2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第41講 排列與組合練習(xí) 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第41講 排列與組合練習(xí) 新人教A版 [考情展望] 1.以實(shí)際問題為背景考查排列、組合的應(yīng)用,同時(shí)考查分類討論的思想.2.以選擇題或填空題的形式考查,或在解答題中和概率相結(jié)合進(jìn)行考查. 一、排列與排列數(shù) 1.排列 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 2.排列數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記作A. 二、組合與組合數(shù) 1.組合 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素組成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合. 2.組合數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),記作C. 三、排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì) 公式 (1)A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (2)C===(n,m∈N*,且m≤n).特別地C=1. 性質(zhì) (1)0!=1;(2)A=n!. (2)①C=C;②C=C+C. 解排列、組合應(yīng)用題的常見策略 (1)特殊元素優(yōu)先安排的策略; (2)合理分類與準(zhǔn)確分步的策略; (3)排列、組合混合問題先選后排的策略; (4)正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略; (5)相鄰問題捆綁處理的策略; (6)不相鄰問題插空處理的策略; (7)定序問題除法處理的策略; (8)分排問題直排處理的策略. 1.從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中,選出一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù),組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),這樣的三位數(shù)共有( ) A.9個(gè) B.24個(gè) C.36個(gè) D.54個(gè) 【解析】 選出符合題意的三個(gè)數(shù)字有CC種方法,這三個(gè)數(shù)可組成CCA=54個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù). 【答案】 D 2.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有( ) A.6種 B.12種 C.30種 D.36種 【解析】 從反面考慮:甲、乙所選的課程,共有CC種不同的選法,其中甲、乙所選的課程都相同的選法有C種. 故甲、乙所選的課程至少有1門不同有CC-C=30(種). 【答案】 C 3.A、B、C、D、E五人并排站成一排,如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰),那么不同的排法共有( ) A.24種 B.60種 C.90種 D.120種 【解析】 可先排C、D、E三人,共A種排法,剩余A、B兩人只有一種排法,由分步計(jì)數(shù)原理滿足條件的排法共A=60(種). 【答案】 B 4.某電視臺(tái)在直播xx年倫敦奧運(yùn)會(huì)時(shí),連續(xù)播放5個(gè)廣告,其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的奧運(yùn)宣傳廣告,要求最后播放的必須是奧運(yùn)宣傳廣告,且2個(gè)奧運(yùn)宣傳廣告不能連續(xù)播放則不同的播放方式有________種. 【解析】 3個(gè)商業(yè)廣告共有A種排法,奧運(yùn)廣告不連續(xù)播放,最后播放的必須是奧運(yùn)廣告有CA種排法. 故共有ACA=36(種). 【答案】 36 5.(xx大綱全國(guó)卷)從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng),2名二等獎(jiǎng),3名三等獎(jiǎng),則可能的決賽結(jié)果共有________種.(用數(shù)字作答) 【解析】 由題意知,所有可能的決賽結(jié)果有CCC=61 =60(種). 【答案】 60 6.(xx北京高考)將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀券連號(hào),那么不同的分法種數(shù)是________. 【解析】 先分組后用分配法求解,5張參觀券分為4組,其中2個(gè)連號(hào)的有4種分法,每一種分法中的排列方法有A種,因此共有不同的分法4A=424=96(種). 【答案】 96 考向一 [175] 排列應(yīng)用題 6個(gè)學(xué)生按下列要求站成一排,求各有多少種不同的站法? (1)甲不站排頭,乙不能站排尾; (2)甲、乙都不站排頭和排尾; (3)甲、乙、丙三人中任何兩人都不相鄰; (4)甲、乙都不與丙相鄰. 【思路點(diǎn)撥】 (1)按甲站的位置分類求解;(2)先排甲、乙的位置,再排其他學(xué)生;(3)不相鄰問題用插空法求解;(4)按丙站的位置分類求解. 【嘗試解答】 (1)分兩類:甲站排尾,有A種;甲站中間四個(gè)位置中的一個(gè),且乙不站排尾,有AAA種.由分類計(jì)數(shù)原理,共有A+AAA=504(種). (2)分兩步:首先將甲、乙站在中間四個(gè)位置中的兩個(gè),有A種;再站其余4人,有A種. 由分步計(jì)數(shù)原理,共有AA=288(種). (3)分兩步:先站其余3人,有A種;再將甲、乙、丙3人插入前后四個(gè)空當(dāng),有A種. 由分步計(jì)數(shù)原理,共有AA=144(種). (4)分三類:丙站首位,有AA種;丙站末位,有AA種;丙站中間四個(gè)位置中的一個(gè),有AAA種. 由分類計(jì)數(shù)原理,共有2AA+AAA=288(種). 規(guī)律方法1 1.對(duì)于有限制條件的排列問題,分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法,在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則,即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法. 2.對(duì)相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 用0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字排成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù),分別有多少個(gè)?(1)0不在個(gè)位;(2)1與2相鄰;(3)1與2不相鄰;(4)0與1之間恰有兩個(gè)數(shù);(5)1不在個(gè)位;(6)偶數(shù)數(shù)字從左向右從小到大排列. 【解】 (1)AA=480; (2)AAA=192; (3)AA-AAA=408; (4)AAA+AA=120; (5)A-2A+A=504; (6)A-A=60. 考向二 [176] 組合應(yīng)用題 男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名,選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法? (1)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員; (2)既要有隊(duì)長(zhǎng),又要有女運(yùn)動(dòng)員. 【思路點(diǎn)撥】 第(1)問可以用直接法或間接法求解.第(2)問根據(jù)有無(wú)女隊(duì)長(zhǎng)分類求解. 【嘗試解答】 (1)法一 至少有1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為 CC+CC+CC+CC=246(種). 法二 “至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解. 從10人中任選5人有C種選法,其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種. 所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法為C-C=246(種). (2)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),其他人選法任意,共有C種選法. 不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí),必選男隊(duì)長(zhǎng),共有C種選法.其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種,所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有C-C種選法,所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有C+C-C=191(種). 規(guī)律方法2 1.本題中第(1)小題,含“至少”條件,正面求解情況較多時(shí),可考慮用間接法.第(2)小題恰當(dāng)分類是關(guān)鍵. 2.組合問題常有以下兩類題型變化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再?gòu)氖O碌脑刂腥ミx取. (2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型:若直接法分類復(fù)雜時(shí),逆向思維,間接求解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 xx年中俄聯(lián)合軍演在中國(guó)青島海域舉行,在某一項(xiàng)演練中,中方參加演習(xí)的有5艘軍艦,4架飛機(jī);俄方有3艘軍艦,6架飛機(jī),若從中、俄兩方中各選出2個(gè)單位(1架飛機(jī)或一艘軍艦都作為一個(gè)單位,所有的軍艦兩兩不同,所有的飛機(jī)兩兩不同),且選出的四個(gè)單位中恰有一架飛機(jī)的不同選法共有( ) A.51種 B.224種 C.240種 D.336種 【解析】 由題意,可分類求解: 一類是一架飛機(jī)來自于中方CCC=60 一類是一架飛機(jī)來自于外方CCC=180, ∴CCC+CCC=60+180=240, 【答案】 C 考向三 [177] 排列組合的綜合應(yīng)用 (1)某工廠將甲、乙等五名新招聘員工分配到三個(gè)不同的車間,每個(gè)車間至少分配一名員工,且甲、乙兩名員工必須分到同一個(gè)車間,則不同分法的種數(shù)為________. (2)現(xiàn)需編制一個(gè)八位的序號(hào),規(guī)定如下:序號(hào)由4個(gè)數(shù)字和2個(gè)x、1個(gè)y、1個(gè)z組成;2個(gè)x不能連續(xù)出現(xiàn),且y在z的前面;數(shù)字在0、1、2、…、9之間任選,可重復(fù),且四個(gè)數(shù)字之積為8,則符合條件的不同的序號(hào)種數(shù)有( ) A.12 600 B.6 300 C.5 040 D.2 520 【思路點(diǎn)撥】 (1)分兩種情形求解:①甲、乙分到的車間不再分人;②甲、乙分到的車間再分一人. (2)首先積為8的只能是三個(gè)1和一個(gè)8或者是三個(gè)2和一個(gè)1或者一個(gè)4,一個(gè)2和兩個(gè)1,先把這四個(gè)數(shù)字排好,然后加上從8個(gè)位置選2個(gè)位置安排yz,最后插入兩個(gè)x,利用乘法原理即可得出答案. 【嘗試解答】 (1)若甲、乙分到的車間不再分人,則分法有CAC=18種;若甲、乙分到的車間再分一人,則分法有3AC=18種.所以滿足題意的分法共有18+18=36(種). (2)首先積為8的只能是三個(gè)1和一個(gè)8或者是3個(gè)2和一個(gè)1或者一個(gè)4和一個(gè)2和兩個(gè)1,先把這四個(gè)數(shù)字排好,有C+C+A=20(種), 然后排yz,四個(gè)數(shù)加上yz共六個(gè)位置,yz占兩個(gè),排法有C種, 最后在這六個(gè)數(shù)(或字母)形成的共7個(gè)空中插入x,有C種, 則符合條件的不同的序號(hào)種數(shù)有20CC=6 300. 【答案】 (1)36 (2)B 規(guī)律方法3 1.解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則:一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類;二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置). 2.不同元素的分配問題,往往是先分組再分配.在分組時(shí),通常有三種類型:(1)不均勻分組.(2)均勻分組.(3)部分均勻分組,注意各種分組類型中,不同分組方法的求法. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo),則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ) A.33 B.34 C.35 D.36 (2)從甲、乙等5名志愿者中選出4名,分別從事A,B,C,D四項(xiàng)不同的工作,每人承擔(dān)一項(xiàng),若甲、乙二人均不能從事A工作,則不同的工作分配方案共有( ) A.60種 B.72種 C.84種 D.96種 【解析】 (1)①若從集合B中取元素2時(shí),再?gòu)腃中任取一個(gè)元素,則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為CA. ②當(dāng)從集合B中取元素1,且從C中取元素1,則確定的不同點(diǎn)有A1=A. ③當(dāng)從B中取元素1,且從C中取出元素3或4,則確定的不同點(diǎn)有CA個(gè). ∴由分類計(jì)數(shù)原理,共確定不同的點(diǎn)有CA+A+CA=33個(gè). (2)根據(jù)題意,分兩種情況討論: ①甲、乙中只有1人被選中,需要從甲、乙中選出1人,擔(dān)任后三項(xiàng)工作中的1種,由其他三人擔(dān)任剩余的三項(xiàng)工作,有CCA=36種選派方案. ②甲、乙兩人都被選中,則在后三項(xiàng)工作中選出2項(xiàng),由甲、乙擔(dān)任,從其他三人中選出2人,擔(dān)任剩余的兩項(xiàng)工作,有CACA=36種選派方案, 綜上可得,共有36+36=72種不同的選派方案. 【答案】 (1)A (2)B 思想方法之二十三 解排列組合問題的妙招——“排除法” 解決排列組合應(yīng)用問題時(shí),一是要明確問題中是排列還是組合或排列組合混合問題;二是要講究一些基本策略和方法技巧. 對(duì)于“至少”“至多”型排列組合問題,若分類求解時(shí),情況較多,則可從所有方法中減去不滿足條件的方法,即正難則反問題用排除法解決. ————[1個(gè)示范例]————[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]———— 某學(xué)校星期一每班都排9節(jié)課,上午5節(jié)、下午4節(jié),若該校李老師在星期一這天要上3個(gè)班的課,每班1節(jié),且不能連上3節(jié)課(第5和第6節(jié)不算連上),那么李老師星期一這天課的排法共有( ) A.474種 B.77種 C.462種 D.79種 【解析】 首先求得不受限制時(shí),從9節(jié)課中任意安排3節(jié),有A=504種排法,其中上午連排3節(jié)的有3A=18種, 下午連排3節(jié)的有2A=12種, 則這位教師一天的課表的所有排法有504-18-12=474種. 學(xué)校計(jì)劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、理綜4科的專題講座,每科一節(jié)課,每節(jié)至少有一科,且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié),則不同的安排方法共有( ) A.36種 B.30種 C.24種 D.6種 【解析】 由于每科一節(jié)課,每節(jié)至少有一科,必須有兩科在同一節(jié), 先從4個(gè)中任選2個(gè)看作整體,然后做3個(gè)元素的全排列,共CA種方法, 再?gòu)闹信懦龜?shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形,共A種方法, 故總的方法種數(shù)為:CA-A=36-6=30 【答案】 B- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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