2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題8.3 空間角與綜合問題試題 理.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題8.3 空間角與綜合問題試題 理 【三年高考】 1. 【xx課標II，理10】已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 【xx浙江，9】如圖，已知正四面體D–ABC（所有棱長均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點，AP=PB，，分別記二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角為α，β，γ，則 A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α 【答案】B 【解析】設(shè)O為三角形ABC中心，則O到PQ距離最小，O到PR距離最大，O到RQ距離居中，而高相等，因此，所以選B． 3. 【xx課標3，理16】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當直線AB與a成60角時，AB與b成30角； ②當直線AB與a成60角時，AB與b成60角； ③直線AB與a所成角的最小值為45； ④直線AB與a所成角的最小值為60. 其中正確的是________.（填寫所有正確結(jié)論的編號） 【答案】②③ 【解析】由題意， 是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線，由 ，又AC⊥圓錐底面，在底面內(nèi)可以過點B，作 ，交底面圓 于點D，如圖所示，連結(jié)DE，則DE⊥BD， ，連結(jié)AD，等腰△ABD中， ,當直線AB與a成60角時， ，故 ，又在 中， ，過點B作BF∥DE，交圓C于點F，連結(jié)AF，由圓的對稱性可知 , 為等邊三角形， ，即AB與b成60角，②正確，①錯誤. 由最小角定理可知③正確；很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，直線 與 所成的最大角為90，④錯誤.正確的說法為②③. 4．【xx課標1，理18】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且. （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. 【解析】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，從而AB⊥平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. （2）在平面內(nèi)作，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則， 所以二面角的余弦值為. 5．【xx天津，理17】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求證：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值； （Ⅲ）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長. 【解析】如圖，以A為原點，分別以，，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）. （Ⅰ）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設(shè)，為平面BDE的法向量， 則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，），可得. 因為平面BDE，所以MN//平面BDE. （Ⅱ）易知為平面CEM的一個法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因為，，所以.不妨設(shè)，可得.因此有，于是.所以，二面角C—EM—N的正弦值為. （Ⅲ）依題意，設(shè)AH=h（），則H（0，0，h），進而可得，.由已知，得，整理得，解得，或. 所以，線段AH的長為或. 6．【xx高考新課標1卷】平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,則m、n所成角的正弦值為 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】如圖,設(shè)平面平面=,平面平面=,因為平面,所以,則所成的角等于所成的角.延長,過作,連接,則為,同理為,而,則所成的角即為所成的角,即為,故所成角的正弦值為,選A. 7. 【xx高考新課標2理數(shù)】如圖，菱形的對角線與交于點，，點分別在上，，交于點．將沿折到位置，． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值． 【解析】（I）由已知得，，又由得，故.因此，從而.由,得.由得.所以，.于是，，故.又，而，所以. （II）如圖，以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可以取.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是. 8. 【xx年高考北京理數(shù)】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，. （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由. 【解析】（1）因為平面平面，，所以平面，所以，又因為，所以平面； （3）設(shè)是棱上一點，則存在使得.因此點.因為平面，所以平面當且僅當，即，解得.所以在棱上存在點使得平面，此時. 9. 【xx高考上海理數(shù)】將邊長為1的正方形（及其內(nèi)部）繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè)。 （1）求三棱錐的體積； （2）求異面直線與所成的角的大小。 【解析】（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑．由的長為，可知．，． （2）設(shè)過點的母線與下底面交于點，則，所以或其補角為直線與所成的角．由長為，可知，又，所以，從而為等邊三角形，得．因為平面，所以．在中，因為，，，所以，從而直線與所成的角的大小為． 10. 【xx高考浙江，理8】如圖，已知，是的中點，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】設(shè)，設(shè)，則由題意，在空間圖形中，設(shè)，在中，，在空間圖形中，過作，過作，垂足分別為，，過作，連結(jié)，∴，則就是二面角的平面角，∴，在中，，，同理，，，故，顯然面，故，在中，，在中，，∵，，∴（當時取等號），∵，，而在上為遞減函數(shù)，∴，故選B. 11. 【xx高考新課標2，理19】如圖，長方體中,，，，點，分別在，上，．過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形． D D1 C1 A1 E F A B C B1 （Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）； （Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖： （Ⅱ）作，垂足為，則，，因為為正方形，所以．于是，所以．以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，．設(shè)是平面的法向量，則即所以可?。郑剩灾本€與平面所成角的正弦值為． 12. 【xx高考新課標1，理18】如圖，，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直線AE與直線CF所成角的余弦值. 【解析】（Ⅰ）連接BD，設(shè)BD∩AC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1，由∠ABC=120，可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC， 在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.在Rt△FDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. 【xx考試大綱】 空間向量及其運算 (1)了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標表示. (2)掌握空間向量的線性運算及其坐標表示. (3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示,能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直. 2.空間向量的應(yīng)用 (1)理解直線的方向向量與平面的法向量. (2)能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系. (3)能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理). (4)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題,了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 高考對立體幾何的考查，可以發(fā)現(xiàn)均以規(guī)則幾何體為背景，這樣建立空間直角坐標系較為容易，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力以及基本運算能力. 【xx年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式可以看出 ,空間向量的坐標及運算，空間向量的應(yīng)用，重點考查空間向量的應(yīng)用求夾角、求距離.課本淡化了利用空間關(guān)系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應(yīng)用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關(guān)夾角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度，題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考查，但有時選擇題、填空題也涉及，難度中等偏高，從高考試題來看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點，題型主要為解答題，難度屬于中等，主要考查向量的坐標運算，以及向量的平行與垂直的充要條件，如何用向量法解決空間角問題等，同時注重考查學(xué)生的空間想象能力、運算能力．立體幾何題型一般是一個解答題，1至2個填空或選擇題．解答題一般與棱柱和棱錐相關(guān)，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，其重點是考查空間想象能力和推理運算能力，其解題方法一般都有二種以上，并且一般都能用空間向量來求解．立體幾何側(cè)重考查學(xué)生的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力，近幾年凡涉及空間向量應(yīng)用于立體幾何的高考試題，都著重考查應(yīng)用空間向量求異面直線所成的角、二面角，證明線線平行、線面平行和證明異面直線垂直和線面垂直等基本問題.預(yù)測xx年高考，仍然以規(guī)則幾何體為幾何背景，第一問以線面垂直，面面垂直為主要考查點，第二問可能給出一個角，計算角的問題，常見的是異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，通常要把它們轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；也有可能求距離，試題中常見的是點與點之間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，直線與直線的距離，直線到平面的距離，要特別注意解決此類問題的轉(zhuǎn)化方法，有可能求點的位置或設(shè)置一個探索性命題，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問題、解決問題的能力．復(fù)習(xí)建議：空間圖形中的角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機統(tǒng)一.解題時注意各種角的范圍.異面直線所成角的范圍是0＜θ≤90，其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的范圍是0≤θ≤90，其解法是作垂線、找射影；二面角0≤θ≤180.平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題，要對照翻折（或展開）前后兩個圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關(guān)系改變了，哪些沒有改變. 【xx年高考考點定位】 對立體幾何中的向量方法部分，主要以解答題的方式進行考查，而且偏重在第二問或者第三問中使用這個方法，考查的重點是使用空間向量的方法進行空間角和距離等問題的計算，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運算問題． 【考點1】空間向量 【備考知識梳理】 1．空間向量的概念 向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量.如位移、速度、力等 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量. 說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移. 2．向量運算和運算率 ，， 加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律： 說明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立 3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.平行于記作∥. 注意：當我們說、共線時，對應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當我們說、平行時，也具有同樣的意義. 共線向量定理：對空間任意兩個向量（≠）、，∥的充要條件是存在實數(shù)使＝ 注：⑴上述定理包含兩個方面：①性質(zhì)定理：若∥（≠0），則有＝，其中是唯一確定的實數(shù).②判斷定理：若存在唯一實數(shù)，使＝（≠0），則有∥（若用此結(jié)論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點不在（或）上）. ⑵對于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為 ||，當>0時與同向，當<0時與反向的所有向量 ⑶若直線l∥，，P為l上任一點，O為空間任一點，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo)的表達式. 推論：如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式 ① 其中向量叫做直線l的方向向量 在l上取，則①式可化為 ② 當時，點P是線段AB的中點，則 ③ ①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點公式. 4．向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作∥.注意：向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別. 共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量 共面向量定理 如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實數(shù)對x、y，使① 注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面. 推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使 ④ 或?qū)臻g任一定點O，有⑤ 在平面MAB內(nèi)，點P對應(yīng)的實數(shù)對（）是唯一的.①式叫做平面MAB的向量表示式 又∵代入⑤，整理得 ⑥ 由于對于空間任意一點P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點P就在平面MAB內(nèi)；對于平面MAB內(nèi)的任意一點P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量、（或不共線三點M、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點共面的充要條件 5．空間向量基本定理：如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 說明：⑴由上述定理知，如果三個向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線.與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是. 推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 6．數(shù)量積 （1）夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點O，作，，則角∠AOB叫做向量與的夾角，記作 說明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=； ⑵如果=，則稱與互相垂直，記作⊥； ⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點重合，注意圖（3）、（4）中的兩個向量的夾角不同， 圖（3）中∠AOB=， 圖（4）中∠AOB=, 從而有==. （2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模. （3）向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作.即=， 向量: （4）性質(zhì)與運算率 ⑴，⑵⊥=0，⑶ （4），（5）=，（6） 7．空間向量的坐標表示及運算 (1)數(shù)量積的坐標運算 設(shè)，，則①； ②；③. (2)共線與垂直的坐標表示 設(shè)，， 則， (均為非零向量)． (3)模、夾角和距離公式 設(shè)，，則，. 設(shè)，則. 【規(guī)律方法技巧】 1．將四點共面問題，轉(zhuǎn)化為三個向量共面問題，利用共面向量定理來解決． 2．利用向量共線說明兩線平行時注意說明四點不共線，否則不一定正確． 3. 立體幾何中的向量方法 (1)直線的方向向量與平面的法向量的確定 ①直線的方向向量：是空間一直線，是直線上任意兩點，則稱為直線的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線的方向向量． ②平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)是平面內(nèi)兩不共線向量，為平面的法向量，則求法向量的方程組為. 4.易錯點：（1）共線向量定理中∥?存在實數(shù)使＝易忽視≠0.（3）共面向量定理中，注意有序?qū)崝?shù)對()是唯一存在的．（3）一個平面的法向量有無數(shù)個，但要注意它們是共線向量，不要誤為是共面向量． 5.如何建立適當?shù)淖鴺讼担焊鶕?jù)幾何體本身的幾何性質(zhì)，恰當建立空間直角坐標系最為關(guān)鍵，如果坐標系引入的恰當，合理，即能夠容易確定點的坐標，需要總結(jié)一些建系方法.常見建系方法： （1）借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標軸，如正方體，長方體等規(guī)則幾何體，一般選擇三條線為三個坐標軸，如圖1、2； （2）借助面面垂直的性質(zhì)定理建系，若題目中出現(xiàn)側(cè)面和底面垂線的條件，一般利用此條件添加輔助線，確定z軸，如圖3； （3）借助棱錐的高線建系等.對于正棱錐，利用定點在底面的射影為底面的中心，可確定z軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x，y軸.如圖4. 【考點針對訓(xùn)練】 1.一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的主視圖時，以平面為投影面，則得到主視圖可以為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知可作出示意圖，以平面為投影面，則得到主視圖可以為A選項所示 2. 有以下命題：①如果向量、與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個基底，那么、的關(guān)系是不共線；②為空間四點，且向量，，不構(gòu)成空間的一個基底，那么點一定共面；③已知向量，，是空間的一個基底，則向量也是空間的一個基底．其中正確的命題是(　　) A．①②　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【解析】　對于①，“如果向量、與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個基底，那么、的關(guān)系一定是共線”，所以①錯誤．②③正確． 【考點2】空間角，距離的求法 【備考知識梳理】 1．空間的角 (1)異面直線所成的角 如圖，已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線.則把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)．異面直線所成的角的范圍是. (2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角． ①直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；②直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是的角．直線與平面所成角的范圍是. (3)二面角的平面角 如圖在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則叫做二面角的平面角．二面角的范圍是 (4)等角定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等. 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等. 2．空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線和的方向向量分別為和，則與的夾角滿足. (2)設(shè)直線的方向向量和平面的法向量分別為，則直線與平面的夾角滿足. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如圖①，是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大?。? (ⅱ)如圖②③，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足或． 3.空間距離: （1）兩條異面直線的距離 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；常有求法①先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長即可．②找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離．③找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離．④根據(jù)異面直線間的距離公式EF ＝（“”符號由實際情況選定）求距離. （2）點到平面的距離 點Ｐ到直線的距離為點Ｐ到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過Ａ作的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點Ｐ到直線的距離.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長即可.常用求法①作出點Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長；②轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時，點Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法 （3）直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； （4）平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離. 【規(guī)律方法技巧】 1．空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角. （1）異面直線所成的角的范圍是.求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決 具體步驟如下：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來求角; ④補形法：將空間圖形補成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ. （2）直線與平面所成的角的范圍是.求線面角方法: ①利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. ②利用三棱錐的等體積，省去垂足, 在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時可以利用求點面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因為垂線段的長度實際就是點面距h,利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進行求解. ③妙用公式，直接得到線面角 課本習(xí)題出現(xiàn)過這個公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個公式在求解一些選擇填空題時，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個角的位置，不能張冠李戴. ④萬能方法，空間向量求解不用找角 設(shè)AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角,向量與的夾角，則. 注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，α為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有； （3）確定點的射影位置有以下幾種方法： ①斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； ②如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上； ③兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上； ④利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置： a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果頂點到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)； c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （4）二面角的范圍，解題時要注意圖形的位置和題目的要求.求二面角的方法: ①直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個角就是所求二面角的平面角,然后再計算這個角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角,自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角, 自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角；③利用定義確定平面角, 在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角； ②射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無棱二面角大小的計算；對于無棱二面角問題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. ③空間向量法:法一: 是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大?。? 法二：設(shè),是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向外側(cè)（同等異補），則二面角的平面角或. 2. 求距離的關(guān)鍵是化歸.即空間距離向平面距離化歸，具體方法如下： （1）求空間中兩點間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形. （2）求點到直線的距離和點到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法. （3）求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點點距、點線距或點面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計算求之.異面直線上兩點間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ，它們的公垂線AA′的長度為d ，在a 上有線段A′E ＝m ，b 上有線段AF ＝n ，那么EF ＝（“”符號由實際情況選定） 3.求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置. ②作線面角的方法除平移外，補形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理. ③求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點在于找到面的垂線.解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面.作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“＝ ”求二面角否則要適當扣分. ④求點到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點在面內(nèi)的射影，此時?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法. ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【陜西省西安市長安區(qū)xx屆高三4月模擬】如圖所示是一幾何體的三視圖，正視圖是一等腰直角三角形，且斜邊長為2，側(cè)視圖是一直角三角形，俯視圖為一直角梯形，且，則異面直線與所成角的正切值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】如圖，取的中點，連接，依題意得， ，所以為異面直線與所成角，因為，所以，故選C. 2. 【xx屆上海市黃浦區(qū)高三4月高考模擬】如圖，在直棱柱中，，，分別是的中點． （1）求證：； （2）求與平面所成角的大小及點到平面的距離． 【解析】（1）以A為坐標原點、AB為x軸、為y軸、為z軸建立如圖的空間直角坐標系．由題意可知，故， 由，可知，即． （2）設(shè)是平面的一個法向量，又，故由解得 故． 設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角為，點到平面的距離為． 【考點3】空間向量的應(yīng)用 【備考知識梳理】 1. 直線的方向向量：是空間一直線，是直線上任意兩點，則稱為直線的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線的方向向量． 2. 如何確定平面的法向量 （1）首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，若有可直接確定，若不存在，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法； （2）待定系數(shù)法：由于法向量沒有規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，于是可把法向量的某個坐標設(shè)為1，再求另兩個坐標.由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的兩條相交向量，設(shè)由解方程組求得. 【規(guī)律方法技巧】 1.用向量證明空間中的平行關(guān)系 ①設(shè)直線和的方向向量分別為和，則∥ (或與重合)? ∥. ②設(shè)直線的方向向量為，與平面共面的兩個不共線向量和，則∥或??存在兩個實數(shù)，使. ③設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則l∥α或l?α?⊥. ④設(shè)平面和的法向量分別為，，則α∥β?∥. 2.用向量證明空間中的垂直關(guān)系 ①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為和，則l1⊥l2?⊥?.＝0. ②設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，則⊥?∥ ③設(shè)平面和的法向量分別為和，則α⊥β?⊥?＝0. 3.用法向量球距離： （1）用法向量求異面直線間的距離：如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點E∈a，F(xiàn)∈b，則異面直線 a與b之間的距離是 ； （2）用法向量求點到平面的距離 如右圖所示，已知AB是平面α的 一條斜線，為平面α的法向量，則 A到平面α的距離為； （3）用法向量求直線到平面間的距離 首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點到平面的距離問題 （4）用法向量求兩平行平面間的距離 首先必須確定兩個平面是否平行，這時可以在一個平面上任取一點，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點到平面的距離問題. 4. 用法向量求角 （1）用法向量求二面角 如圖，有兩個平面α與β，分別作這兩個平面的法向量與，則平面α與β所成的角跟法向量與所成的角相等或互補，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角. （2）法向量求直線與平面所成的角 要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個平面α的法向量與直線a的夾角的余弦，易知θ=或者. 5.利用空間向量坐標運算求解問題的方法：用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點間距離或某一線段的長度，一般用向量的模來解決；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進行轉(zhuǎn)化． 6.易誤警示：利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時，要根據(jù)向量坐標在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補，這是利用向量求二面角的難點、易錯點． 異面直線所成角范圍是(0，90]，若異面直線a，b的方向向量為m，n，異面直線a，b所成角為θ，則cos θ＝|cos〈m，n〉|.解題過程是：(1)建系；(2)求點坐標；(3)表示向量；(4)計算． (1)異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系． (2)直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化，所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系． 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【湖南省長沙市xx屆高三5月模擬】如圖所示，四棱錐的底面是梯形，且, 平面， 是中點， ． （Ⅰ）求證： 平面； （Ⅱ）若， ，求直線與平面所成角的大?。? 【解析】（Ⅰ）取的中點，連結(jié)，如圖所示．因為，所以．因為平面， 平面，所以．又因為，所以平面．因為點是中點，所以，且．又因為，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面． （Ⅱ）解：設(shè)點O，G分別為AD，BC的中點，連結(jié)，則，因為平面， 平面，所以，所以．因為，由（Ⅰ）知， 又因為，所以，所以所以為正三角形，所以，因為平面， 平面，所以．又因為，所以平面．故兩兩垂直，可以點O為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示．， ， ，所以， ， ，設(shè)平面的法向量， 則所以取，則，設(shè)與平面所成的角為，則，因為，所以，所以與平面所成角的大小為． 2. 【山東省淄博市xx屆高三第二次模擬】如圖，在三棱錐中，，，，點在平面內(nèi)，，. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）設(shè)點在棱上，若二面角的余弦值為，試求的值. 【解析】（Ⅰ）證明：連接，設(shè)交于，因為是等腰直角三角形，所以，又，所以是和的中點已知，所以四邊形是正方形則，又，所以平面，同理，所以平面 （Ⅱ）由（Ⅰ）的證明過程知為正方形，如圖建立坐標系，則：，，，，，設(shè)（），，由可得，則， 易知平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為，則得，令得，，所以， 解得，所以 【考點4】立體幾何綜合問題 【備考知識梳理】 空間線、面的平行與垂直的綜合考查一直是高考必考熱點.歸納起來常見的命題角度有： 1)以多面體為載體綜合考查平行與垂直的證明. 2)探索性問題中的平行與垂直問題. 3)折疊問題中的平行與垂直問題. 【規(guī)律方法技巧】 1. 證線面平行，一般都考慮采用以下兩種方法：第一，用線面平行的判定定理，第二用面面平行的性質(zhì)定理；2、證面面垂直，關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個面.這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮；3、條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應(yīng)的性質(zhì)定理.比如本題中已知兩平面互相垂直，我們就要兩平面互相垂直的性質(zhì)定理；4、在立體幾何的平行關(guān)系問題中，“中點”是經(jīng)常使用的一個特殊點，無論是試題本身的已知條件，還是在具體的解題中，通過找“中點”，連“中點”，即可出現(xiàn)平行線；若是給出了一些比例關(guān)系，則通過比例關(guān)系證明線線平行.線線平行是平行關(guān)系的根本.5、在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直，其中要特別重視兩個平面垂直的性質(zhì)定理，這個定理已知的是兩個平面垂直，結(jié)論是線面垂直． 2. 探索性問題:探求某些點的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運用推理證明計算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算.探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點． 3．折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系，弄清哪些角度和長度變了，哪些沒有變；哪些線共面，哪些線不共面，翻折后的線與原來的線有什么聯(lián)系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直線. 尤其是隱含著的垂直關(guān)系． 4．把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從解決平面問題而使空間問題得以解決.求角的三個基本步驟：“作”、“證”、“算”. （1）常用等角定理或平行移動直線及平面的方法轉(zhuǎn)化所求角的位置； （2）常用平行線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據(jù)轉(zhuǎn)化所求距離的位置； （3）常用割補法或等積（等面積或等體積）變換解決有關(guān)距離及體積問題. 5. 向量為謀求解立體幾何的探索性問題:空間向量最合適于解決立體幾何中探索性問題，它無需進行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷，在解題過程中，往往把“是否存在”問題，轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問題的解集更加簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法解題. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【福建省莆田xx屆高三二?！?如圖，在梯形中， ， ，四邊形為矩形，且平面， . （1）求證： 平面； （2）點在線段（含端點）上運動，當點在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值. 【解析】 (I)在梯形中，∵，設(shè)，又∵,∴，∴∴∴. ∵， ，∴，而，∴ ∵ ∴. (II)由(I)可建立分別以直線， ， 為軸， 軸， 軸的如圖所示建立空間直角坐標系， 設(shè)，令 (),則 (0，0，0)， (，0，0)， (0，1，0)， (，0，1)，∴=(-，1，0)， =( ，-1，1)， 設(shè)為平面的一個法向量，由得取,則=(1, , ), ∵=(1,0,0)是平面的一個法向量,∴ ∵,∴當時， 有最小值，∴點與點重合時，平面與平面所成二面角最大，此時二面角的余弦值為. 2. 【福建泉州xx年畢業(yè)班質(zhì)量檢查】 如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面是平行四邊形， ， ， ， 為的中點，點在線段上. (Ⅰ)求證： ； (Ⅱ)試確定點的位置，使得直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等. （Ⅱ）側(cè)面底面， ，所以底面，所以直線兩兩互相垂直，以為原點，直線為坐標軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則 ，所以， ， ，設(shè)，則， ，所以，易得平面的法向量． 設(shè)平面的法向量為，由， ，得，令，得．因為直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，所以，即，所以，即，解得，所以． 【應(yīng)試技巧點撥】 1．探索性問題 探求某些點的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運用推理證明計算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算. 2. 如何求線面角 （1）利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. （2）利用三棱錐的等體積，省去垂足 在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時可以利用求點面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因為垂線段的長度實際就是點面距h！利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進行求解. （3）妙用公式，直接得到線面角 課本習(xí)題出現(xiàn)過這個公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個公式在求解一些選擇填空題時，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個角的位置，不能張冠李戴. （4）萬能方法，空間向量求解不用找角 設(shè)AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角,向量與的夾角，則. 3.如何求二面角 （1）直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個角就是所求二面角的平面角,然后再計算這個角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角；③利用定義確定平面角； （2）射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無棱二面角大小的計算；對于無棱二面角問題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 法二：設(shè),是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內(nèi)側(cè)，另一個指向外側(cè)（同等異補）， 則二面角的平面角 4.如何建立適當?shù)淖鴺讼? 根據(jù)幾何體本身的幾何性質(zhì)，恰當建立空間直角坐標系最為關(guān)鍵，如果坐標系引入的恰當，合理，即能夠容易確定點的坐標，需要總結(jié)一些建系方法.常見建系方法： （1）借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標軸，如正方體，長方體等規(guī)則幾何體，一般選擇三條線為三個坐標軸，如圖1、2； （2）借助面面垂直的性質(zhì)定理建系，若題目中出現(xiàn)側(cè)面和底面垂線的條件，一般利用此條件添加輔助線，確定z軸，如圖3； （3）借助棱錐的高線建系等.對于正棱錐，利用定點在底面的射影為底面的中心，可確定z軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x，y軸.如圖4. 5.如何確定平面的法向量 （1）首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，若有可直接確定，若不存在，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法； （2）待定系數(shù)法：由于法向量沒有規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，于是可把法向量的某個坐標設(shè)為1，再求另兩個坐標.由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的兩條相交向量，設(shè)由解方程組求得. 6. 向量為謀求解立體幾何的探索性問題 空間向量最合適于解決立體幾何中探索性問題，它無需進行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷，在解題過程中，往往把“是否存在”問題，轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問題的解集更加簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法解題. 1. 【福建泉州xx年畢業(yè)班質(zhì)量檢查】在四面體中，若， ， ，則直線與所成角的余弦值為（　） A. B. C. D. 【答案】D 2. 【四川省成都市xx屆高中第三次診】在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，且，則異面直線與所成角的余弦值為（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意，可補形成正方體如下圖： 所以異面直線與所成角就是與所以角，而為直角三角形，所以所成角為，。選A. 3.【xx屆湖南省郴州市高三第四次質(zhì)檢】如圖，矩形中，，為邊的中點，將沿直線翻轉(zhuǎn)成（平面）．若、分別為線段、的中點，則在翻轉(zhuǎn)過程中，下列說法錯誤的是（ ） A. 與平面垂直的直線必與直線垂直 B. 異面直線與所成角是定值 C. 一定存在某個位置，使 D. 三棱錐外接球半徑與棱的長之比為定值 【答案】C 【解析】取CD的中點F，連BF,MF,如下圖：可知面MBF//,所以A對。取中點G,可知，如下圖，可知B對。點A關(guān)于直線DE的對為F,則面，即過O與DE垂直的直線在平面上。故C錯。三棱錐外接球的球心即為O點，所以外接球半徑為。故D對。選C 4. 【廣西桂林市xx屆高三適應(yīng)性】正四面體中， 是棱的中點， 是點在底面內(nèi)的射影，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長是1，則，高，設(shè)點在底面內(nèi)的射影是，則，所以即為所求異面直線所成角，則，應(yīng)選答案B。 5. 【重慶市xx屆高三高考適應(yīng)】四棱錐的底面為平行四邊形，且，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，則與所成的銳角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分別過頂點P作， ,則直線MP為平面PAD與平面PBC的交線，即為m, 直線NP為平面PAB與平面PDC的交線，即為n，所以AB與BC所成的角即為m與n所成的角，在中， ，所以m與n所成的銳角的余弦值為 ，選B. 6. 【河北省衡水中學(xué)xx屆三摸】已知兩平行平面間的距離為，點，點，且，若異面直線與所成角為60，則四面體的體積為__________． 【答案】6 【解析】設(shè)平面ABC與平面交線為CE，取 ,則 7. 【河北省xx屆衡水中學(xué)押題卷III】如圖所示，在棱長為2的正方體中， ， 分別是， 的中點，那么異面直線和所成角的余弦值等于__________． 【答案】 8. 【江蘇省徐州市xx屆高三信息卷】在三棱柱中， 平面， ， ， ，點在棱上，且．建立如圖所示的空間直角坐標系． （1）當時，求異面直線與的夾角的余弦值； （2）若二面角的平面角為，求的值． 【解析】（1）易知， ， ．因為， ，所以，當時， ．所以， ．所以， ．故異面直線與的夾角的余弦值為． （2）由可知， ，所以，由（1）知， ． 設(shè)平面的法向量為，則 即 令，解得， ，所以平面的一個法向量為． 設(shè)平面的法向量為，則 即 令，解得， ，所以平面的一個法向量為． 因為二面角的平面角為，所以，即，解得或（舍），故的值為． 9. 【遼寧省莊河市xx屆高三四?！咳鐖D，四棱錐中，底面是矩形，平面 平面，且是邊長為的等邊三角形， ，點是的中點. （1）求證： 平面 ； （2）點 在 上，且滿足 ，求直線與平面所成角的正弦值. 【解析】(1)連 交 于點， 連 ，因為四邊形 是矩形，所以點是 的中點，又點 是 的中點， ，又 平面 平面 ，所以平面. (2)取 的中點，則 ，又平面 底面，平面 底面 ，故平面，連接 ，在 中， ，所以在 中， ，以 為原點， 所在直線分別為 軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，則，設(shè)，則由 得 ，即，設(shè)平面的法向量 ，則 ，得 ，令 ，則 ，故 ，又 ，設(shè)直線與平面所成角為 ，則 ，故直線與平面所成角的正弦值為 . 10. 【浙江省嘉興市xx屆高三適應(yīng)性考試】如圖，在三棱錐中， 底面， ， ， ， 分別是， 的中點， 在上，且． （1）求證： 平面； （2）在線段上上是否存在點，使二面角 的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由． 【解析】（1）由， ，是的中點，得．因為底面，所以． 在中， ，所以．因此，又因為，所以，則，即． 因為底面，所以，又，所以底面，則．又，所以平面． （3）方法二：假設(shè)滿足條件的點存在，并設(shè)．以為坐標原點，分別以， ， 為， ， 軸建立空間直線坐標系，則， ， ，．由得．所以， ， ． 設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得， ，即．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得， ，即．由二面角的大小為，得，化簡得，又，求得． 于是滿足條件的點存在，且． 11. 【xx年湖南師大附中高三三?！咳鐖D，若Ω是長方體ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點，且EH∥A1D1，則下列結(jié)論中不正確的是（ ） A．EH∥FG B．四邊形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱 D．四邊形EFGH可能為梯形 【答案】D 【解析】假設(shè)平面的法向量為，則有，又因為，所以，，且不是面的法向量，由，可知，，則，可見四邊形是矩形，所以A，B，C選項都正確，正確的選項為D. 12. 【xx屆河南省禹州市名校高三三?！吭诹庑沃?，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，則三棱錐的外接球的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)分別是等邊三角形的外心，則畫出圖像如下圖所示，由圖象可知，,故， ,外接球體積為. 13. 【xx屆山西省太原市高三下第三次模擬】在正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且平面，則與平面所成角的正切值的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】建立如所示的坐標系,則,設(shè),平面的法向量為,則,所以,即,令,則,所以.又因為平面,所以,即,也即,所以.由于是平面的一個法向量,且,所以,記與平面所成角為,則,所以,因為,所以. 14. 【xx屆寧夏石嘴山三中高三下四?！咳鐖D，中，是的中點，，，將沿折起，使點到達點． （1）求證：； （2）當三棱錐的體積最大時，試問在線段上是否存在一點，使與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出點的位置；若