中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第26課時(shí)銳角三角函數(shù)與解直角三角形.doc

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教學(xué)資料參考范本 中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第26課時(shí)銳角三角函數(shù)與解直角三角形 撰寫(xiě)人：__________________ 時(shí) 間：__________________ 【精學(xué)】 考點(diǎn)一、銳角三角函數(shù) 1、如圖，在△ABC中，∠C=90 ①銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即 ②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即 ③銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即 ④銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即 2、銳角三角函數(shù)的概念 銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù) 3、一些特殊角的三角函數(shù)值 三角函數(shù) 0 30 45 60 90 sinα 0 1 cosα 1 0 tanα 0 1 不存在 cotα 不存在 1 0 4、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系 （1）互余關(guān)系 sinA=cos(90—A)，cosA=sin(90—A) tanA=cot(90—A)，cotA=tan(90—A) （2）平方關(guān)系 （3）倒數(shù)關(guān)系 tanAtan(90—A)=1 （4）弦切關(guān)系 tanA= 5、銳角三角函數(shù)的增減性 當(dāng)角度在0~90之間變化時(shí)， （1）正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。? （2）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅? （3）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。? （4）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅? 考點(diǎn)二、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理論依據(jù) 在Rt△ABC中，∠C=90，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c （1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理） （2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90 （3）邊角之間的關(guān)系： 【巧練】 題型一、銳角三角函數(shù)的概念 【例1】(20xx浙江麗水)如圖，點(diǎn)A為∠α邊上任意一點(diǎn)，作AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列用線段比表示的值，錯(cuò)誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】由圖可知∠α=∠ACD，所以cosα=cos∠ACD，∠α是RT△ABC、△BCD的內(nèi)角，∠ACD是RT△ACD的內(nèi)角，共有三種表示方法，故可做出判斷． 【解析】根據(jù)，所以選項(xiàng)A、B、D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)比斜；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊． 【方法規(guī)律技巧】在解直角三角形時(shí)，許多問(wèn)題中并不是直角三角形，而是要通過(guò)構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題．通常通過(guò)作三角形的高，構(gòu)造一個(gè)包含所求角的直角三角形，然后利用三角函數(shù)定義解決． 題型二、特殊角的三角函數(shù)值 【例2】（20xx?天津）sin60的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案． 【解答】解：sin60=． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確把握定義是解題關(guān)鍵． 題型三、解直角三角形 【例3】（20xx?懷化）在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，AC=6cm，則BC的長(zhǎng)度為（　?。? A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C 【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得BC和AB的比值，設(shè)出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵sinA==， ∴設(shè)BC=4x，AB=5x， 又∵AC2+BC2=AB2， ∴62+（4x）2=（5x）2， 解得：x=2或x=﹣2（舍）， 則BC=4x=8cm， 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)與勾股定理，正確理解三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵． 【方法規(guī)律技巧】根據(jù)題干描述可以畫(huà)出圖形，方便理解，最關(guān)鍵的是要明確邊角關(guān)系，以防出錯(cuò)，根據(jù)三角函數(shù)找到邊之間的數(shù)量關(guān)系在通過(guò)勾股定理列方程，是求邊的常用方法。 題型四、網(wǎng)格中的三角函數(shù)問(wèn)題 【例4】(20xx湖北襄陽(yáng))如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為( ) 【答案】B. 【解析】 試題分析：過(guò)C作CD⊥AB于D，BC＝2，AB＝3，S△ABC＝，解得：CD＝，又AC＝，所以，＝＝，故答案選B. 【點(diǎn)評(píng)】網(wǎng)格含有大量的隱含條件，充分發(fā)掘網(wǎng)格中的邊角條件，利用網(wǎng)格構(gòu)建直角三角形是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵。 【限時(shí)突破】 1.（20xx天津）的值等于（ ） （A） （B） （C） （D） 2．（20xx?蘭州）在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，BC=6，則AB=（　?。? A．4 B．6 C．8 D．10 3．（20xx?永州）下列式子錯(cuò)誤的是（　　） A．cos40=sin50 B．tan15?tan75=1 C．sin225+cos225=1 D．sin60=2sin30 4．（20xx?甘肅慶陽(yáng)）在△ABC中，若角A，B滿足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，則∠C的大小是（　?。? 　 A．45 B． 60 C． 75 D． 105 5．（20xx?福州）如圖，以圓O為圓心，半徑為1的弧交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，P是上一點(diǎn)（不與A，B重合），連接OP，設(shè)∠POB=α，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　?。? A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα） 6.（20xx黑龍江牡丹江）在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，則BC邊長(zhǎng)為（ ）． A．7 B．8 C．8或17 D．7或17 7.（20xx?四川巴中）如圖，將∠AOB放在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，則tan∠AOB=　　． 8．（20xx?甘肅天水）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90，AB=AD=2，CD=，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上．若點(diǎn)P到BD的距離為，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 ９．（20xx?湖北襄陽(yáng)）如圖，AD是△ABC的中線，tanB=，cosC=，AC=．求： （1）BC的長(zhǎng)； （2）sin∠ADC的值． 【答案解析】 1.【答案】B． 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得． 【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得=，故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵． 2．【答案】D .【分析】在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出sinA，將sinA的值與BC的長(zhǎng)代入求出AB的長(zhǎng)即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90，sinA==，BC=6， ∴AB===10， 故選D 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵． 3. 【答案】D 【分析】根據(jù)正弦和余弦的性質(zhì)以及正切、余切的性質(zhì)即可作出判斷． 【解答】解：A、sin40=sin（90﹣50）=cos50，式子正確； B、tan15?tan75=tan15?cot15=1，式子正確； C、sin225+cos225=1正確； D、sin60=，sin30=，則sin60=2sin30錯(cuò)誤． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互余兩個(gè)角的正弦和余弦之間的關(guān)系，以及同角之間的正切和余切之間的關(guān)系，理解性質(zhì)是關(guān)鍵． 4. 【答案】D 分析： 根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度數(shù)，繼而可求得∠C的度數(shù)． 解答： 解：由題意得，cosA=，tanB=1， 則∠A=30，∠B=45， 則∠C=180﹣30﹣45=105． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角 5. 【答案】C 【分析】過(guò)P作PQ⊥OB，交OB于點(diǎn)Q，在直角三角形OPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OQ與PQ，即可確定出P的坐標(biāo)． 【解答】解：過(guò)P作PQ⊥OB，交OB于點(diǎn)Q， 在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α， ∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα， 則P的坐標(biāo)為（cosα，sinα）， 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵． 6.【答案】D． 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值：cos45=,所以∠B=45，然后畫(huà)出圖形，分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論即可得解. 【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值：cos45=,所以∠B=45，然后畫(huà)出圖形，分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況， 如圖：①當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖1，作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于D，由∠B=45可知△ABD是等腰直角三角形，AB=12，∴AD=BD===12，∵AC=13，由勾股定理得CD=5，∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7； ②當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖2，作AD⊥BC交BC于D,由∠B=45可知△ABD是等腰直角三角形，AB=12，∴AD=BD===12，∵AC=13，由勾股定理得CD=5，∴BC=BD+CD=12+5=17；故BC的值有兩個(gè)7或17，選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在直角三角形特殊角的函數(shù)值，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，分類討論，屬中等題. 7.【答案】 分析： 先在圖中找出∠AOB所在的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出tan∠AOB的值． 解答： 解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB垂足為D， 如圖，在直角△ABD中，AD=1，OD=2， 則tan∠AOB==． 故答案為． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊． 8.分析： 首先作出AB、AD邊上的點(diǎn)P（點(diǎn)A）到BD的垂線段AE，即點(diǎn)P到BD的最長(zhǎng)距離，作出BC、CD的點(diǎn)P（點(diǎn)C）到BD的垂線段CF，即點(diǎn)P到BD的最長(zhǎng)距離，由已知計(jì)算出AE、CF的長(zhǎng)與比較得出答案． 解答： 解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于F， ∵∠BAD=∠ADC=90，AB=AD=2，CD=， ∴∠ABD=∠ADB=45， ∴∠CDF=90﹣∠ADB=45， ∵sin∠ABD=， ∴AE=AB?sin∠ABD=2?sin45 =2?=2＞， 所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為的點(diǎn)2個(gè)， 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形和點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是先求出各邊上點(diǎn)到BD的最大距離比較得出答案． ９.分析： （1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)cosC=，求出∠C=45，求出AE=CE=1，根據(jù)tanB=，求出BE的長(zhǎng)即可； （2）根據(jù)AD是△ABC的中線，求出BD的長(zhǎng)，得到DE的長(zhǎng)，得到答案． 解答： 解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E， ∵cosC=， ∴∠C=45， 在Rt△ACE中，CE=AC?cosC=1， ∴AE=CE=1， 在Rt△ABE中，tanB=，即=， ∴BE=3AE=3， ∴BC=BE+CE=4； （2）∵AD是△ABC的中線， ∴CD=BC=2， ∴DE=CD﹣CE=1， ∵AE⊥BC，DE=AE， ∴∠ADC=45， ∴sin∠ADC=． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是解直角三角形的知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意銳角三角函數(shù)的概念的正確應(yīng)用． 12 / 12