2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第九章 第7節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布列 理(含解析).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第九章 第7節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布列 理(含解析) 1.(xx陜西,12分) 在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1 000元,此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性,且互不影響,其具體情況如下表: 作物產(chǎn)量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市場價格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤,求X的分布列; (2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物,求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率. 解:(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”,B表示事件“作物市場價格為6元/kg”,由題設(shè)知P(A)=0.5,P(B)=0.4, 因?yàn)槔麧櫍疆a(chǎn)量市場價格-成本, 所以X所有可能的取值為 50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000, 30010-1 000=2 000,3 006-1 000=800. P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)(1-0.4)=0.3, P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2, 所以X的分布列為 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i=1,2,3), 由題意知C1,C2,C3相互獨(dú)立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3季的利潤均不少于2 000元的概率為 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=30.820.2=0.384, 所以,這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.512+0.384=0.896. 2.(xx新課標(biāo)全國Ⅰ,12分)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn),檢驗(yàn)方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn),若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn),若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn);其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn). 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立. (1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率; (2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn),對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 解:本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率、條件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等,意在考查考生的閱讀理解能力及運(yùn)用所學(xué)概率知識解決實(shí)際問題的能力. (1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2,這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A,依題意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1與A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2) =P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) =+ =. (2)X可能的取值為400,500,800,并且 P(X=400)=1--=,P(X=500)=, P(X=800)=. 所以X的分布列為 X 400 500 800 P EX=400+500+800=506.25. 3.(xx山東,12分)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果互相獨(dú)立. (1)分別求甲隊(duì)以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率; (2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1,則勝利方得3分、對方得0分;若比賽結(jié)果為3∶2,則勝利方得2分、對方得1分.求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 解:本題考查相互獨(dú)立事件的概率、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識,考查分類與整合思想,考查運(yùn)算求解能力,考查分析問題和解決問題的能力. (1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1,“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2,“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3, 由題意知,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立, 故P(A1)=3=, P(A2)=C2=, P(A3)=C22=. 所以,甲隊(duì)以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為,以3∶2勝利的概率為. (2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4, 由題意知,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立, 所以P(A4)=C22=. 由題意知,隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0,1,2,3, 根據(jù)事件的互斥性得 P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=, 又P(X=1)=P(A3)=, P(X=2)=P(A4)=, P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=, 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以EX=0+1+2+3=. 4.(xx湖南,12分)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn),一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米. (1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率; (2)從所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望. 解:本小題主要考查古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解,考查考生的閱讀理解能力、收集數(shù)據(jù)的能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識. (1)所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有CC=36種,選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種. 故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,它們恰好“相近”的概率為=. (2)先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列. 因?yàn)镻(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可. 記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k=1,2,3,4),則n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由P(X=k)=,得P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)==. 故所求的分布列為 Y 51 48 45 42 P 所求的數(shù)學(xué)期望為 E(Y)=51+48+45+42==46. 解析:∵P(X=0)==(1-p)2,∴p=,隨機(jī)變量X的可能值為0,1,2,3,因此P(X=0)=,P(X=1)=()2+()2=,P(X=2)=()22+()2=,P(X=3)=()2=,因此E(X)=1+2+3=. 答案: 5.(xx山東,12分)現(xiàn)有甲、乙兩個靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊. (1)求該射手恰好命中一次的概率; (2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX. 解:(1)記:“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C,“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D,由題意知P(B)=,P(C)=P(D)=,由于A=B +C+D, 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得 P(A)=P(B+C+D) =P(B)+P(C)+P(D) =P(B)P()P()+P()P(C)P()+P()P()P(D) =(1-)(1-)+(1-)(1-)+(1-)(1-) =. (2)根據(jù)題意,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5. 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得 P(X=0)=P( ) =[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] =(1-)(1-)(1-) =. P(X=1)=P(B)=P(B)P()P() =(1-)(1-)=. P(X=2)=P(C+D)=P(C)+P(D) =(1-)(1-)+(1-)(1-) =, P(X=3)=P(BC+BD)=P(BC)+P(BD) =(1-)+(1-)=, P(X=4)=P(CD)=(1-)=, P(X=5)=P(BCD)==. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以EX=0+1+2+3+4+5=. 6.(xx江蘇,10分)設(shè)ξ為隨機(jī)變量.從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條,當(dāng)兩條棱相交時,ξ=0;當(dāng)兩條棱平行時,ξ的值為兩條棱之間的距離;當(dāng)兩條棱異面時,ξ=1. (1)求概率P(ξ=0); (2)求ξ的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ). 解:(1)若兩條棱相交,則交點(diǎn)必為正方體8個頂點(diǎn)中的1個,過任意1個頂點(diǎn)恰有3條棱,所以共有8C對相交棱,因此P(ξ=0)===. (2)若兩條棱平行,則它們的距離為1或,其中距離為的共有6對, 故P(ξ=)==, 于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=, 所以隨機(jī)變量ξ的分布列是 ξ 0 1 P(ξ) 因此E(ξ)=1+=. 7.(2011新課標(biāo)全國,12分)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗(yàn),各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得到下面試驗(yàn)結(jié)果: A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 (1)分別估計(jì)用A配方,B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率; (2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位:元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y=從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,其利潤記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率) 解:(1)由試驗(yàn)結(jié)果知,用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為=0.3,所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3. 由試驗(yàn)結(jié)果知,用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為=0.42,所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42. (2)用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中,其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間[90,94),[94,102),[102,110]的頻率分別為0.04,0.54,0.42,因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 即X的分布列為 X -2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 X的數(shù)學(xué)期望EX=-20.04+20.54+40.42=2.68. 8.(xx山東,12分)某學(xué)校舉行知識競賽,第一輪選拔共設(shè)有A、B、C、D四個問題,規(guī)則如下: (1)每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分,答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分,答錯任一題減2分; (2)每回答一題,計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù),當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時,答題結(jié)束,淘汰出局;當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時,答題結(jié)束,進(jìn)入下一輪;當(dāng)答完四題,累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時,答題結(jié)束,淘汰出局; (3)每位參加者按問題A、B、C、D順序作答,直至答題結(jié)束.假設(shè)甲同學(xué)對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為,,,,且各題回答正確與否相互之間沒有影響. ①求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率; ②用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ. 解:設(shè)A,B,C,D分別為第一、二、三、四個問題. 用Mi(i=1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個問題回答正確, 用Ni(i=1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個問題回答錯誤. 則Mi與Ni是對立事件(i=1,2,3,4),由題意得 P(M1)=,P(M2)=,P(M3)=,P(M4)=, 所以P(N1)=,P(N2)=,P(N3)=,P(N4)=. (1)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件Q, 則Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3+M1M2N3M4+N1M2N3M4, 由于每題的答題結(jié)果相互獨(dú)立,因此 P(Q)=P(M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4) =P(M1M2M3)+P(N1M2M3M4)+P(M1N2M3M4)+P(M1M2N3M4)+P(N1M2N3M4) =P(M1)P(M2)P(M3)+P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)+P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)+P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)+P(N1)P(M2)P(N3)P(M4) =++++=. (2)由題意,隨機(jī)變量ξ的可能取值為:2,3,4. 由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立, 所以P(ξ=2)=P(N1N2)=P(N1)P(N2)=, P(ξ=3)=P(M1M2M3)+P(M1N2N3) =P(M1)P(M2)P(M3)+P(M1)P(N2)P(N3) =+ =. P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3) =1--=. 因此隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 2 3 4 P 所以Eξ=2+3+4=.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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