人教高中數(shù)學(xué)必修2 平面與平面垂直的判定2-3-2

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1、23.2平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定 一、閱讀教材P6769，回答：1從一條直線出發(fā)的兩個(gè)所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做 ，這兩個(gè)半平面叫做棱為l，面分別為、的二面角記作：.2在二面角l的棱l上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作 ，則叫做二面角的平面角二面角的大小用其來(lái)度量其取值范圍為半平面棱二面角的面l垂直于棱l的射線OA和OB射線OA和OB構(gòu)成的AOB平面角0，1803平面角是的二面角叫做直二面角如果兩個(gè)相交平面所成的二面角是直二面角，就稱這兩個(gè)平面4二面垂直的判定平面角是直角判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條，則這兩個(gè)平面互相垂直直角互相垂直垂線二、解答下

2、列問(wèn)題1過(guò)平面外一點(diǎn)P，作與垂直的平面可以作出 個(gè)，所作的垂直于的平面有什么共同特點(diǎn)？無(wú)數(shù)都經(jīng)過(guò)過(guò)P與垂直的直線2直線l 平面，過(guò)l能否作出平面？若能作出，可作幾個(gè)？(1)l時(shí)，能作無(wú)數(shù)個(gè)(2)l與斜交時(shí)，只能作一個(gè)3已知空間四邊形ABCD中，ACAD，BCBD，且E是CD的中點(diǎn)，求證：(1)平面ABE平面BCD；(2)平面ABE平面ACD.解析如圖ACAD，BCBD，E是CD的中點(diǎn)AECD，BECD，CD平面ABE，CD平面BCD，CD平面ACD，平面ABE平面BCD，平面ABE平面ACD.本節(jié)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：二面角的概念和面面垂直的判定本節(jié)學(xué)習(xí)難點(diǎn)：二面角的找法綜合應(yīng)用1二面角的概念是平面幾何中

3、角的概念的擴(kuò)展和延伸，現(xiàn)將二者比較如下表.角二面角圖形定義從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形表示法由射線點(diǎn)(頂點(diǎn))射線構(gòu)成，表示為AOB由半平面線(棱)半平面構(gòu)成，表示為二面角a2.由定義可知，一個(gè)平面垂直于二面角l的棱l，且與兩個(gè)半平面的交線分別是射線OA、OB，O為垂足，則AOB就是二面角l的平面角二面角的平面角的大小與棱上一點(diǎn)位置的選取無(wú)關(guān)3計(jì)算二面角的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，其作法主要有：(1)利用二面角平面角的定義，即在棱上任取一點(diǎn)，然后分別在兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，則兩垂線所成的角為二面角的平面角(2)利用棱的垂面，即棱的垂面與兩個(gè)半平面的

4、交線所成的角是二面角的平面角4求二面角的思路是“一作、二證、三算”例1如圖所示，已知ABC中，ABC90，P為ABC所在平面外一點(diǎn)，PAPBPC.求證平面PAC平面ABC.分析設(shè)P在平面ABC內(nèi)射影為O，PAPBPC，OAOBOC，O為RtABC的外心，即AC中點(diǎn)證明取AC中點(diǎn)O，連接PO，OB.因?yàn)锳OOC，PAPC，所以POAC.因?yàn)锳BC90，所以O(shè)BOA.又PBPA，POPO，所以POB POA，所以POBPOA，即POOB.所以PO平面ABC.因?yàn)镻O平面PAC，所以平面PAC平面ABC.已知RtABC中，ABAC1，AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕將ABD折起，使BDC成直角求證

5、：(1)平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC；(2)BAC60.證明(1)如圖(1)，ADBC，折起后，ADBD，ADDC，AD平面BDC.平面ABD和平面ACD都經(jīng)過(guò)AD，平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC.例2在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn)，求證：(1)EG平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H；(3)A1O平面BDF；(4)平面BDF平面AA1C.(2)B1D1BD，且B1D1與BD分別為平面BDF外與平面BDF內(nèi)的直線，B1D1平面BDF，又由O1HAC1，OFAC1，O1HO

6、F，而OF平面BDF，O1H 平面BDF，O1H平面BDF，又B1D1交O1H于O1點(diǎn)，平面BDF平面B1D1H.(4)由(3)知，A1O平面BDF，而A1O在平面AA1C上，平面BDF平面AA1C.點(diǎn)評(píng)線線、線面、面面三者之間的關(guān)系如下所示：近幾年高考立體幾何題注重融推理與運(yùn)算于一體，論證中有運(yùn)算，運(yùn)算中有概念的準(zhǔn)確理解和定理的正確運(yùn)用，推理與運(yùn)算交互為用，相輔相成本題第(3)問(wèn)就是一典型范例.例3三棱錐ABCD中，ABBCCDDAa，對(duì)角線ACa，BD a，求二面角ABDC的大小分析據(jù)二面角的平面角定義，應(yīng)在兩個(gè)面ABD與BCD內(nèi)過(guò)棱BD上一點(diǎn)作棱BD的垂線，據(jù)題設(shè)條件ABAD，BCCD，

7、只要取BD中點(diǎn)O，即可得到垂線，然后通過(guò)解三角形求出角的大小解析取BD的中點(diǎn)為O，分別連AO、COABAD，BCCDAOBD，COBDAOC為二面角ABDC的平面角OA2OC2AC2AOC90即二面角ABDC的大小為90.總結(jié)評(píng)述：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角此題是利用二面角的平面角的定義作出AOC為二面角ABDC的平面角，通過(guò)解AOC所在的三角形求得AOC，其解題過(guò)程為：作AOC證AOC是二面角的平面角計(jì)算AOC，簡(jiǎn)記為“作、證、算”平面P內(nèi)有一個(gè)圓，直徑為AB，過(guò)A作SA平面P，C為上任意一點(diǎn)，連結(jié)SB、SC，(1)求證：平面SAC平面SBC；(2)若A在SB、SC上的射影分別

8、為E、F，求證：AEF為二面角CSBA的平面角解析(1)SA平面P，BC平面P，SABC.又AB為圓的直徑，故BCAC，因此BC平面SAC，可得平面SAC平面SBC.(2)BC平面SAC，AF平面SAC，BCAF，又AFSC，SCBCC，AF平面SBC，AFSB.又AESB，SB平面AEF.AEF為二面角CSBA的平面角例4如圖：一山坡的坡面與水平面成30的二面角，坡面上有一直道AB，它和坡腳的水平線成30的角，沿這山路行走20米后升高了多少米？解析如圖，作BH水平面，垂足為H，過(guò)H作HC坡腳線，垂足為C，連BC，則BAC30，由BHAC，HCAC知，AC平面BHC，從而BCACBCH為坡面與

9、水平面所成二面角的平面角BCH30在RtABC中和RtBCH中，AB20BC10，BH5(米)，答：升高了5米例5如圖，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作PA平面ABCD，設(shè)PAABa，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小分析由CDAB可知，CD平面PAB，設(shè)平面PCD平面PABl，則CDl，ABl，故只須在平面PAB內(nèi)過(guò)P作PQAB，則PQ為二面角的棱，由PA平面ABCD知PAAB，又ABAD，AB平面PAD，即知PQ平面PAD，APD為二面角的平面角解析過(guò)P作PQAB，ABCD，CDPQPQ為平面PCD與平面PAD所成二面角的棱，PA平面ABCD，PAAB，又ABAD，AB平面PAD，又PQA

10、B，PQ平面PAD，APD為二面角DPQA的平面角ADABPA，PADRt，APD45，即平面PAB與平面PCD所成二面角大小為45.總結(jié)評(píng)述：此題易證AB平面APD，PQAB，PQ平面APD.PA與PD是垂直于二面角的棱PQ的平面與二面角的兩個(gè)面PAB和PDC的交線，這兩條交線所成的角，就是二面角的平面角也就是說(shuō)，作一個(gè)平面與二面角的棱垂直，這個(gè)平面與二面角的兩個(gè)面的兩條交線所成的角為二面角的平面角或其補(bǔ)角解法探究：如下圖將原圖形補(bǔ)成正方體ABCDPQRS，那么本例的解題途徑能更簡(jiǎn)捷地得到，這種補(bǔ)形法是解決空間問(wèn)題的一種重要方法例6二面角l與a滿足平面平面，平面平面，且兩二面角大小分別為1和

11、2，則1和2的關(guān)系為_錯(cuò)解在如圖(1)位置時(shí)，1與2互補(bǔ)；在如圖(2)位置時(shí)，1與2相等，故填12或1與2互補(bǔ)辨析將平面幾何中的命題(“如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”)錯(cuò)誤類比到立體幾何中，事實(shí)上，它在立體幾何中是不成立的滿足條件的平面位置關(guān)系還有其它情形如圖(3)，只要直線a平面，且平面平面，過(guò)a任作一個(gè)平面均適合條件，由于二面角a的大小可隨意改變，因此，滿足題設(shè)條件的兩個(gè)二面角的平面角的大小關(guān)系是不確定的正解1與2的大小關(guān)系不能確定只要直線a平面，且直線l平面，過(guò)a任作一個(gè)平面均適合條件，由于二面角a的大小可隨意改變，因此，滿足題設(shè)條件的兩個(gè)二面角的平面

12、角的大小關(guān)系是不確定的一、選擇題1二面角是指()A一個(gè)平面繞這個(gè)平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)所組成的圖形B一個(gè)半平面與另一個(gè)半平面組成的圖形C從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖形D兩個(gè)相交平面組成的圖形答案C2如圖，已知PA矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直的平面有()A2對(duì)B3對(duì)C4對(duì) D5對(duì)答案D解析平面PAD和平面AC、平面PAB和平面AC、平面PAD和平面PAB、平面PAD和平面PDC、平面PAB和平面PBC，故選D.二、填空題3下列四個(gè)命題中，正確的命題為_(填序號(hào))，則，則，則，則答案三、解答題4在正方體ABCDA1B1C1D1中，求證：平面ACD1平面BDD1B1.解析BB1平面ABCD，BB1AC，又ABCD為正方形，BDAC，AC平面BDD1B1又AC平面AD1C，平面AD1C平面BDD1B1.5(09江蘇文)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1DB1C.求證：(1)EF平面ABC；(2)平面A1FD平面BB1C1C.解析(1)E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點(diǎn)，EFBC，又EF 面ABC，BC面ABC，EF平面ABC.(2)直三棱柱ABCA1B1C1，BB1平面A1B1C1，BB1A1D，又A1DB1C，A1D平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，平面A1FD平面BB1C1C.