傳感器與自動(dòng)檢測(cè)技術(shù).ppt
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,,,,,,,,隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的來(lái)源和性質(zhì)不同,所以處理的方法也不同。由于隨機(jī)誤差是由一系列隨機(jī)因素引起的,因而隨機(jī)變量可以用來(lái)表達(dá)隨機(jī)誤差的取值范圍及概率。若有一非負(fù)函數(shù),其對(duì)任意實(shí)數(shù)有分布函數(shù),,,,,稱,為,的概率分布密度函數(shù),,,為誤差在之間的概率,在測(cè)量系統(tǒng)中,若系統(tǒng)誤差已經(jīng)減小到可以忽略的程度后才可對(duì)隨機(jī)誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理。,,,,,,隨機(jī)誤差的正態(tài)分布,由概率論的中心極限定理可知:大量的、微小的及獨(dú)立的隨機(jī)變量之總和服從正態(tài)分布。大多數(shù)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布,其應(yīng)用范圍包括各種物理、機(jī)械、電氣、化學(xué)等特性分布例如:鋁合金板抗拉強(qiáng)度,電容器電容變化、噪聲發(fā)聲器輸出電壓但在實(shí)際中,各種非正態(tài)分布也很多,故對(duì)隨機(jī)誤差一般將其按下述方法給予描述。,,,,,,,1.隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律,,,實(shí)踐和理論證明,大量的隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布規(guī)律。正態(tài)分布的曲線如圖所示。圖中的橫坐標(biāo)表示隨機(jī)誤差,,縱坐標(biāo)為誤差的概率密度,。應(yīng)用概率論方法可導(dǎo)出,隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線,,σ特征量,,σ標(biāo)準(zhǔn)差,n為測(cè)量次數(shù),值得注意的是,通常所說(shuō)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布是從統(tǒng)計(jì)角度而言的,也就是針對(duì)測(cè)量次數(shù)極大而測(cè)量分辨率又極高的情況而言。,,,,,,,,,,,,,,真實(shí)值與算術(shù)平均值,設(shè)對(duì)某一物理量進(jìn)行直接多次測(cè)量,測(cè)量值分別為下x1,x2,x3,x4…,xn,各次測(cè)量值的隨機(jī)誤差為。將隨機(jī)誤差相加,,,,,兩邊同除n得,,,用代表測(cè)量列的算術(shù)平均值,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,根據(jù)隨機(jī)誤差的抵償特征,即,,,于是,,,可見(jiàn),當(dāng)測(cè)量次數(shù)很多時(shí),算術(shù)平均值趨于真實(shí)值,也就是說(shuō),算術(shù)平均值受隨機(jī)誤差影響比單次測(cè)量小。且測(cè)量次數(shù)越多,影響越小。因此可以用多次測(cè)量的算術(shù)平均值代替真實(shí)值,并稱為最可信數(shù)值。,,,,,,隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差,,,,,,,標(biāo)準(zhǔn)差σ定義為,,它是一定測(cè)量條件下隨機(jī)誤差最常用的估計(jì)值。在服從正態(tài)分布的情況下,隨機(jī)誤差落在(-σ,+σ)區(qū)間的概率為68.3%。區(qū)間(-σ,+σ)稱為置信區(qū)間,相應(yīng)的概率稱為置信概率。顯然,置信區(qū)間擴(kuò)大,則置信概率提高。置信區(qū)間取(-2σ,+2σ)、(-3σ,+3σ)時(shí),相應(yīng)的置信概率P(2σ)=95.4%,P(3σ)=99.7.,,,,,,,,,,,,,,如圖是不同σ值時(shí)的曲線。σ值越小,曲線陡且峰值高,說(shuō)明測(cè)量值的隨機(jī)誤差集中,小誤差占優(yōu)勢(shì),各測(cè)量值的分散性小,重復(fù)性好。反之,σ值越大,曲線較平坦,各測(cè)量值的分散性大,重復(fù)性差。,,,,不同σ的概率密度曲線,,,,,,,,,,,,定義3σ為極限誤差,其概率含義是在1000次測(cè)量中只有3次測(cè)量的誤差絕對(duì)值會(huì)超過(guò)3σ。由于在一般測(cè)量中次數(shù)很少超過(guò)幾十次,因此,可以認(rèn)為測(cè)量誤差超+-3σ出范圍的概率是很小的,故稱為極限誤差,一般可作為可疑值取舍的判定標(biāo)準(zhǔn)。,,,,,,,,,,代替誤差來(lái)估算有限次測(cè)量中的標(biāo)準(zhǔn)差,得到的結(jié)果就是單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差,用表示,它只是σ的一個(gè)估算值。由誤差理論可知單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算式為,,,,,,,,,,,,,,,這一公式稱為貝塞爾公式。,,,2)單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì),由于真值未知時(shí),隨機(jī)誤差不可求,可用各次測(cè)量值與算術(shù)平均值之差——剩余誤差,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中,常常采用去偏差并歸一化的前處理方法,即設(shè)標(biāo)準(zhǔn)單位利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行分析考察,如式下表給出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一些與的代表數(shù)值。,,,,,正態(tài)分布的概率密度和置信概率的數(shù)值表,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中,常常采用去偏差并歸一化的前處理方法,即設(shè)標(biāo)準(zhǔn)單位利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行分析考察,如式下表給出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一些與的代表數(shù)值。,,,,,正態(tài)分布的概率密度和置信概率的數(shù)值表,在研究隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí),不僅要知道隨機(jī)變量在哪個(gè)范圍內(nèi)取值,而且要知道在該范圍內(nèi)取值的概率,兩者是相互關(guān)連的。置信區(qū)間:定義為隨機(jī)變量取值的范圍,常用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤差的倍數(shù)來(lái)表示,即,其中為置信系數(shù)。置信概率:隨機(jī)變量在置信區(qū)間內(nèi)取值的概率,即置信水平:表示隨機(jī)變量在置信區(qū)間以外取值的概率,即,,,,,,,置信系數(shù)取不同典型值時(shí),正態(tài)分布的置信概率數(shù)值如表2.1所示。由此可知,置信系數(shù)越大,置信區(qū)間越寬,置信概率越大,隨機(jī)誤差的范圍也越大,對(duì)測(cè)量精度的要求越低。在實(shí)際測(cè)量中,如有95%的置信概率時(shí),其可靠性已經(jīng)足夠了,此時(shí)的置信區(qū)間是,置信水平為5%。(2)隨機(jī)誤差的非正態(tài)分布隨機(jī)誤差的概率分布有多種類型,除正態(tài)分布外,在計(jì)量和測(cè)量中經(jīng)常遇到的非正態(tài)分布有均勻分布、分布等。1)均勻分布均勻分布特點(diǎn)是:在某一區(qū)域內(nèi),隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率處處相等,而在該區(qū)域外隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為零。均勻分布的概率密度函數(shù)為:,,,式中——隨機(jī)誤差的極限值。均勻分布是一種常見(jiàn)的誤差分布,如圖2.4所示。例如,儀器刻度差引起的誤差,儀器最小分辨率限制引起的誤差,數(shù)字儀表的量化誤差(),數(shù)字計(jì)算中的舍入誤差等等。此外,對(duì)一些只知道誤差出現(xiàn)的大致范圍,而不知道其分布規(guī)律的誤差,在處理時(shí)常按均勻分布的誤差對(duì)待。,,,,,圖2.4均勻分布曲線,,,,,,,2)分布分布主要用來(lái)處理小樣本(即測(cè)量數(shù)據(jù)比較少)的測(cè)量數(shù)據(jù)。正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測(cè)量數(shù)據(jù),而對(duì)小樣本的測(cè)量數(shù)據(jù)通常采用分布理論來(lái)處理。分布的概率密度函數(shù)為:式中——的估計(jì)值;——測(cè)得值的平均值;N——測(cè)量次數(shù);——=N-1稱為自由度;——是伽馬函數(shù)。,,,,,,分布的概率密度曲線如下圖所示,它與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形相似,其特點(diǎn)在于分布與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值無(wú)關(guān),但與自由度N-1有關(guān)。當(dāng)N較大(大于30)時(shí),分布和正態(tài)分布的差異就很小了,當(dāng)時(shí),兩者就完全相同。,,,,,,圖2.5分布曲線,分布曲線,根據(jù)分布置信系數(shù)列表,當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)較少時(shí),由給定的置信概率P和自由度,可查表得出分布置信系數(shù),再根據(jù)小樣本數(shù)據(jù)的和值,可確定被測(cè)量真值的置信區(qū)間,即式中——小樣本數(shù)據(jù)均值的極限誤差或隨機(jī)不確定度。,,,,,,,,,(1)隨機(jī)誤差的表示方法由前面分析可知,在一定的置信概率P下,真值一定落在以測(cè)得值為中心,以誤差限為區(qū)間的一個(gè)范圍內(nèi),即式中由于所取置信概率不同,以及表示誤差的習(xí)慣差異,誤差有各種表示方法,但以下面兩種情況最為常見(jiàn)。,,,,,,1)標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差所對(duì)應(yīng)的置信度P=68.3%,置信系數(shù),即真值處于范圍內(nèi)的可信程度為68.3%。從正態(tài)分布曲線的幾何圖形上看,當(dāng)處正好是曲線的拐點(diǎn),也即當(dāng)以后,概率密度變化比較慢,這就是選用標(biāo)準(zhǔn)差作為誤差限的理由之一。2)極限偏差當(dāng)置信系數(shù)時(shí),置信度P=99.73%,故可以認(rèn)為真值落在范圍內(nèi)的概率已接近100%。因此,在工程測(cè)試中常以這個(gè)參數(shù)來(lái)表示測(cè)量精度,稱為極限誤差或最大誤差,用表示,即值得提醒的是,對(duì)于不同學(xué)科,不同測(cè)量對(duì)象和測(cè)量的目的而言,極限誤差所取的置信系數(shù)是不同的。例如,在某些與人身事故有直接關(guān)系的場(chǎng)合,;而在一般工程和貿(mào)易中,;在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,,,,,,,,,,,(2)真值的估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)偏差測(cè)量的主要任務(wù)是求得被測(cè)量的真值,前面介紹了真值是對(duì)同一檢測(cè)量在同樣條件下進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所取得的測(cè)量平均值。由于實(shí)際測(cè)量中的測(cè)量次數(shù)是有限的,所以測(cè)量平均值并不等于真值。那么,如何估計(jì)測(cè)量平均值的正態(tài)分布情況。當(dāng)每個(gè)測(cè)量結(jié)果按正態(tài)分布時(shí),一組測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值為:其期望值恰好就是真值,即由于也屬于正態(tài)分布,因此可以用的標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)表征測(cè)量結(jié)果的離散度。,,,,,,由其標(biāo)準(zhǔn)偏差為:此式表明,子樣平均值的方差并不等于母體方差,而只是它的N分之一。由這一結(jié)論可推論到等精度測(cè)量條件下,多批次測(cè)量(即分組多次測(cè)量)所獲得的平均值(也即分組平均值的平均值)要比單批次測(cè)量所獲得的結(jié)果精確,而且測(cè)量次數(shù)越多,越小,越向母體真值集中,即用作為的最佳估計(jì)值的離散度越小。然而,由于與成反比,隨著測(cè)量次數(shù)增加,值的減小逐漸不顯著了,故并非N越大越好。,,,,,,,,(3)標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)因?yàn)閿?shù)學(xué)平均值就是真值的無(wú)偏估計(jì),即當(dāng)時(shí),。為了求得標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì),需要先考慮殘差平方和S則S的期望值為:即,,,,,,,所以,方差的無(wú)偏估計(jì)為:無(wú)偏標(biāo)準(zhǔn)偏差為:將公式代入可得數(shù)據(jù)平均值的方差的無(wú)偏估計(jì)值,即平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)值為:應(yīng)當(dāng)注意的是,測(cè)量數(shù)據(jù)的方差為:它不是母體方差的無(wú)偏估計(jì)值。因?yàn)闊o(wú)偏方差的計(jì)算中沒(méi)有用真值,而用的是平均值,因此自由度減少了一個(gè)。,,,,,- 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