《圖形認識初步》知識點串講及考點透視

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1、 《圖形認識初步》知識點串講及考點透視 內江 鄒學友 請同學們先看一看如圖1的幾幅圖案： 圖1 通過觀察，同學們一定會體會到我們生活在圖形的世界里.我們剛學過的《圖形認識初步》不都是我們生活中所見到過的嗎？為了能讓我們一起再去光顧一下《圖形認識初步》，從而進一步欣賞豐富多彩的圖形世界，體會更多的立體圖形與平面圖形，了解立體圖形與平面圖形之間的關系，希望你還喜歡. 一、目標要求 1，經歷觀察、測量、折疊、模型制作與圖案設計等活動，進一步發(fā)展空間概念；能從生活周圍熟悉的物體入手，加深對物體的形狀的認識，并從感性逐步上升到抽象的幾何圖形，并通過從不同方向看立體圖形

2、和展開立體圖形，初步認識立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，在此基礎上進一步認識一些簡單的平面圖形——直線、射線、線段和角. 2，進一步認識角，以及角的表示方法，角的度量，角的畫法.角的比較，補角和余角等內容.會進行線段或角的比較，能估計一個角的大小，會進行角的單位的簡單換算. 3，從實物出發(fā)，感受到圖形世界的無處不在，引起學習的興趣.能區(qū)分直線、射線、線段的概念，并體會它們的一些性質，結合生活情景認識角并知道周角、平角等概念. 4，能借助三角尺、量角器、方格紙等工具，會畫角、線段、垂線，能進行簡單的圖案設計，并能了解直線、線段等有關性質；積累操作活動經驗，發(fā)展有條理的思考與表達，

3、經歷在操作活動中探索圖形性質的過程豐富數(shù)學學習的成功體驗. 二、知識網(wǎng)絡 角和平分線 等角的補角相等 等角的余角相等 角的度量 角的大小比較與運算 余角和補角 角 從不同方向看立體圖形 展開立體圖形 平面圖形 幾何圖形 點、線、面、體 立體圖形 平面圖形 直線、射線、線段 線段大小的比較 兩點確定一條直線 兩點之間、線段最短 二、要點解讀 （一）知識總攬 本章內容都是研究的簡單的基本圖形，是以后學習的重要基礎，其中如何結合立體圖形與平面圖形的互相轉化的學習，來發(fā)展空間觀念以及一些重要

4、的概念、性質等是本章的重點；建立和發(fā)展空間觀念是空間與圖形學習的核心目標之一，能由實物形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的相互轉化是培養(yǎng)空間觀念的重要方面，更有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng). （二）疑點和易錯點 這一章內容的概念比較多，概念之間的聯(lián)系又比較密切，因此，如何從具體事物中抽象出幾何圖形，把握幾何圖形的本質特征，區(qū)分一些相近的概念，對圖形的表示方法以及對幾何語言的認識與運用，都復習的疑點和易錯點.具體地說： 1，通常畫一個立體圖形要分別從正面看、從左面看、從上面看.如從不同方向看圖2就可得到圖3中的三個圖形.同樣由圖3的三個圖形也可以畫出圖2.

5、如果不能認真的觀察分析立體圖形的特征，就不能正確畫出相應的平面圖形. 從正面看 從左面看 從上面看 圖3 圖2 　　2，在研究直線、線段、射線的有關概念時，容易出現(xiàn)延長直線或延長射線之類的錯誤，在用兩個大寫字母表示射線時，忽視第一個字母表示的是這條射線的頂點. 3，直線有這樣一個重要性質：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線.即兩點確定一條直線.線段有這樣一條重要性質：兩點的所有連線中，線段最短.簡單說成：兩點之間，線段最短.這兩個性質是研究幾何圖形的基礎，復習時應抓住性質中的關鍵性字眼，不能出現(xiàn)似是而非的錯誤. 4，注意線段的中

6、點是指把線段分成相等的兩條線段的點；而連結兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.這里應特別注意線段與距離的區(qū)別是，即距離是線段的長度，是一個量；線段則是一種圖形，它們之間是不能等同的. 5，在復習角的概念時，應注意理解兩種方式來描述，即一種是從一些實際問題中抽象地概括出來，即有公共端點的兩條射線組成的圖形，叫做角；另一種是用旋轉的觀點來定義，即一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形叫做角.角的兩種定義都告訴我們這樣一些事實：（1）角有兩個特征：一是角有兩條射線，二是角的兩條射線必須有公共端點，兩者缺一不可；（2）由于射線是向一方無限延伸的，所以角的兩邊無所謂長短，即角的大小與它

7、的邊的長短無關；（3）當角的大小一旦確定，它的大小就不因圖形的位置、圖形的放大或縮小而改變.如一個37的角放在放大或縮小若干倍的放大鏡下它仍然是37不能誤認為角的大小也放大或縮小若干倍.另外對角的表示方法中，當用三個大寫字母來表示時，頂點的字母必須寫在中間，在角的兩邊上各取一點，將表示這兩個點的字母分別寫在頂點字母的兩旁，兩旁的字母不分前后. 6，在研究互為余角和互為補角時，容易混淆這兩個概念.常常誤認為互為余角的兩個角的和等于180，互為補角的兩個角的和等于90. 　　三、思想方法 復習《圖形認識初步》這部分內容除了要注意基礎知識的鞏固和典型習題的訓練，還要注意數(shù)學思想方法的訓練與運用

8、.具體地說： 一、分類思想. 在過平面上若干點可以畫多少條直線，應注意這些點的分情況討論；或在畫其它的圖形時，應注意圖形的各種可能性. 例1　兩條相交直線與另外一條直線在同一平面內，它們的交點個數(shù)是（　　?。?  　A.1 　　　B.2 　　　C.3或2 　　　 D.1或2或3 分析　由于題設條件中并沒有明確這三條直線的具體位置，所以應分情況討論. 圖5 解　依題意可以畫出如圖4的三種情況.故應選D. 圖4 二、方程思想.在處理有關角的大小，線段大小的計算時常需要通過列方程來解決. 例2　如果一個角的補角是150，求這個角的

9、余角. 分析　若設這個角的大小為x，則這個角的余角是90－x，于是由這個角的補角是150可列出方程求解. 解　設這個角為x，則這個角的余角是90－x，根據(jù)題意，得 180－x＝150，解得：x＝30， 即90－x＝60. 故這個角的余角是60. 三、圖形變換思想.在研究角的概念時要充分體會對射線旋轉的認識，在處理圖形時應注意轉化思想的運用，如立體圖形與平面圖形的互相轉化的學習. 例3　請畫出正六棱柱表面展開圖. 分析　要將一個立體圖形轉化為平面圖形，只要按照立體圖形的折疊原理即可求解. 解　正六棱柱表面展開圖如圖5所示 四、化歸思想.在進行線段、射線、直線、角以及相關圖形的

10、計數(shù)時總要化歸到公式的具體運用上來. 例4　若點C、D、E、F是線段AB上的四個點.則這個圖形中共有多少條線段？ 分析　已知線段上除了端點外，還有4個點，即這條線段共有6個點，這樣要求這個圖形中共有多少條線段，則由代數(shù)式即求. 解　因為依題意已知線段上共有6個點，所以這個圖形中共有線段的為：＝＝15. 四、考點解密 （所選例題均出自2006年全國部分省市中考試卷） 考點1　從不同方向看立體圖形 例5（河北?。﹫D1中幾何體的主視圖是如圖7所示中的（　　） 正面 圖6 C. A. D. Ｂ. 圖7 分析　主視圖是從下面看的，由于圖6中的圖形是由兩個

11、部分組成的，上面是一個球，球的下面是一個長方體，這樣問題就簡單了. 解　因為要畫出的是從正面看到的主視圖，而已知的立體圖形是由兩個部分組成的，上面是一個球，球的下面是一個長方體，所以我們從正面看到的上面是一個圓，下面是一個長方形. 又因為原立體圖形中上面的球是放在中間的，所以正確的平面圖形應該是C.故應選C. 說明　要畫出從不同方向看到的平面圖形，通常畫出分別從正面看、從左面看、從上面看一個立體圖形的平面圖形. 考點2　立體圖形的側面展開圖 例2（嘉興市）如圖8所示的圖形中，不能經過折疊圍成正方體的是（　B?。? 　A　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　D

12、 圖8 分析　觀察這四個平面圖形，A、C、D能圍成一個正方體，只有B不能圍成正方體. 解　應選B. 說明　判斷一個圖形能否圍成正方體，關鍵是要看這個平面圖形是否是某一個正方體的側面展開圖，如果是，即能圍成一個正方體，否則就不是.另外，一個立體圖形可以有不同的平面展開圖.也就是說，同一個立體圖形，按不同方式展開得到的平面展開圖是不一樣的.反之，一些平面圖形也可以圍成立體圖形，就是說，平面圖形可以圍成立體圖形.但要注意，并不是所有的平面圖形都能夠圍成多面體. 考點3　確定平面圖形的個數(shù) 例3（紹興市）若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”，則如圖9中

13、以BC為公共邊的“共邊三角形”有（　?。? 　A.2對 　　 B.3對 　　 C.4對 　　 D.6對 分析　要知道有多少“共邊三角形”，只要能依據(jù)圖形寫出所有的滿足題意的三角形即可. 解　結合圖形，滿足題意的三角形是：△ABC與△DBC，△DBC與△EBC，△EBC與△ABC，共3對.故應選B. P Q T S R 圖10 圖9 說明　求解本題一定要注意抓住以BC為公共邊的“共邊三角形”，不能忽視關鍵性的字眼. 考點4　圖形角度大小的計算 例4（大連市）如圖10，∠PQR等于138，SQ⊥QR，QT⊥PQ.則∠SQT等于（ ）

14、 A.42 　　　B.64 　　　C.48 　　　D.24 分析　要求∠SQT的大小，由于SQ⊥QR，QT⊥PQ，可知∠PQS＝∠RQT，進而即可求得. 解　因為SQ⊥QR，QT⊥PQ，所以∠PQS+∠SQT＝∠SQT+∠RQT＝90，即∠PQS＝∠RQT，又∠PQS+∠SQT +∠RQT＝138，所以∠PQS＝∠RQT＝48，所以∠SQT＝138－248＝42.故應選A. 說明　在進行圖形的有關計算時，除了要能靈活運用所學的知識外，還要能從圖形中捕捉求解的信息. 考點5　互為余角與互為補角 例5（內江市）一個角的余角比它的補角的少20.則這個角為（　　?。? A.30

15、 　　　　B.40 　　　　C.60 　　　　 D.75 分析　若設這個角為x，則這個角的余角是90－x，補角是180－x，于是構造出方程即可求解. 解　設這個角為x，則這個角的余角是90－x，補角是180－x. 則根據(jù)題意，得(180－x)－(90－x)＝20.解得：x＝40.故應選B. 說明　處理有關互為余角與互為補角的問題，除了要弄清楚它們的概念，通常情況下不要引進未知數(shù)，構造方程求解. 考點6　平面圖形的操作問題 例6（旅順口區(qū)）如圖11，將一塊正方形紙片沿對角線折疊一次，然后在得到的三角形的三個角上各挖去一個圓洞，最后將正方形紙片展開，得到的圖案是如圖12所示

16、的（　?。? 圖11 圖12 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 分析　要想知道展開后得到的圖案是什么，可以依據(jù)題意，結合正方形的圖形特征，發(fā)揮想象即可求解. 解　因為將正方形沿對角線折疊一次，然后在得到的三角形的三個角上各挖去一個圓洞，就是說這個正方形上共有6個小圓，其中分成3組關于正方形的對角線即折痕對稱，且1對圓在兩個直角的頂點上，2對圓位于對角線即折痕的兩側.故應選C. 說明　這種圖形的操作問題的求解一定要在靈活運用基礎知識的同時，充分發(fā)揮想象，并能大膽地歸納與推斷. 　　考點7　平面圖形的面積問題 例7（臨安市）如圖13，正方形硬

17、紙片ABCD的邊長是4，點E、F分別是AB、BC的中點，若沿左圖中的虛線剪開，拼成右圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（ ） A.2 　　　　 B.4 　　　　C.8 　　　 D.10 分析　要求圖中陰影部分的面積，由于由剪到拼可知陰影部分的面積應是原正方形面積的四分之一，于是即求. 解　根據(jù)題意“小別墅”的圖中陰影部分的面積應等于正方形面積的四分之一，而正方形的面積是16，所以陰影部分的面積應等于4.故應選B. 說明　本題的圖形在操作過程中，雖然形狀發(fā)生了改變，但是圖形的面積卻沒有變化，抓住這一點問題就可以簡潔求解. 圖13 a 圖15 b a

18、 b 圖14 考點8　拼圖問題 例8（煙臺市）如圖14，有三種卡片，其中邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張.用這16張卡片拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為＿＿＿. 分析　16張卡片，拼成一個正方形，而邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張，由此可知正方形的每邊上應有4張，而且這個正方形的邊長應為a+3b. 解　因為邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張，而用這16張卡片拼成一個正方形，所以正方形的每邊上應有4張，而且

19、這個正方形的邊長應為a+3b.但拼得的正方形的形式是不一樣的，如圖15就是其中的一種. 說明　這是一道結論開放型問題，只要符合題意且結論正確的都可以. 考點9　規(guī)律探索問題 圖16 例9（江西省）用黑白兩種顏色的正方形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成如圖16一列圖案： （1）第4個圖案中有白色紙片＿＿＿張； （2）第n個圖案中有白色紙片＿＿＿張. 分析　要解答這兩個問題，只要能求出第n個圖案中有白色紙片的張數(shù)即可，由于第1個圖案中有白色紙片1張，第2個圖案中有白色紙片7張，第3個圖案中有白色紙片10張，…，由此可以得到第n個圖案中有白色紙片3n + 1張，

20、從而求解. 解　因為第1個圖案中有白色紙片1張，第2個圖案中有白色紙片7張，第3個圖案中有白色紙片10張，…，所以可以得到第n個圖案中有白色紙片3n+1張.于是（1）當n＝4時，3n+1＝13；（2）3n + 1. 說明　這種利用幾何圖形探索規(guī)律型問題是近年各地中考的熱點，同學們在求解時一定要通過認真的觀察、歸納、猜想、驗證，才能正確地獲解. 練習題： 1，（十堰市）觀察如圖17甲，從左側正對長方體看到的結果是圖乙中的（　?。? 圖17 （圖甲） A B C D （圖乙） 2，（衡陽市）如圖18所示的圖形中，不是正方體平面展開圖的是（　　） 圖1

21、8 3，（江陰市）如圖19，把一個邊長為1的正方形經過三次對折后沿中位線(虛線)剪下，則右圖展開得到的圖形的面積為（ ） 圖19 A. 　 B. C. D. 4，（廣東?。┧椒胖玫恼襟w的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖20是一個正方體的表面展開圖，若圖中“2”在正方體的前面，則這個正方體的后面是 ( ) A.0 　　　 B.6 　　　 C.快 　　　 D.樂 圖20 圖23 圖21 圖22 5，（南

22、通市）已知∠α＝3519′，則∠α的余角等于（　　　） A.14441′　　　　 B.14481′ C.5441′ D.5481 6，（棗莊市）如圖21，B是線段AC的中點，過點C的直線l與AC成60的角，在直線l上取一點P，使∠APB＝30，則滿足條件的點P的個數(shù)是（　　?。? A.3個 B.2個 　　　 C.l個 　　 D.不存在 7，（十堰市）如圖22，將一張長方形紙片對折兩次，然后剪下一個角，打開.如果要剪出一個正方形，那么剪口線與折痕成（　　） A.22.5角 B.30角　　　C.45角 D.60角 8，（煙臺市）一位美術老師在課堂上進行立體模型素描教學時，把14個棱長為1分米的正方體擺在課桌上成如圖23形式，然后他把露出的表面都涂上不同的顏色，則被他涂上顏色部分的面積為（　　?。? A.33分米2 B.24分米2　　　C.21分米2 D.42分米2 　　參考答案： 1，B；2，D；3，A；4，B；5，C；6，B；7，C；8，A.