2019年春八年級數(shù)學下冊 第1章 三角形的證明 1.4 角平分線 第1課時 角平分線的性質課件（新版）北師大版.ppt

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1.4 角平分線,第一章 三角形的證明,第1課時 角平分線,1.會敘述角平分線的性質及判定;（重點） 2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質定理，理解和掌握角平分線性質定理和它的逆定理，能應用這兩個性質解決一些簡單的實際問題;（難點） 3.經歷探索、猜想、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力．,學習目標,情境引入,如圖，要在S區(qū)建一個貿易市場，使它到鐵路和公路距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場應建在何處？ （比例尺為1︰20000）,,D,C,,S,解：作夾角的角平分線OC，,截取OD=2.5cm ,D即為所求.,O,導入新課,1. 操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作 PD⊥OA，PE ⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將 三次數(shù)據填入下表：,2. 觀察測量結果，猜想線段PD與PE的大小關系，寫出結：__________,,,,C,O,B,A,PD=PE,,,,,實驗：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的 任意一點,猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.,講授新課,驗證猜想,已知：如圖， ∠AOC= ∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E. 求證：PD=PE.,證明：,∵ PD⊥OA,PE⊥OB，,∴ ∠PDO= ∠PEO=90 .,在△PDO和△PEO中，,,∠PDO= ∠PEO，,∠AOC= ∠BOC，,OP= OP，,∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).,∴PD=PE.,角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等,,性質定理： 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.,應用所具備的條件：,定理的作用：,證明線段相等.,應用格式：,∵OP 是∠AOB的平分線，,∴PD = PE,（在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.,推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.,PD⊥OA,PE⊥OB，,,判一判：（1）∵ 如下左圖，AD平分∠BAC（已知），,∴ = ，( ),在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等,BD CD,,(2)∵ 如上右圖， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.,∴ = , ( ),在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等,BD CD,,例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E,F. 求證：EB=FC.,證明： ∵AD是∠BAC的角平分線， DE⊥AB, DF⊥AC，,∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 .,在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，,∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).,∴ EB=FC.,例2:如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.,4,溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應用,變式：如 圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4, AB=14. （1）則點P到AB的距離為_______.,4,溫馨提示：存在一條垂線段———構造應用,,變式：如圖，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面積.,（3）求?PDB的周長.,ABPD=28.,由垂直平分線的性質，可知，PD=PC=4，,,,,1.應用角平分線性質：,存在角平分線,涉及距離問題,2.聯(lián)系角平分線性質：,面積,周長,,,條件,知識與方法,利用角平分線的性質所得到的等量關系進行轉化求解,角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．,思考：交換角的平分線性質中的已知和結論，你能得到什么結論，這個新結論正確嗎？,角平分線的性質：,角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.,,思考：這個結論正確嗎？,逆 命 題,已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE. 求證：點P在∠AOB的角平分線上.,證明：,作射線OP，,,∴點P在∠AOB 角的平分線上.,在Rt△PDO和Rt△PEO 中，,（全等三角形的對應角相等）.,OP=OP（公共邊），,PD= PE（已知 ），,,,∵PD⊥OA,PE⊥OB.,∴∠PDO=∠PEO=90，,∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.,∴∠AOP=∠BOP,,,證明猜想,判定定理： 角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.,應用所具備的條件：,定理的作用：判斷點是否在角平分線上.,應用格式：,∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.,∴點P 在∠AOB的平分線上.,知識總結,例3:如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F， 求證：點F在∠DAE的平分線上．,證明：,過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.,∵點F在∠BCE的平分線上， FG⊥AE， FM⊥BC.,∴FG＝FM.,又∵點F在∠CBD的平分線上， FH⊥AD， FM⊥BC，,∴FM＝FH，,∴FG＝FH.,∴點F在∠DAE的平分線上.,,,,,,,,G,H,,M,A,B,C,F,E,D,┑,┑,┑,例4 如圖，某地有兩所大學和兩條交叉的公路．圖中點M，N表示大學，OA，OB表示公路，現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設計．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡),方法總結：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，到兩點距離相等的點在兩點連線的垂直平分線上.,解：如圖所示：,,,,,,,,,,,歸納總結,,,OP平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,PD=PE,OP平分∠AOB,PD=PE,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,,角的平分線的判定,角的平分線的性質,當堂練習,2.△ABC中, ∠C=90,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是 .,3,E,,1. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， ∠EDB= 60，則 ∠EBF= 度，BE= .,60,BF,3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON,再分別過點M,N作OA,OB的垂線，交點為P，畫射線OP,則OP平分∠AOB.為什么？,,,,,,,A,O,B,M,N,P,解：在RT△MOP和RT△NOP中， OM=ON， OP=OP， ∴RT△MOP≌RT△NOP（HL）. ∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.,,課堂小結,角平分線,性質定理,一個點：角平分線上的點； 二距離：點到角兩邊的距離； 兩相等：兩條垂線段相等,輔助線 添加,過角平分線上一點向兩邊作垂線段,,,,判定定理,,在一個角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上,