(全國(guó)通用)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第2節(jié) 兩直線的位置關(guān)系課件 文 新人教A

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1、第第2節(jié)節(jié) 兩直線的位置關(guān)系兩直線的位置關(guān)系 最新考綱 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直;2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo);3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會(huì)求兩條平行直線間的距離. 1.兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 對(duì)于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為k1,k2,則有l(wèi)1l2 .特別地,當(dāng)直線l1,l2的斜率都不存在時(shí),l1與l2 . (2)兩條直線垂直 如果兩條直線l1,l2斜率都存在,設(shè)為k1,k2,則l1l2 ,當(dāng)一條直線斜率為零,另一條直線斜率不存在時(shí),兩條直線 . 知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理 k1k2 平行 k1 k2

2、1 垂直 2.兩直線相交 直線 l1:A1xB1yC10 和 l2:A2xB2yC20 的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組A1xB1yC10,A2xB2yC20的解一一對(duì)應(yīng). 相交方程組有 ,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解; 平行方程組 ; 重合方程組有 . 唯一解 無(wú)解 無(wú)數(shù)個(gè)解 3.距離公式 (1)兩點(diǎn)間的距離公式 平面上任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式為|P1P2| . 特別地,原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離|OP| . (2)點(diǎn)到直線的距離公式 平面上任意一點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:AxByC0的距離d . (3)兩條平行線間的距離公式 一般地,兩條平行直線l1:

3、AxByC10,l2:AxByC20間的距離d . (x2x1)2(y2y1)2 x2y2 |Ax0By0C|A2B2 |C1C2|A2B2 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.直線系方程 (1)與直線AxByC0平行的直線系方程是AxBym0(mR且mC). (2)與直線AxByC0垂直的直線系方程是BxAyn0(nR). 2.在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí),首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在.若兩條直線都有斜率,可根據(jù)判定定理判斷,若直線無(wú)斜率,要單獨(dú)考慮. 3.在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式 d|C1C2|A2B2時(shí),一定要注意將兩方程中 x,y的系數(shù)分別化為相同的形式. 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)

4、(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí),一定有k1k2l1l2.( ) (2)如果兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積一定等于1.( ) (3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解,則兩直線相交.( ) (4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.( ) 解析 (1)兩直線l1,l2有可能重合. (2)如果l1l2,若l1的斜率k10,則l2的斜率不存在. 答案 (1) (2) (3) (4) 診診 斷斷 自自 測(cè)測(cè) 答案 C 解析 圓(x1)2y22 的圓心坐標(biāo)為(1,0),由 yx3 得 xy30,則圓心到直線的距離 d|103|12(1)2 2. 2.圓(x1)2y22

5、 的圓心到直線 yx3 的距離為( ) A.1 B.2 C. 2 D.2 2 3.(2018 高安期中)經(jīng)過(guò)拋物線y22x的焦點(diǎn)且平行于直線3x2y50的直線l的方程是( ) A.6x4y30 B.3x2y30 C.2x3y20 D.2x3y10 答案 A 解析 因?yàn)閽佄锞€ y22x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為12,0 ,直線 3x2y50 的斜率為32,所以所求直線 l 的方程為 y32x12,化為一般式,得 6x4y30. 4.直線2x2y10,xy20之間的距離是_. 答案 3 24 解析 先將2x2y10化為xy120, 則兩平行線間的距離為d21223 24. 5.(必修2P89練習(xí)2改編)已知P

6、(2,m),Q(m,4),且直線PQ垂直于直線xy10,則m_. 答案 1 解析 由題意知 m42m1,所以 m42m,所以 m1. 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 兩直線的平行與垂直兩直線的平行與垂直 【例1】 (一題多解)已知直線l1:ax2y60和直線l2:x(a1)ya210. (1)當(dāng)l1l2時(shí),求a的值; (2)當(dāng)l1l2時(shí),求a的值. 解 (1)法一 當(dāng)a1時(shí),l1:x2y60, l2:x0,l1不平行于l2; 當(dāng)a0時(shí),l1:y3,l2:xy10,l1不平行于l2; 當(dāng)a1且a0時(shí), 綜上可知,a1. 兩直線方程可化為 l1:ya2x3,l2:y11ax(a1), 由 l1l2可得a211a,3

7、(a1),解得 a1. (2)法一 當(dāng)a1時(shí),l1:x2y60, l2:x0,l1與l2不垂直,故a1不符合; 法二 l1l2,A1A2B1B20, 即a(a1)120,a(a21)160a2a20,a(a21)6a1. 當(dāng) a1 時(shí),l1:ya2x3,l2:y11ax(a1), 由 l1l2,得a211a1a23. 即 a2(a1)0,得 a23. 法二 由 l1l2知A1B2A2B10,A1C2A2C10, 規(guī)律方法 1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí),若要表示出直線的斜率,不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況,同時(shí)還要注意x,y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件. 2

8、.在判斷兩直線的平行、垂直時(shí),也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論. 【訓(xùn)練1】 (1)已知直線l過(guò)圓x2(y3)24的圓心,且與直線xy10垂直,則直線l的方程是( ) A.xy20 B.xy20 C.xy30 D.xy30 (2)設(shè)不同直線l1:2xmy10,l2:(m1)xy10.則“m2”是“l(fā)1l2”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 (1)圓x2(y3)24的圓心為點(diǎn)(0,3),又因?yàn)橹本€l與直線xy10垂直,所以直線l的斜率k1.由點(diǎn)斜式得直線l:y3x0,化簡(jiǎn)得xy30. (2)當(dāng)m2時(shí),代入兩直線方程中,易知兩

9、直線平行,即充分性成立. 但當(dāng)m1時(shí),兩直線重合,不符合要求, 故必要性成立,故選C. 答案 (1)D (2)C 當(dāng) l1l2時(shí),顯然 m0,從而有2mm1,解得 m2 或 m1, 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題 【例 2】 (1)(一題多解)已知直線 ykx2k1 與直線 y12x2 的交點(diǎn)位于第一象限,則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是_. (2)(一題多解)直線 l 過(guò)點(diǎn) P(1,2)且到點(diǎn) A(2,3)和點(diǎn) B(4,5)的距離相等,則直線 l 的方程為_(kāi). (若 2k10,即 k12,則兩直線平行) 交點(diǎn)坐標(biāo)為24k2k1,6k12k1.又交點(diǎn)位于第一象限, 24k2

10、k10,6k12k10,解得16k12. 解析 (1)法一 聯(lián)立方程ykx2k1,y12x2,解得x24k2k1,y6k12k1. 而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2), 表示這是一條過(guò)定點(diǎn)P(2,1),斜率為k的動(dòng)直線. 兩直線的交點(diǎn)在第一象限, 兩直線的交點(diǎn)必在線段AB上(不包括端點(diǎn)), 動(dòng)直線的斜率k需滿足kPAkkPB. kPA16,kPB12.16k12. 法二 如圖,已知直線 y12x2 與 x 軸、y 軸分別交于點(diǎn) A(4,0),B(0,2). (2)法一 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y2k(x1), 即kxyk20. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x1

11、,也符合題意. 由題意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21, 即|3k1|3k3|,k13. 直線 l 的方程為 y213(x1),即 x3y50. 即x3y50. 當(dāng)l過(guò)AB中點(diǎn)時(shí),AB的中點(diǎn)為(1,4). 直線l的方程為x1. 故所求直線l的方程為x3y50或x1. 答案 (1)16,12 (2)x3y50 或 x1 法二 當(dāng) ABl 時(shí),有 kkAB13,直線 l 的方程為 y213(x1), 規(guī)律方法 1.求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法 求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程. 2.利用距離公式應(yīng)注意:(1)點(diǎn)P(x0,y0)到直線x

12、a的距離d|x0a|,到直線yb的距離d|y0b|;(2)兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)分別化為相等. 【訓(xùn)練2】 (2018 合肥調(diào)研)設(shè)l1為曲線f(x)exx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的切線,直線l2的方程為2xy30,且l1l2,則直線l1與l2的距離為_(kāi). 答案 2 55 解析 由 f(x)exx, 得 f(x)ex1, 設(shè) l1與曲線 f(x)exx 相切的切點(diǎn)為(x1, y1),直線 l2的方程為 2xy30,且 l1l2,ex112,解得 x10,y11,則直線l1與 l2的距離即為切點(diǎn)到 l2的距離,即|2013|22(1)22 55. 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 對(duì)稱(chēng)問(wèn)題對(duì)

13、稱(chēng)問(wèn)題 【例3】 已知直線l:2x3y10,點(diǎn)A(1,2).求: (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A的坐標(biāo); (2)直線m:3x2y60關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)直線m的方程; (3)(一題多解)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1,2)對(duì)稱(chēng)的直線l的方程. 解 (1)設(shè) A(x,y),再由已知y2x1231,2x123y2210, 解得x3313,y413,A3313,413. (2)在直線m上取一點(diǎn),如M(2,0),則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在m上. 設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M(a,b), 又m經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3), 由兩點(diǎn)式得直線方程為9x46y1020. 設(shè) m 與 l 的交點(diǎn)為 N,則由2x3y10,3x2y60,得 N(

14、4,3). 則2a223b0210,b0a2231,解得 M613,3013. (3)法一 在l:2x3y10上任取兩點(diǎn), 如M(1,1),N(4,3), 則M,N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,N均在直線l上. 易知M(3,5),N(6,7),由兩點(diǎn)式可得l的方程為2x3y90. 法二 設(shè)P(x,y)為l上任意一點(diǎn), 則P(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(1,2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 P(2x,4y), P在直線l上,2(2x)3(4y)10, 即2x3y90. 規(guī)律方法 1.解決點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題要把握兩點(diǎn),點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng),則線段MN的中點(diǎn)在直線l上,直線l與直線MN垂直. 2.如果直線或點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,則

15、只需運(yùn)用中點(diǎn)公式就可解決問(wèn)題. 3.若直線l1,l2關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng),則有如下性質(zhì):(1)若直線l1與l2相交,則交點(diǎn)在直線l上;(2)若點(diǎn)B在直線l1上,則其關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B在直線l2上. 【訓(xùn)練3】 (一題多解)光線沿直線l1:x2y50射入,遇直線l:3x2y70后反射,求反射光線所在的直線方程. 反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2). 又取直線x2y50上一點(diǎn)P(5,0), 設(shè)P關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(x0,y0), 由 PPl 可知,kPP23y0 x05. 而 PP的中點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為x052,y02,又 Q 點(diǎn)在 l 上, 解 法一 由x2y50,3x2y70,得x1,y2. 根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x2y330. 法二 設(shè)直線x2y50上任意一點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(x,y), 則y0yx0 x23,又 PP的中點(diǎn) Qxx02,yy02在 l 上, 3xx022yy0270, 由y0 x0523,32(x05)y070.得x01713,y03213. 3x0522y0270. 代入方程x2y50中,化簡(jiǎn)得29x2y330, 所求反射光線所在的直線方程為29x2y330. 可得 P 點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為 x05x12y4213,y012x5y2813, 由y0yx0 x23,3xx02(yy0)70.

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