2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第26課時銳角三角函數(shù)與解直角三角形.doc

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2019-2020年中考數(shù)學(xué)精學(xué)巧練備考秘籍第5章圖形的性質(zhì)第26課時銳角三角函數(shù)與解直角三角形 【精學(xué)】 考點一、銳角三角函數(shù) 1、如圖，在△ABC中，∠C=90 ①銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即 ②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即 ③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即 ④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即 2、銳角三角函數(shù)的概念 銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù) 3、一些特殊角的三角函數(shù)值 三角函數(shù) 0 30 45 60 90 sinα 0 1 cosα 1 0 tanα 0 1 不存在 cotα 不存在 1 0 4、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系 （1）互余關(guān)系 sinA=cos(90—A)，cosA=sin(90—A) tanA=cot(90—A)，cotA=tan(90—A) （2）平方關(guān)系 （3）倒數(shù)關(guān)系 tanAtan(90—A)=1 （4）弦切關(guān)系 tanA= 5、銳角三角函數(shù)的增減性 當(dāng)角度在0~90之間變化時， （1）正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。? （2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅? （3）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。? （4）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大） 考點二、解直角三角形 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。 2、解直角三角形的理論依據(jù) 在Rt△ABC中，∠C=90，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c （1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理） （2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90 （3）邊角之間的關(guān)系： 【巧練】 題型一、銳角三角函數(shù)的概念 【例1】(xx浙江麗水)如圖，點A為∠α邊上任意一點，作AC⊥BC于點C，CD⊥AB于點D，下列用線段比表示的值，錯誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】由圖可知∠α=∠ACD，所以cosα=cos∠ACD，∠α是RT△ABC、△BCD的內(nèi)角，∠ACD是RT△ACD的內(nèi)角，共有三種表示方法，故可做出判斷． 【解析】根據(jù)，所以選項A、B、D正確，選項C錯誤． 故選C． 【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對比斜；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊． 【方法規(guī)律技巧】在解直角三角形時，許多問題中并不是直角三角形，而是要通過構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題．通常通過作三角形的高，構(gòu)造一個包含所求角的直角三角形，然后利用三角函數(shù)定義解決． 題型二、特殊角的三角函數(shù)值 【例2】（xx?天津）sin60的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案． 【解答】解：sin60=． 故選：C． 【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確把握定義是解題關(guān)鍵． 題型三、解直角三角形 【例3】（xx?懷化）在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，AC=6cm，則BC的長度為（　?。? A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C 【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得BC和AB的比值，設(shè)出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵sinA==， ∴設(shè)BC=4x，AB=5x， 又∵AC2+BC2=AB2， ∴62+（4x）2=（5x）2， 解得：x=2或x=﹣2（舍）， 則BC=4x=8cm， 故選：C． 【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)與勾股定理，正確理解三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵． 【方法規(guī)律技巧】根據(jù)題干描述可以畫出圖形，方便理解，最關(guān)鍵的是要明確邊角關(guān)系，以防出錯，根據(jù)三角函數(shù)找到邊之間的數(shù)量關(guān)系在通過勾股定理列方程，是求邊的常用方法。 題型四、網(wǎng)格中的三角函數(shù)問題 【例4】(xx湖北襄陽)如圖，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sinA的值為( ) 【答案】B. 【解析】 試題分析：過C作CD⊥AB于D，BC＝2，AB＝3，S△ABC＝，解得：CD＝，又AC＝，所以，＝＝，故答案選B. 【點評】網(wǎng)格含有大量的隱含條件，充分發(fā)掘網(wǎng)格中的邊角條件，利用網(wǎng)格構(gòu)建直角三角形是解答此類問題的關(guān)鍵。 【限時突破】 1.（xx天津）的值等于（ ） （A） （B） （C） （D） 2．（xx?蘭州）在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，BC=6，則AB=（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（xx?永州）下列式子錯誤的是（　?。? A．cos40=sin50 B．tan15?tan75=1 C．sin225+cos225=1 D．sin60=2sin30 4．（xx?甘肅慶陽）在△ABC中，若角A，B滿足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，則∠C的大小是（　?。? 　 A．45 B． 60 C． 75 D． 105 5．（xx?福州）如圖，以圓O為圓心，半徑為1的弧交坐標(biāo)軸于A，B兩點，P是上一點（不與A，B重合），連接OP，設(shè)∠POB=α，則點P的坐標(biāo)是（　?。? A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα） 6.（xx黑龍江牡丹江）在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，則BC邊長為（ ）． A．7 B．8 C．8或17 D．7或17 7.（xx?四川巴中）如圖，將∠AOB放在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，則tan∠AOB=　?。? 8．（xx?甘肅天水）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90，AB=AD=2，CD=，點P在四邊形ABCD的邊上．若點P到BD的距離為，則點P的個數(shù)為（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 ９．（xx?湖北襄陽）如圖，AD是△ABC的中線，tanB=，cosC=，AC=．求： （1）BC的長； （2）sin∠ADC的值． 【答案解析】 1.【答案】B． 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得． 【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得=，故選B． 【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵． 2．【答案】D .【分析】在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出sinA，將sinA的值與BC的長代入求出AB的長即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90，sinA==，BC=6， ∴AB===10， 故選D 【點評】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵． 3. 【答案】D 【分析】根據(jù)正弦和余弦的性質(zhì)以及正切、余切的性質(zhì)即可作出判斷． 【解答】解：A、sin40=sin（90﹣50）=cos50，式子正確； B、tan15?tan75=tan15?cot15=1，式子正確； C、sin225+cos225=1正確； D、sin60=，sin30=，則sin60=2sin30錯誤． 故選D． 【點評】本題考查了互余兩個角的正弦和余弦之間的關(guān)系，以及同角之間的正切和余切之間的關(guān)系，理解性質(zhì)是關(guān)鍵． 4. 【答案】D 分析： 根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度數(shù)，繼而可求得∠C的度數(shù)． 解答： 解：由題意得，cosA=，tanB=1， 則∠A=30，∠B=45， 則∠C=180﹣30﹣45=105． 故選D． 點評： 本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角 5. 【答案】C 【分析】過P作PQ⊥OB，交OB于點Q，在直角三角形OPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OQ與PQ，即可確定出P的坐標(biāo)． 【解答】解：過P作PQ⊥OB，交OB于點Q， 在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α， ∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα， 則P的坐標(biāo)為（cosα，sinα）， 故選C． 【點評】此題考查了解直角三角形，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵． 6.【答案】D． 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值：cos45=,所以∠B=45，然后畫出圖形，分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論即可得解. 【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值：cos45=,所以∠B=45，然后畫出圖形，分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況， 如圖：①當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，如圖1，作AD⊥BC交BC的延長線于D，由∠B=45可知△ABD是等腰直角三角形，AB=12，∴AD=BD===12，∵AC=13，由勾股定理得CD=5，∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7； ②當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖2，作AD⊥BC交BC于D,由∠B=45可知△ABD是等腰直角三角形，AB=12，∴AD=BD===12，∵AC=13，由勾股定理得CD=5，∴BC=BD+CD=12+5=17；故BC的值有兩個7或17，選D． 【點評】本題考查了在直角三角形特殊角的函數(shù)值，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，分類討論，屬中等題. 7.【答案】 分析： 先在圖中找出∠AOB所在的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出tan∠AOB的值． 解答： 解：過點A作AD⊥OB垂足為D， 如圖，在直角△ABD中，AD=1，OD=2， 則tan∠AOB==． 故答案為． 點評： 本題考查了銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對邊比鄰邊． 8.分析： 首先作出AB、AD邊上的點P（點A）到BD的垂線段AE，即點P到BD的最長距離，作出BC、CD的點P（點C）到BD的垂線段CF，即點P到BD的最長距離，由已知計算出AE、CF的長與比較得出答案． 解答： 解：過點A作AE⊥BD于E，過點C作CF⊥BD于F， ∵∠BAD=∠ADC=90，AB=AD=2，CD=， ∴∠ABD=∠ADB=45， ∴∠CDF=90﹣∠ADB=45， ∵sin∠ABD=， ∴AE=AB?sin∠ABD=2?sin45 =2?=2＞， 所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為的點2個， 故選A． 點評： 本題考查了解直角三角形和點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是先求出各邊上點到BD的最大距離比較得出答案． ９.分析： （1）過點A作AE⊥BC于點E，根據(jù)cosC=，求出∠C=45，求出AE=CE=1，根據(jù)tanB=，求出BE的長即可； （2）根據(jù)AD是△ABC的中線，求出BD的長，得到DE的長，得到答案． 解答： 解：過點A作AE⊥BC于點E， ∵cosC=， ∴∠C=45， 在Rt△ACE中，CE=AC?cosC=1， ∴AE=CE=1， 在Rt△ABE中，tanB=，即=， ∴BE=3AE=3， ∴BC=BE+CE=4； （2）∵AD是△ABC的中線， ∴CD=BC=2， ∴DE=CD﹣CE=1， ∵AE⊥BC，DE=AE， ∴∠ADC=45， ∴sin∠ADC=． 點評： 本題考查的是解直角三角形的知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意銳角三角函數(shù)的概念的正確應(yīng)用．