成的角即為所成的角,即為,故所成角的正弦值為,選A. 7. 【xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，，交于點(diǎn)．將沿折到位置，． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【解析】（I）由已知得，，又由得，故.因此，從而.由,得.由得.所以，.于是，，故.又，而，所以. （II）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可以取.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是. 8. 【xx年高考北京理數(shù)】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，. （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由. 【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面，所以，又因?yàn)椋云矫妫? （3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.因此點(diǎn).因?yàn)槠矫妫云矫娈?dāng)且僅當(dāng)，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí). 9. 【xx高考上海理數(shù)】將邊長(zhǎng)為1的正方形（及其內(nèi)部）繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè)。 （1）求三棱錐的體積； （2）求異面直線與所成的角的大小。 【解析】（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑．由的長(zhǎng)為，可知．，． （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn)，則，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角．由長(zhǎng)為，可知，又，所以，從而為等邊三角形，得．因?yàn)槠矫?，所以．在中，因?yàn)?，，，所以，從而直線與所成的角的大小為． 10. 【xx高考浙江，理8】如圖，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】設(shè)，設(shè)，則由題意，在空間圖形中，設(shè)，在中，，在空間圖形中，過(guò)作，過(guò)作，垂足分別為，，過(guò)作，連結(jié)，∴，則就是二面角的平面角，∴，在中，，，同理，，，故，顯然面，故，在中，，在中，，∵，，∴（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），∵，，而在上為遞減函數(shù)，∴，故選B. 11. 【xx高考新課標(biāo)2，理19】如圖，長(zhǎng)方體中,，，，點(diǎn)，分別在，上，．過(guò)點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形． D D1 C1 A1 E F A B C B1 （Ⅰ）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫(huà)法和理由）； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖： （Ⅱ）作，垂足為，則，，因?yàn)闉檎叫?，所以．于是，所以．以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．設(shè)是平面的法向量，則即所以可取．又，故．所以直線與平面所成角的正弦值為． 12. 【xx高考新課標(biāo)1，理18】如圖，，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直線AE與直線CF所成角的余弦值. 【解析】（Ⅰ）連接BD，設(shè)BD∩AC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1，由∠ABC=120，可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC， 在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.在Rt△FDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. 【xx考試大綱】 空間向量及其運(yùn)算 (1)了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示. (2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示. (3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直. 2.空間向量的應(yīng)用 (1)理解直線的方向向量與平面的法向量. (2)能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系. (3)能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理). (4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題,了解向量方法在研究立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 高考對(duì)立體幾何的考查，可以發(fā)現(xiàn)均以規(guī)則幾何體為背景，這樣建立空間直角坐標(biāo)系較為容易，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力以及基本運(yùn)算能力. 【xx年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出 ,空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算，空間向量的應(yīng)用，重點(diǎn)考查空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離.課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度，題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考查，但有時(shí)選擇題、填空題也涉及，難度中等偏高，從高考試題來(lái)看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點(diǎn)，題型主要為解答題，難度屬于中等，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的平行與垂直的充要條件，如何用向量法解決空間角問(wèn)題等，同時(shí)注重考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力．立體幾何題型一般是一個(gè)解答題，1至2個(gè)填空或選擇題．解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點(diǎn)是考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來(lái)求解．立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力，近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問(wèn)題.預(yù)測(cè)xx年高考，仍然以規(guī)則幾何體為幾何背景，第一問(wèn)以線面垂直，面面垂直為主要考查點(diǎn)，第二問(wèn)可能給出一個(gè)角，計(jì)算角的問(wèn)題，常見(jiàn)的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類(lèi)試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；也有可能求距離，試題中常見(jiàn)的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類(lèi)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法，有可能求點(diǎn)的位置或設(shè)置一個(gè)探索性命題，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．復(fù)習(xí)建議：空間圖形中的角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過(guò)解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機(jī)統(tǒng)一.解題時(shí)注意各種角的范圍.異面直線所成角的范圍是0＜θ≤90，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是0≤θ≤90，其解法是作垂線、找射影；二面角0≤θ≤180.平面圖形的翻折與空間圖形的展開(kāi)問(wèn)題，要對(duì)照翻折（或展開(kāi)）前后兩個(gè)圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關(guān)系改變了，哪些沒(méi)有改變. 【xx年高考考點(diǎn)定位】 對(duì)立體幾何中的向量方法部分，主要以解答題的方式進(jìn)行考查，而且偏重在第二問(wèn)或者第三問(wèn)中使用這個(gè)方法，考查的重點(diǎn)是使用空間向量的方法進(jìn)行空間角和距離等問(wèn)題的計(jì)算，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問(wèn)題． 【考點(diǎn)1】空間向量 【備考知識(shí)梳理】 1．空間向量的概念 向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量.如位移、速度、力等 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量. 說(shuō)明：①由相等向量的概念可知，一個(gè)向量在空間平移到任何位置，仍與原來(lái)的向量相等，用同向且等長(zhǎng)的有向線段表示；②平面向量?jī)H限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移. 2．向量運(yùn)算和運(yùn)算率 ，， 加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律： 說(shuō)明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立 3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.平行于記作∥. 注意：當(dāng)我們說(shuō)、共線時(shí)，對(duì)應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說(shuō)、平行時(shí)，也具有同樣的意義. 共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（≠）、，∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)使＝ 注：⑴上述定理包含兩個(gè)方面：①性質(zhì)定理：若∥（≠0），則有＝，其中是唯一確定的實(shí)數(shù).②判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使＝（≠0），則有∥（若用此結(jié)論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點(diǎn)不在（或）上）. ⑵對(duì)于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長(zhǎng)度為 ||，當(dāng)>0時(shí)與同向，當(dāng)<0時(shí)與反向的所有向量 ⑶若直線l∥，，P為l上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來(lái)推導(dǎo)的表達(dá)式. 推論：如果l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿(mǎn)足等式 ① 其中向量叫做直線l的方向向量 在l上取，則①式可化為 ② 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則 ③ ①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點(diǎn)公式. 4．向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說(shuō)向量平行于平面，記作∥.注意：向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別. 共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量 共面向量定理 如果兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y，使① 注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個(gè)方面. 推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y，使 ④ 或?qū)臻g任一定點(diǎn)O，有⑤ 在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)（）是唯一的.①式叫做平面MAB的向量表示式 又∵代入⑤，整理得 ⑥ 由于對(duì)于空間任意一點(diǎn)P，只要滿(mǎn)足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi)；對(duì)于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿(mǎn)足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個(gè)向量、（或不共線三點(diǎn)M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件 5．空間向量基本定理：如果三個(gè)向量、、不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 說(shuō)明：⑴由上述定理知，如果三個(gè)向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個(gè)集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個(gè)不共面向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底；⑶一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線.與任意兩個(gè)非零向量共面，所以，三個(gè)向量不共面就隱含著它們都不是. 推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 6．?dāng)?shù)量積 （1）夾角：已知兩個(gè)非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，，則角∠AOB叫做向量與的夾角，記作 說(shuō)明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=； ⑵如果=，則稱(chēng)與互相垂直，記作⊥； ⑶在表示兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖（3）、（4）中的兩個(gè)向量的夾角不同， 圖（3）中∠AOB=， 圖（4）中∠AOB=, 從而有==. （2）向量的模：表示向量的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模. （3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作.即=， 向量: （4）性質(zhì)與運(yùn)算率 ⑴，⑵⊥=0，⑶ （4），（5）=，（6） 7．空間向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 (1)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)，，則①； ②；③. (2)共線與垂直的坐標(biāo)表示 設(shè)，， 則， (均為非零向量)． (3)模、夾角和距離公式 設(shè)，，則，. 設(shè)，則. 【規(guī)律方法技巧】 1．將四點(diǎn)共面問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為三個(gè)向量共面問(wèn)題，利用共面向量定理來(lái)解決． 2．利用向量共線說(shuō)明兩線平行時(shí)注意說(shuō)明四點(diǎn)不共線，否則不一定正確． 3. 立體幾何中的向量方法 (1)直線的方向向量與平面的法向量的確定 ①直線的方向向量：是空間一直線，是直線上任意兩點(diǎn)，則稱(chēng)為直線的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線的方向向量． ②平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)是平面內(nèi)兩不共線向量，為平面的法向量，則求法向量的方程組為. 4.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）共線向量定理中∥?存在實(shí)數(shù)使＝易忽視≠0.（3）共面向量定理中，注意有序?qū)崝?shù)對(duì)()是唯一存在的．（3）一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，但要注意它們是共線向量，不要誤為是共面向量． 5.如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系：根據(jù)幾何體本身的幾何性質(zhì)，恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系最為關(guān)鍵，如果坐標(biāo)系引入的恰當(dāng)，合理，即能夠容易確定點(diǎn)的坐標(biāo)，需要總結(jié)一些建系方法.常見(jiàn)建系方法： （1）借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標(biāo)軸，如正方體，長(zhǎng)方體等規(guī)則幾何體，一般選擇三條線為三個(gè)坐標(biāo)軸，如圖1、2； （2）借助面面垂直的性質(zhì)定理建系，若題目中出現(xiàn)側(cè)面和底面垂線的條件，一般利用此條件添加輔助線，確定z軸，如圖3； （3）借助棱錐的高線建系等.對(duì)于正棱錐，利用定點(diǎn)在底面的射影為底面的中心，可確定z軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x，y軸.如圖4. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫(huà)該四面體三視圖中的主視圖時(shí)，以平面為投影面，則得到主視圖可以為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知可作出示意圖，以平面為投影面，則得到主視圖可以為A選項(xiàng)所示 2. 有以下命題：①如果向量、與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，那么、的關(guān)系是不共線；②為空間四點(diǎn)，且向量，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)一定共面；③已知向量，，是空間的一個(gè)基底，則向量也是空間的一個(gè)基底．其中正確的命題是(　　) A．①②　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【解析】　對(duì)于①，“如果向量、與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，那么、的關(guān)系一定是共線”，所以①錯(cuò)誤．②③正確． 【考點(diǎn)2】空間角，距離的求法 【備考知識(shí)梳理】 1．空間的角 (1)異面直線所成的角 如圖，已知兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作直線.則把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)．異面直線所成的角的范圍是. (2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角． ①直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；②直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是的角．直線與平面所成角的范圍是. (3)二面角的平面角 如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則叫做二面角的平面角．二面角的范圍是 (4)等角定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等. 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等. 2．空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線和的方向向量分別為和，則與的夾角滿(mǎn)足. (2)設(shè)直線的方向向量和平面的法向量分別為，則直線與平面的夾角滿(mǎn)足. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如圖①，是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大?。? (ⅱ)如圖②③，分別是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，則二面角的大小滿(mǎn)足或． 3.空間距離: （1）兩條異面直線的距離 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離；常有求法①先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長(zhǎng)即可．②找或作出過(guò)且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離．③找或作出分別過(guò)且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離．④根據(jù)異面直線間的距離公式EF ＝（“”符號(hào)由實(shí)際情況選定）求距離. （2）點(diǎn)到平面的距離 點(diǎn)Ｐ到直線的距離為點(diǎn)Ｐ到直線的垂線段的長(zhǎng)，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過(guò)Ａ作的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點(diǎn)Ｐ到直線的距離.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長(zhǎng)即可.常用求法①作出點(diǎn)Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長(zhǎng)；②轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點(diǎn)Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時(shí)，點(diǎn)Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法 （3）直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； （4）平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離. 【規(guī)律方法技巧】 1．空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角. （1）異面直線所成的角的范圍是.求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決 具體步驟如下：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來(lái)求角; ④補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ. （2）直線與平面所成的角的范圍是.求線面角方法: ①利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. ②利用三棱錐的等體積，省去垂足, 在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時(shí)可以利用求點(diǎn)面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因?yàn)榇咕€段的長(zhǎng)度實(shí)際就是點(diǎn)面距h,利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進(jìn)行求解. ③妙用公式，直接得到線面角 課本習(xí)題出現(xiàn)過(guò)這個(gè)公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個(gè)公式在求解一些選擇填空題時(shí)，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個(gè)角的位置，不能張冠李戴. ④萬(wàn)能方法，空間向量求解不用找角 設(shè)AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角,向量與的夾角，則. 注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有； （3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法： ①斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； ②如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上； ③兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上； ④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置： a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)； c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （4）二面角的范圍，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求.求二面角的方法: ①直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計(jì)算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個(gè)角就是所求二面角的平面角,然后再計(jì)算這個(gè)角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個(gè)方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角,自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角, 自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角；③利用定義確定平面角, 在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角； ②射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無(wú)棱二面角大小的計(jì)算；對(duì)于無(wú)棱二面角問(wèn)題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. ③空間向量法:法一: 是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小． 法二：設(shè),是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)（同等異補(bǔ)），則二面角的平面角或. 2. 求距離的關(guān)鍵是化歸.即空間距離向平面距離化歸，具體方法如下： （1）求空間中兩點(diǎn)間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形. （2）求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法. （3）求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動(dòng)”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個(gè)三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計(jì)算求之.異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ，它們的公垂線AA′的長(zhǎng)度為d ，在a 上有線段A′E ＝m ，b 上有線段AF ＝n ，那么EF ＝（“”符號(hào)由實(shí)際情況選定） 3.求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn)： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置. ②作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理. ③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點(diǎn)在于找到面的垂線.解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面.作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“＝ ”求二面角否則要適當(dāng)扣分. ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時(shí)?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法. ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形最終求得所需的角與距離. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)xx屆高三4月模擬】如圖所示是一幾何體的三視圖，正視圖是一等腰直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為2，側(cè)視圖是一直角三角形，俯視圖為一直角梯形，且，則異面直線與所成角的正切值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，依題意得， ，所以為異面直線與所成角，因?yàn)椋?，故選C. 2. 【xx屆上海市黃浦區(qū)高三4月高考模擬】如圖，在直棱柱中，，，分別是的中點(diǎn)． （1）求證：； （2）求與平面所成角的大小及點(diǎn)到平面的距離． 【解析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AB為x軸、為y軸、為z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．由題意可知，故， 由，可知，即． （2）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，又，故由解得 故． 設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角為，點(diǎn)到平面的距離為． 【考點(diǎn)3】空間向量的應(yīng)用 【備考知識(shí)梳理】 1. 直線的方向向量：是空間一直線，是直線上任意兩點(diǎn)，則稱(chēng)為直線的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線的方向向量． 2. 如何確定平面的法向量 （1）首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，若有可直接確定，若不存在，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法； （2）待定系數(shù)法：由于法向量沒(méi)有規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，于是可把法向量的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo).由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的兩條相交向量，設(shè)由解方程組求得. 【規(guī)律方法技巧】 1.用向量證明空間中的平行關(guān)系 ①設(shè)直線和的方向向量分別為和，則∥ (或與重合)? ∥. ②設(shè)直線的方向向量為，與平面共面的兩個(gè)不共線向量和，則∥或??存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使. ③設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則l∥α或l?α?⊥. ④設(shè)平面和的法向量分別為，，則α∥β?∥. 2.用向量證明空間中的垂直關(guān)系 ①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為和，則l1⊥l2?⊥?.＝0. ②設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，則⊥?∥ ③設(shè)平面和的法向量分別為和，則α⊥β?⊥?＝0. 3.用法向量球距離： （1）用法向量求異面直線間的距離：如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點(diǎn)E∈a，F(xiàn)∈b，則異面直線 a與b之間的距離是 ； （2）用法向量求點(diǎn)到平面的距離 如右圖所示，已知AB是平面α的 一條斜線，為平面α的法向量，則 A到平面α的距離為； （3）用法向量求直線到平面間的距離 首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線上一點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題 （4）用法向量求兩平行平面間的距離 首先必須確定兩個(gè)平面是否平行，這時(shí)可以在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，將兩平面間的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問(wèn)題. 4. 用法向量求角 （1）用法向量求二面角 如圖，有兩個(gè)平面α與β，分別作這兩個(gè)平面的法向量與，則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角. （2）法向量求直線與平面所成的角 要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個(gè)平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者. 5.利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解問(wèn)題的方法：用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問(wèn)題一般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長(zhǎng)度，一般用向量的模來(lái)解決；解決垂直問(wèn)題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 6.易誤警示：利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)． 異面直線所成角范圍是(0，90]，若異面直線a，b的方向向量為m，n，異面直線a，b所成角為θ，則cos θ＝|cos〈m，n〉|.解題過(guò)程是：(1)建系；(2)求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)表示向量；(4)計(jì)算． (1)異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系． (2)直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化，所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系． 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【湖南省長(zhǎng)沙市xx屆高三5月模擬】如圖所示，四棱錐的底面是梯形，且, 平面， 是中點(diǎn)， ． （Ⅰ）求證： 平面； （Ⅱ）若， ，求直線與平面所成角的大?。? 【解析】（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，如圖所示．因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫妫?平面，所以．又因?yàn)?，所以平面．因?yàn)辄c(diǎn)是中點(diǎn)，所以，且．又因?yàn)?，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面? （Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)O，G分別為AD，BC的中點(diǎn)，連結(jié)，則，因?yàn)槠矫妫?平面，所以，所以．因?yàn)?，由（Ⅰ）知?又因?yàn)?，所以，所以所以為正三角形，所以，因?yàn)槠矫妫?平面，所以．又因?yàn)椋云矫妫蕛蓛纱怪?，可以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．， ， ，所以， ， ，設(shè)平面的法向量， 則所以取，則，設(shè)與平面所成的角為，則，因?yàn)?，所以，所以與平面所成角的大小為． 2. 【山東省淄博市xx屆高三第二次模擬】如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，，. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在棱上，若二面角的余弦值為，試求的值. 【解析】（Ⅰ）證明：連接，設(shè)交于，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，又，所以是和的中點(diǎn)已知，所以四邊形是正方形則，又，所以平面，同理，所以平面 （Ⅱ）由（Ⅰ）的證明過(guò)程知為正方形，如圖建立坐標(biāo)系，則：，，，，，設(shè)（），，由可得，則， 易知平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得，令得，，所以， 解得，所以 【考點(diǎn)4】立體幾何綜合問(wèn)題 【備考知識(shí)梳理】 空間線、面的平行與垂直的綜合考查一直是高考必考熱點(diǎn).歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有： 1)以多面體為載體綜合考查平行與垂直的證明. 2)探索性問(wèn)題中的平行與垂直問(wèn)題. 3)折疊問(wèn)題中的平行與垂直問(wèn)題. 【規(guī)律方法技巧】 1. 證線面平行，一般都考慮采用以下兩種方法：第一，用線面平行的判定定理，第二用面面平行的性質(zhì)定理；2、證面面垂直，關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個(gè)面.這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮；3、條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應(yīng)的性質(zhì)定理.比如本題中已知兩平面互相垂直，我們就要兩平面互相垂直的性質(zhì)定理；4、在立體幾何的平行關(guān)系問(wèn)題中，“中點(diǎn)”是經(jīng)常使用的一個(gè)特殊點(diǎn)，無(wú)論是試題本身的已知條件，還是在具體的解題中，通過(guò)找“中點(diǎn)”，連“中點(diǎn)”，即可出現(xiàn)平行線；若是給出了一些比例關(guān)系，則通過(guò)比例關(guān)系證明線線平行.線線平行是平行關(guān)系的根本.5、在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問(wèn)題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過(guò)計(jì)算的方式證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直，其中要特別重視兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，這個(gè)定理已知的是兩個(gè)平面垂直，結(jié)論是線面垂直． 2. 探索性問(wèn)題:探求某些點(diǎn)的具體位置，使得線面滿(mǎn)足平行或垂直關(guān)系，是一類(lèi)逆向思維的題目.一般可采用兩個(gè)方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算.探索性問(wèn)題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn)． 3．折疊問(wèn)題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系，弄清哪些角度和長(zhǎng)度變了，哪些沒(méi)有變；哪些線共面，哪些線不共面，翻折后的線與原來(lái)的線有什么聯(lián)系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直線. 尤其是隱含著的垂直關(guān)系． 4．把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，從解決平面問(wèn)題而使空間問(wèn)題得以解決.求角的三個(gè)基本步驟：“作”、“證”、“算”. （1）常用等角定理或平行移動(dòng)直線及平面的方法轉(zhuǎn)化所求角的位置； （2）常用平行線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據(jù)轉(zhuǎn)化所求距離的位置； （3）常用割補(bǔ)法或等積（等面積或等體積）變換解決有關(guān)距離及體積問(wèn)題. 5. 向量為謀求解立體幾何的探索性問(wèn)題:空間向量最合適于解決立體幾何中探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷，在解題過(guò)程中，往往把“是否存在”問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問(wèn)題的解集更加簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【福建省莆田xx屆高三二?！?如圖，在梯形中， ， ，四邊形為矩形，且平面， . （1）求證： 平面； （2）點(diǎn)在線段（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值. 【解析】 (I)在梯形中，∵，設(shè)，又∵,∴，∴∴∴. ∵， ，∴，而，∴ ∵ ∴. (II)由(I)可建立分別以直線， ， 為軸， 軸， 軸的如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，令 (),則 (0，0，0)， (，0，0)， (0，1，0)， (，0，1)，∴=(-，1，0)， =( ，-1，1)， 設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得取,則=(1, , ), ∵=(1,0,0)是平面的一個(gè)法向量,∴ ∵,∴當(dāng)時(shí)， 有最小值，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面與平面所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為. 2. 【福建泉州xx年畢業(yè)班質(zhì)量檢查】 如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面是平行四邊形， ， ， ， 為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上. (Ⅰ)求證： ； (Ⅱ)試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等. （Ⅱ）側(cè)面底面， ，所以底面，所以直線兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則 ，所以， ， ，設(shè)，則， ，所以，易得平面的法向量． 設(shè)平面的法向量為，由， ，得，令，得．因?yàn)橹本€與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，所以，即，所以，即，解得，所以． 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1．探索性問(wèn)題 探求某些點(diǎn)的具體位置，使得線面滿(mǎn)足平行或垂直關(guān)系，是一類(lèi)逆向思維的題目.一般可采用兩個(gè)方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算. 2. 如何求線面角 （1）利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. （2）利用三棱錐的等體積，省去垂足 在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時(shí)可以利用求點(diǎn)面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因?yàn)榇咕€段的長(zhǎng)度實(shí)際就是點(diǎn)面距h！利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進(jìn)行求解. （3）妙用公式，直接得到線面角 課本習(xí)題出現(xiàn)過(guò)這個(gè)公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個(gè)公式在求解一些選擇填空題時(shí)，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個(gè)角的位置，不能張冠李戴. （4）萬(wàn)能方法，空間向量求解不用找角 設(shè)AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角,向量與的夾角，則. 3.如何求二面角 （1）直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計(jì)算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個(gè)角就是所求二面角的平面角,然后再計(jì)算這個(gè)角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個(gè)方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角；③利用定義確定平面角； （2）射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無(wú)棱二面角大小的計(jì)算；對(duì)于無(wú)棱二面角問(wèn)題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 法二：設(shè),是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)（同等異補(bǔ)）， 則二面角的平面角 4.如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 根據(jù)幾何體本身的幾何性質(zhì)，恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系最為關(guān)鍵，如果坐標(biāo)系引入的恰當(dāng)，合理，即能夠容易確定點(diǎn)的坐標(biāo)，需要總結(jié)一些建系方法.常見(jiàn)建系方法： （1）借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標(biāo)軸，如正方體，長(zhǎng)方體等規(guī)則幾何體，一般選擇三條線為三個(gè)坐標(biāo)軸，如圖1、2； （2）借助面面垂直的性質(zhì)定理建系，若題目中出現(xiàn)側(cè)面和底面垂線的條件，一般利用此條件添加輔助線，確定z軸，如圖3； （3）借助棱錐的高線建系等.對(duì)于正棱錐，利用定點(diǎn)在底面的射影為底面的中心，可確定z軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x，y軸.如圖4. 5.如何確定平面的法向量 （1）首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，若有可直接確定，若不存在，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法； （2）待定系數(shù)法：由于法向量沒(méi)有規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，于是可把法向量的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo).由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的兩條相交向量，設(shè)由解方程組求得. 6. 向量為謀求解立體幾何的探索性問(wèn)題 空間向量最合適于解決立體幾何中探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷，在解題過(guò)程中，往往把“是否存在”問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問(wèn)題的解集更加簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題. 1. 【福建泉州xx年畢業(yè)班質(zhì)量檢查】在四面體中，若， ， ，則直線與所成角的余弦值為（　） A. B. C. D. 【答案】D 2. 【四川省成都市xx屆高中第三次診】在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，且，則異面直線與所成角的余弦值為（?。? A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意，可補(bǔ)形成正方體如下圖： 所以異面直線與所成角就是與所以角，而為直角三角形，所以所成角為，。選A. 3.【xx屆湖南省郴州市高三第四次質(zhì)檢】如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)成（平面）．若、分別為線段、的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ） A. 與平面垂直的直線必與直線垂直 B. 異面直線與所成角是定值 C. 一定存在某個(gè)位置，使 D. 三棱錐外接球半徑與棱的長(zhǎng)之比為定值 【答案】C 【解析】取CD的中點(diǎn)F，連BF,MF,如下圖：可知面MBF//,所以A對(duì)。取中點(diǎn)G,可知，如下圖，可知B對(duì)。點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)為F,則面，即過(guò)O與DE垂直的直線在平面上。故C錯(cuò)。三棱錐外接球的球心即為O點(diǎn)，所以外接球半徑為。故D對(duì)。選C 4. 【廣西桂林市xx屆高三適應(yīng)性】正四面體中， 是棱的中點(diǎn)， 是點(diǎn)在底面內(nèi)的射影，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)是1，則，高，設(shè)點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是，則，所以即為所求異面直線所成角，則，應(yīng)選答案B。 5. 【重慶市xx屆高三高考適應(yīng)】四棱錐的底面為平行四邊形，且，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，則與所成的銳角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分別過(guò)頂點(diǎn)P作， ,則直線MP為平面PAD與平面PBC的交線，即為m, 直線NP為平面PAB與平面PDC的交線，即為n，所以AB與BC所成的角即為m與n所成的角，在中， ，所以m與n所成的銳角的余弦值為 ，選B. 6. 【河北省衡水中學(xué)xx屆三摸】已知兩平行平面間的距離為，點(diǎn)，點(diǎn)，且，若異面直線與所成角為60，則四面體的體積為_(kāi)_________． 【答案】6 【解析】設(shè)平面ABC與平面交線為CE，取 ,則 7. 【河北省xx屆衡水中學(xué)押題卷III】如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中， ， 分別是， 的中點(diǎn)，那么異面直線和所成角的余弦值等于__________． 【答案】 8. 【江蘇省徐州市xx屆高三信息卷】在三棱柱中， 平面， ， ， ，點(diǎn)在棱上，且．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． （1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與的夾角的余弦值； （2）若二面角的平面角為，求的值． 【解析】（1）易知， ， ．因?yàn)椋?，所以，當(dāng)時(shí)， ．所以， ．所以， ．故異面直線與的夾角的余弦值為． （2）由可知， ，所以，由（1）知， ． 設(shè)平面的法向量為，則 即 令，解得， ，所以平面的一個(gè)法向量為． 設(shè)平面的法向量為，則 即 令，解得， ，所以平面的一個(gè)法向量為． 因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫椋?，即，解得或（舍），故的值為? 9. 【遼寧省莊河市xx屆高三四?！咳鐖D，四棱錐中，底面是矩形，平面 平面，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形， ，點(diǎn)是的中點(diǎn). （1）求證： 平面 ； （2）點(diǎn) 在 上，且滿(mǎn)足 ，求直線與平面所成角的正弦值. 【解析】(1)連 交 于點(diǎn)， 連 ，因?yàn)樗倪呅?是矩形，所以點(diǎn)是 的中點(diǎn)，又點(diǎn) 是 的中點(diǎn)， ，又 平面 平面 ，所以平面. (2)取 的中點(diǎn)，則 ，又平面 底面，平面 底面 ，故平面，連接 ，在 中， ，所以在 中， ，以 為原點(diǎn)， 所在直線分別為 軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則由 得 ，即，設(shè)平面的法向量 ，則 ，得 ，令 ，則 ，故 ，又 ，設(shè)直線與平面所成角為 ，則 ，故直線與平面所成角的正弦值為 . 10. 【浙江省嘉興市xx屆高三適應(yīng)性考試】如圖，在三棱錐中， 底面， ， ， ， 分別是， 的中點(diǎn)， 在上，且． （1）求證： 平面； （2）在線段上上是否存在點(diǎn)，使二面角 的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解析】（1）由， ，是的中點(diǎn)，得．因?yàn)榈酌妫裕? 在中， ，所以．因此，又因?yàn)椋?，則，即． 因?yàn)榈酌?，所以，又，所以底面，則．又，所以平面． （3）方法二：假設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，并設(shè)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， ， 為， ， 軸建立空間直線坐標(biāo)系，則， ， ，．由得．所以， ， ． 設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得， ，即．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得， ，即．由二面角的大小為，得，化簡(jiǎn)得，又，求得． 于是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，且． 11. 【xx年湖南師大附中高三三?！咳鐖D，若Ω是長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點(diǎn)，且EH∥A1D1，則下列結(jié)論中不正確的是（ ） A．EH∥FG B．四邊形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱 D．四邊形EFGH可能為梯形 【答案】D 【解析】假設(shè)平面的法向量為，則有，又因?yàn)?，所以，，且不是面的法向量，由，可知，，則，可見(jiàn)四邊形是矩形，所以A，B，C選項(xiàng)都正確，正確的選項(xiàng)為D. 12. 【xx屆河南省禹州市名校高三三?！吭诹庑沃校?，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，則三棱錐的外接球的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)分別是等邊三角形的外心，則畫(huà)出圖像如下圖所示，由圖象可知，,故， ,外接球體積為. 13. 【xx屆山西省太原市高三下第三次模擬】在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則與平面所成角的正切值的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】建立如所示的坐標(biāo)系,則,設(shè),平面的法向量為,則,所以,即,令,則,所以.又因?yàn)槠矫?所以,即,也即,所以.由于是平面的一個(gè)法向量,且,所以,記與平面所成角為,則,所以,因?yàn)?所以. 14. 【xx屆寧夏石嘴山三中高三下四?！咳鐖D，中，是的中點(diǎn)，，，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)． （1）求證：； （2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，試問(wèn)在線段上是否存在一點(diǎn)，使與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若