北師版九年級數(shù)學(xué)下冊第一章第三節(jié)《三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算》教案

課時(shí)課題：第一章 第三節(jié) 三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算 第二課時(shí) 課 型：新授課 教學(xué)目標(biāo)： （1）經(jīng)歷用計(jì)算器由三角函數(shù)值求相應(yīng)銳角的過程，能夠運(yùn)用計(jì)算器輔助解決含三角函數(shù)值以及角度計(jì)算的實(shí)際問題，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)的意義； （2）借助計(jì)算器解決含三角函數(shù)值計(jì)算的實(shí)際問題，提高解題效率，提高用現(xiàn)代工具解決實(shí)際問題的能力； （3）發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題中的邊角關(guān)系，并運(yùn)用三角函數(shù)定義解決有關(guān)計(jì)算問題，在解決簡單的應(yīng)用題基礎(chǔ)上體會(huì)三角函數(shù)方法獨(dú)特意義，感受三角函數(shù)值隨角度變化而連續(xù)變化的過程． 教法及學(xué)法指導(dǎo)： 本節(jié)應(yīng)用五環(huán)教學(xué)模式：創(chuàng)設(shè)情境—感知探究—合作交流—拓展應(yīng)用—總結(jié)升華．通過第1節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)會(huì)用計(jì)算器求出銳角的三角函數(shù)值了，本節(jié)課是要由三角函數(shù)值利用計(jì)算器求出銳角的大小，并學(xué)會(huì)解決實(shí)際生活中的相關(guān)問題．對于計(jì)算器多數(shù)學(xué)生很聰明不用交就會(huì)，因而就由他們?nèi)ソ滩糠诌€不會(huì)的同學(xué)，主要以學(xué)生的自主活動(dòng)、主動(dòng)探究為主． 根據(jù)新課程要求，在實(shí)際教學(xué)中，盡可能采取學(xué)生自主探索、合作交流，通過分析交流，總結(jié)規(guī)律及建立數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗(yàn)． 課前準(zhǔn)備： 教師準(zhǔn)備：課件、計(jì)算器 學(xué)生準(zhǔn)備：計(jì)算器、預(yù)習(xí)新課 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情境 師：大家聽說過“扛著竹竿過城門”的故事嗎？ 生：有一個(gè)魯國人扛著一根長長的竹竿進(jìn)城去賣．他橫著、豎著比劃了半天，就是進(jìn)不了城門．有個(gè)老頭對他說：將竹竿從中間截成兩段不就可以毫不費(fèi)力地進(jìn)城了？于是他找來鋸子，將竹竿鋸成兩段，然后進(jìn)了城門．可是，這個(gè)賣竹竿的人在城里轉(zhuǎn)了一天，竹竿就是賣不出去．因?yàn)樗麤]想到，鋸短的竹竿雖然是扛進(jìn)了城，但是由于其用途不大，無人問津，所以幾乎成了廢品． 生：這則寓言既諷刺了魯國人的愚蠢可笑，更嘲笑了那個(gè)自以為見多識廣、喜歡亂出主意、好為人師的老頭．正是類似這老頭的一些人的瞎指點(diǎn)，使許多好事都辦糟了． 師：如果是你的話，你會(huì)怎樣建議這個(gè)人？ 生：將竹竿按行進(jìn)的方向進(jìn)去就可以了． A B C 6 8 10 生：如果竹竿不是很長，沿著對角線應(yīng)該也可以的． 師：如果城門寬8米，高6米的話，竹竿有9米的話，可不可以按你的建議進(jìn)去？ 生：可以．如圖，根據(jù)勾股定理，可得對角線AB長為10米，只要不超過10米就可以進(jìn)去了． 師：請根據(jù)三角函數(shù)的定義，分別說出的正切值、正弦值、余弦值． 生：，，． 師：那么是多少度呢？要解決這個(gè)問題，我們可以借助科學(xué)計(jì)算器． 【設(shè)計(jì)意圖】從講笑話引入，讓學(xué)生感到可笑的同時(shí)，切入直角三角形復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義，并求銳角的三角函數(shù)值，設(shè)置問題問學(xué)生能否知道銳角的值，對于這個(gè)問題待學(xué)完用科學(xué)計(jì)算器求銳角時(shí)再來解決，讓學(xué)生帶著不會(huì)的問題來學(xué)習(xí)會(huì)更有主動(dòng)性． 【實(shí)際效果】學(xué)生都在笑話這個(gè)魯人，從中悟出了對待問題解決的思路很是關(guān)鍵．對于三角函數(shù)的定義學(xué)生很明確，由于起點(diǎn)較低，所以學(xué)生很容易入手．對于利用計(jì)算器求的度數(shù)，有些預(yù)習(xí)的學(xué)生能夠說出，也可以用這些學(xué)生來講解，調(diào)動(dòng)大家的積極性． 二、感知探究 1．探究利用計(jì)算器由三角函數(shù)值求角度 師：請大家根據(jù)課本第19-20頁和計(jì)算器說明書，求出的度數(shù)，看結(jié)果是否和課本上的一致？ 生：學(xué)生根據(jù)課本和說明書，自己探究如何操作． 按鍵順序 顯示結(jié)果 sinA=0.9816 sin-10.9816=78.99184039 cosA=0.8607 cos-10.8607=30.60473007 tanA=0.1890 tan-10.1890=10.70265749 tanA=56.78 tan-156.78=88.99102049 說 明 顯示結(jié)果是以“度”為單位的．再按 鍵即可顯示以“度、分、秒”為單位的結(jié)果．以后在用計(jì)算器求角度時(shí)如果沒有特別說明，結(jié)果精確到1″即可． 師：請大家總結(jié)已知三角函數(shù)值求銳角時(shí)，按鍵的大致順序？ 生：第一步：按“Shift”鍵或“2ndf”鍵； 第二步：按相應(yīng)的三角函數(shù)鍵，即按下“sin,cos或tan”鍵； 第三步：按已知的三角函數(shù)值； 第四步：按“=”鍵得到相應(yīng)角度； 第五步：按 鍵即可顯示以“度、分、秒”為單位的結(jié)果． 【設(shè)計(jì)意圖】相信學(xué)生完全可以通過自學(xué)、互助，求銳角的度數(shù)，因而由學(xué)生講解調(diào)動(dòng)其主動(dòng)性，尤其讓那些動(dòng)手能力強(qiáng)的來做這項(xiàng)工作．然后再總結(jié)利用計(jì)算器由三角函數(shù)值求銳角的按鍵順序，讓學(xué)生學(xué)會(huì)及時(shí)總結(jié)規(guī)律，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)與應(yīng)用做好基礎(chǔ)． 【實(shí)際效果】學(xué)生對動(dòng)手操作很感興趣，很快能求出相應(yīng)的銳角的度數(shù)，但還欠缺總結(jié)歸納能力．由于部分學(xué)生的計(jì)算器型號不一樣，更大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的主動(dòng)性，通過互助和閱讀說明書，也學(xué)會(huì)了利用計(jì)算器求角的度數(shù)． 2．實(shí)踐操作利用計(jì)算器由三角函數(shù)值求角度 師：根據(jù)下列條件求銳角的大?。海ㄕn本第22頁第1題） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 生：（1）；（2）；（3）；（4）． 生：（5）；（6）．我用完計(jì)算器才發(fā)現(xiàn)是特殊角． 師：大家再回頭算一下，剛開始我們提出的問題：若，的度數(shù)？ 生：． 【設(shè)計(jì)意圖】鞏固訓(xùn)練學(xué)生能夠通過計(jì)算器熟練地由三角函數(shù)值求銳角的度數(shù)，后面兩道題是特殊角的三角函數(shù)值，讓學(xué)生感受到這些值是不需要使用計(jì)算器，直接口算即可．最后，解決上課開始提出的問題． 【實(shí)際效果】學(xué)生基本上都能夠準(zhǔn)確熟練地操作計(jì)算器，但部分學(xué)生對轉(zhuǎn)化為度、分、秒的形式還沒有掌握．后面兩題利用計(jì)算器計(jì)算完之后才發(fā)現(xiàn)是特殊角． 3．解決實(shí)際應(yīng)用題 【例1】如圖，工件上有一V形槽，測得它的上口寬20 mm，深19.2mm，求V形角(∠ACB)的大??？(結(jié)果精確到1) 師：結(jié)合圖形分析已知條件，并說出如何求角大小？ 生：由題意可得，是等腰三角形，作，可得． 生：在中，，，因而要選擇來求的大小，再乘以2就可以求出V形角(∠ACB)的大小． 生：解：∵tan∠ACD=≈0.5208， ∴∠ACD≈27.5， ∴∠ACB＝2∠ACD≈227.5＝55． 生：我也可以利用勾股定理求出的長，利用求出的大小，再乘以2也可以求出V形角(∠ACB)的大?。? 生：可以，但是不如上一種方法簡單，繞著有點(diǎn)遠(yuǎn)了，能夠用己知的兩邊選擇相應(yīng)的三角函數(shù)求出角就可以了． 【設(shè)計(jì)意圖】這是一道實(shí)際應(yīng)用問題，想知道V形角的大小，而直接測量存在一定的困難， 因而通過測量長度通過三角函數(shù)值來求角的大小，是很實(shí)用的一種方法，要讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值． 【實(shí)際效果】由于給出了示意圖，學(xué)生很容易找到直角三角形，并利用三角函數(shù)值去求角的度數(shù)，除了課本上的方法，學(xué)生還給出了不同的解法，把問題交給學(xué)生會(huì)得到更多的方法，由學(xué)生分析每個(gè)方法的優(yōu)劣． 【例2】如圖，一名患者體內(nèi)某重要器官后面有一腫瘤．在接受放射性治療時(shí)，為了最大限度地保證療效，并且防止傷害器官，射線必須從側(cè)面照射腫瘤．已知腫瘤在皮下6.3 cm的A處，射線從腫瘤右側(cè)9.8cm的B處進(jìn)入身體，求射線與皮膚的夾角？ 師：這是作為醫(yī)生在開刀之前必須要掌握的角度，請大家務(wù)必仔細(xì)認(rèn)真，事關(guān)人命！ 生：根據(jù)圖示很簡單，知道：在Rt△ABC中，AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm，選擇tanB=，即可求出射線與皮膚的夾角． 解：如圖，在Rt△ABC中， AC＝6.3 cm，BC=9.8 cm， ∴tanB=≈0.6429． ∴∠B≈3244′13″． 因此，射線與皮膚的夾角約為3244′13″． 生：平時(shí)常聽老師說：“生活處處有數(shù)學(xué)”，通過這道題，我的感觸最深了，“數(shù)學(xué)不僅就在我身邊，還與我的生命息息相關(guān)”！ 【設(shè)計(jì)意圖】這道實(shí)際應(yīng)用題更加體現(xiàn)了本節(jié)課知識的實(shí)用性，確實(shí)需要知道角度，而且角度又不易測量，可以充分使學(xué)生感受到建立直角三角形（數(shù)學(xué)模型）的重要性、計(jì)算的重要性和學(xué)習(xí)“直角三角形邊角關(guān)系”的重要性． 【實(shí)際效果】學(xué)生對這個(gè)問題感到很新奇，對于所學(xué)基本的數(shù)學(xué)知識來解決神秘的醫(yī)學(xué)問題特高興，同時(shí)也讓學(xué)生課下上網(wǎng)多了解這方面的知識． 三、交流提高 1．讓學(xué)生以小組為單位交流例題心得． 師：通過這兩道實(shí)際應(yīng)用題，大家認(rèn)為如何將生活中的數(shù)學(xué)問題，用所學(xué)知識來解決？ 生：首先要將實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題，即構(gòu)造直角三角形． 生：然后根據(jù)條件邊的情況，確定要用三個(gè)三角函數(shù)中的哪一個(gè)．然后將數(shù)據(jù)代入，利用計(jì)算器求出即可． 生：如果是特殊角的三角函數(shù)值，直接寫出特殊角，就不用計(jì)算器了． 2．歸納解直角三角形的基本理論依據(jù) 師：在Rt△ABC中，，所對的邊分別為．請大家總結(jié)一下邊角之間有哪些關(guān)系？ 生：邊的關(guān)系：(勾股定理)； 生：角的關(guān)系：； 生：邊角關(guān)系：，， ，，， ． 【設(shè)計(jì)意圖】總結(jié)這些邊角關(guān)系，為解直角三角形奠定基礎(chǔ)，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生系統(tǒng)全面了解直角三角形的邊角關(guān)系，最終解決綜合應(yīng)用題． 【實(shí)際效果】對于邊角關(guān)系，學(xué)生只想到了剛剛學(xué)到的三角函數(shù)關(guān)系，把最基礎(chǔ)的邊的關(guān)系和角的關(guān)系給漏掉了，經(jīng)總結(jié)后學(xué)生的知識得到了系統(tǒng)歸納． 四、拓展應(yīng)用 師：同學(xué)們對公園的滑梯很熟悉吧？如圖是某公園新增設(shè)的一臺滑梯，該滑梯高度米，滑梯米．若規(guī)定不超過時(shí)屬于安全滑梯，請說明這架滑梯是否符合要求． 生：在中，己知， ，選擇三角函數(shù)正弦求出的度數(shù)，只要不超過就安全了． 解：在中，，， ∴sinB=， ∴∠B≈3145′20″>， ∴這架滑梯不符號要求． 生：由“直角三角形中所對的直角邊生于斜邊的一半”可得 當(dāng)=時(shí)，滑梯高度米，滑梯應(yīng)該為4米， 為了安全，不超過，所以滑梯<4米， ∴這架滑梯不符號要求． 師：那請大家思考：若要符合要求，滑梯應(yīng)該再加長多少？ 生：由第二種方法，可知至少要加長米． 【設(shè)計(jì)意圖】這是一道距離學(xué)生很近也很熟悉的實(shí)際應(yīng)用題，也涉及到安全問題，讓學(xué)生用所學(xué)知識來檢驗(yàn)，是“學(xué)有用的數(shù)學(xué)”最好的體現(xiàn)． 【實(shí)際效果】學(xué)生很感興趣，有的說這個(gè)周末就去公園去檢測一下里面的滑梯是否安全，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性． 五、總結(jié)升華 生：我看課本自己就學(xué)會(huì)了利用計(jì)算器由三角函數(shù)值求銳角的度數(shù)． 生：我是通過看說明書學(xué)會(huì)的． 生：對于一些特殊角的三角函數(shù)值，我們還是多記點(diǎn)，不需要借助計(jì)算器了． 生：通過例2，我深切感到了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值． 生：我們系統(tǒng)地總結(jié)了三角形的邊角關(guān)系，為解決應(yīng)用題奠定了基礎(chǔ)． …… 【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生小組交流，總結(jié)本節(jié)課的收獲與感想，教師適當(dāng)點(diǎn)撥與肯定．鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)表見解，讓學(xué)生不僅總結(jié)知識，更重要的是要通過本節(jié)課總結(jié)情感體驗(yàn)上的收獲，進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，對學(xué)生的觸動(dòng)很大． 【實(shí)際效果】學(xué)生在這一環(huán)節(jié)能大膽發(fā)言，暢談自己的收獲與疑問，臉上露出了獲取知識的喜悅．學(xué)生通過回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，體會(huì)到“學(xué)有用的數(shù)學(xué)，學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”，越發(fā)感到數(shù)學(xué)的親切！ 六、當(dāng)堂反饋 1．根據(jù)下列條件求銳角的大小： （1）；（2）；（3）． 【考查知識點(diǎn)】利用計(jì)算器由三角函數(shù)值求銳角 2．在中，，均為銳角，且有，試判斷的形狀． 【考查知識點(diǎn)】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值 3．一輛汽車沿著一山坡行駛了1000米，其鉛直高度上升了50米．求山坡與水平面所成銳角的大?。? 【考查知識點(diǎn)】由正弦值求角度 4.．一梯子斜靠在一面墻上．已知梯長4m，梯子位于地面上的一端離墻壁2.5 m，求梯子與地面所成的銳角？ 【考查知識點(diǎn)】構(gòu)造直角三角形、由余弦值求角度 七、作業(yè)設(shè)置 1．【基礎(chǔ)】課本第22頁“知識技能”第1題． 【考查知識點(diǎn)】利用計(jì)算器由三角函數(shù)值求銳角 2．【提升】課本第22頁“問題解決”第3題． 【考查知識點(diǎn)】比例尺、利用計(jì)算器由三角函數(shù)值求銳角 3．【拓展】課本第22頁“聯(lián)系拓廣”第4題． 【考查知識點(diǎn)】利用計(jì)算器由三角函數(shù)值求銳角、探究規(guī)律 4．【鏈接中考】（2012濟(jì)寧）在中，若，滿足，則 ． 【考查知識點(diǎn)】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值 板書設(shè)計(jì)： 1.3 三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算（2） 一、按鍵的大致順序： 二、典例分析： 例1 例2 教學(xué)反思： 本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)很多符合學(xué)生實(shí)際的問題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出銳角三角函數(shù)模型的過程，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)用意識及分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力及轉(zhuǎn)化思想．將現(xiàn)代信息技術(shù)作為改變教師教學(xué)方式及學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的重要手段，鼓勵(lì)學(xué)生用計(jì)算器完成復(fù)雜的計(jì)算，進(jìn)行探索規(guī)律的活動(dòng)，這樣既豐富了學(xué)生的感性認(rèn)識，又滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，極大地提高了課堂效率，使多媒體技術(shù)真正成為感性認(rèn)識與理性認(rèn)識的橋梁． 注意改進(jìn)的方面：為了滿足不同層次同學(xué)們的需要，布置作業(yè)時(shí)采用必做題與選做題相結(jié)合的方法，對成績一般的同學(xué)只需完成必做題即可，而對學(xué)有余力的同學(xué)則要求必須同時(shí)完成必做題和選做題．相信學(xué)生并為學(xué)生提供充分展示自己的機(jī)會(huì)．課堂上要把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和獲得學(xué)習(xí)能力放在教學(xué)首位，通過運(yùn)用各種啟發(fā)、激勵(lì)的語言，以及組織小組合作學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生形成積極主動(dòng)的求知態(tài)度． - 8 -