2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 勾股定理教案 北師大版.doc

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2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 勾股定理教案 北師大版 知識(shí)與技能目標(biāo)： 1.體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程，由特例猜想勾股定理，再由特例驗(yàn)證勾股定理. 2.會(huì)利用勾股定理解釋生活中的簡(jiǎn)單現(xiàn)象． 過(guò)程與方法目標(biāo)： 1.在學(xué)生充分觀察、歸納、猜想、探索勾股定理的過(guò)程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想． 2.在探索勾股定理的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生歸納、概括和有條理地表達(dá)活動(dòng)過(guò)程及結(jié)論的能力． 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 1.培養(yǎng)學(xué)生積極參與、合作交流的意識(shí)． 2.在探索勾股定理的過(guò)程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂(lè)，鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣． 教學(xué)重點(diǎn) 探索和驗(yàn)證勾股定理． 教學(xué)難點(diǎn) 在方格紙上通過(guò)計(jì)算面積的方法探索勾股定理． 教學(xué)方法 交流—探索—猜想. 在方格紙上，同學(xué)們通過(guò)計(jì)算以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形的面積，在合作交流的過(guò)程中，比較這三個(gè)正方形的面積，由此猜想出直角三角形的三邊關(guān)系． 教具準(zhǔn)備 1.學(xué)生每人課前準(zhǔn)備若干張方格紙. 2.投影片三張： 第一張：填空(記作1.1.1 A)； 第二張：?jiǎn)栴}串(記作1.1.1 B)； 第三張：做一做(記作1.1.1 C). 教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課 出示投影片(1.1.1 A) (1)三角形按角分類，可分為_________、_________、_________. (2)對(duì)于一般的三角形來(lái)說(shuō)，判斷它們?nèi)鹊臈l件有哪些？對(duì)于直角三角形呢？ (3)有兩個(gè)直角三角形，如果有兩條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形一定全等嗎？ ［師］上面三個(gè)小問(wèn)題是我們以前討論過(guò)的，我們簡(jiǎn)單的回憶一下. ［生］(1)三角形按角的大小來(lái)分類可分為：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形； (2)對(duì)于一般三角形來(lái)說(shuō)，我們可以用SAS(邊角邊)、ASA(角邊角)、AAS(角角邊)、SSS(邊邊邊)來(lái)判斷兩個(gè)三角形全等；而對(duì)于直角三角形來(lái)說(shuō)，除以上四種方法外，還可以用HL(即有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等). (3)兩個(gè)直角三角形，有兩邊對(duì)應(yīng)相等，有兩種情況： 第一種情況：兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等，這時(shí)，我們可注意到它們的夾角也對(duì)應(yīng)相等，利用SAS可判斷它們?nèi)? 第二種情況：一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等，利用HL公理即可判斷它們?nèi)? 綜上所述，兩個(gè)直角三角形，如果有兩邊對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)直角三角形全等. ［師］我們可以注意到直角三角形有它獨(dú)有的一些特征.在我們學(xué)習(xí)和生活中，你是否還發(fā)現(xiàn)直角三角形的其他特征呢？ 這節(jié)課，我們就來(lái)繼續(xù)研究直角三角形. Ⅱ.講述新課 1.問(wèn)題串 ［師］(出示投影片1.1.1 B) 觀察下圖，并回答問(wèn)題： (1)觀察圖1. 正方形A中含有_________個(gè)小方格，即A的面積是_________個(gè)單位面積； 正方形B中含有_________個(gè)小方格，即B的面積是_________個(gè)單位面積； 正方形C中含有_________個(gè)小方格，即C的面積是_________個(gè)單位面積. (2)在圖2、圖3中，正方形A、B、C中各含有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少？你是如何得到上述結(jié)果的？與同伴交流. (3)請(qǐng)將上述結(jié)果填入下表，你能發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C的面積關(guān)系嗎？ A的面積(單位面積) B的面積(單位面積) C的面積(單位面積) 圖1 圖2 圖3 ［生］在圖1中，正方形A含1個(gè)小方格，所以它的面積是1個(gè)單位面積；正方形B含1個(gè)小方格，所以B的面積也是1個(gè)單位面積；正方形C含2個(gè)小方格，所以C的面積是2個(gè)單位面積. ［師］如何求得正方形C的面積呢？ ［生］正方形C可劃分為四個(gè)直角邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位的四個(gè)全等的等腰直角三角形，所以C的面積為4(11)=2個(gè)單位面積. ［生］我們觀察可發(fā)現(xiàn)，這四個(gè)等腰直角三角形重新拼擺，剛好可拼擺成2個(gè)小方格，所以C的面積為2個(gè)單位面積. ［生］正方形C還可以看成邊長(zhǎng)為2個(gè)單位的正方形面積的一半，即C的面積為22=2個(gè)單位面積. ［師］同學(xué)們能夠不拘一格地積極思考問(wèn)題，用多種方法去求得圖1中C的面積，值得發(fā)揚(yáng)廣大，那么圖2，圖3中的A，B，C的面積是否可借鑒圖1中的A，B，C的求法獲得呢？請(qǐng)與你的同學(xué)們討論、交流。 ［生］圖2中，A含有9個(gè)小方格或者說(shuō)正方形A的邊長(zhǎng)是3個(gè)單位長(zhǎng)度，都可以求得A的面積是9個(gè)單位面積；同理可求得B含有9個(gè)小方格，所以B的面積為9個(gè)單位面積；對(duì)于正方形C來(lái)說(shuō)，我們觀察可發(fā)現(xiàn)它含有18個(gè)小方格，所以C的面積為18個(gè)單位面積. ［師］看來(lái)，同學(xué)們已能從圖2中很容易地就求得了A，B，C的面積.是不是在求C的面積時(shí)也和圖1相類似，有多種求法呢？ ［生］是的.在正方形C中，我們可以把它的邊緣的12個(gè)全等的等腰直角三角形拼擺成6個(gè)小方格，再加上中間的12個(gè)小方格，正方形C共含有18個(gè)小方格，所以它的面積為18個(gè)單位面積；我們也可以把C分割成四個(gè)直角邊為3個(gè)單位長(zhǎng)度的等腰直角三角形，也可算得C的面積為4(32)=18個(gè)單位面積. ［生］如果把組成C的四個(gè)等腰直角三角形沿正方形的邊向外翻，我們觀察又可發(fā)現(xiàn)C在邊長(zhǎng)為6個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形中，并且C的面積恰好是這個(gè)正方形面積的一半即62=18個(gè)單位面積. ［生］圖3與圖1，圖2類似，所以我們可用同樣的方法觀察求得A，B，C各含4個(gè)，4個(gè)，8個(gè)小方格，面積分別為4個(gè)，4個(gè)，8個(gè)單位面積. ［師］把三個(gè)圖中A，B，C的面積分別填入上面的表格中，你能發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系嗎？ ［生］C的面積=A的面積+B的面積. (表格略) ［師］很好！但是A，B，C的面積為什么會(huì)有這種關(guān)系呢？我們接著觀察這三個(gè)圖，你能發(fā)現(xiàn)什么？ ［生］在前面您說(shuō)過(guò)這節(jié)課我們主要研究直角三角形，而在這三個(gè)圖中，都是三個(gè)正方形圍著一個(gè)直角三角形. ［師］的確如此，從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)：三個(gè)正方形好像是“長(zhǎng)”在直角三角形的三邊上. ［生］這說(shuō)明三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)得到的. ［師］那么，(3)的結(jié)論即C的面積=A的面積+B的面積與三角形有什么關(guān)系？這個(gè)關(guān)系說(shuō)明什么？大家可以討論、交流. ［生］C是斜邊上的正方形，所以C的面積是斜邊的平方；A，B是兩直角邊上的正方形，所以A，B的面積分別是這兩條直角邊的平方.根據(jù)A，B，C的面積關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)：斜邊的平方就等于兩直角邊的平方和. ［師］但是，我們也不難發(fā)現(xiàn)上面3個(gè)圖中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，會(huì)不會(huì)也有這種三邊關(guān)系呢？ 2.做一做 出示投影片(1.1.1 C) (1)觀察圖4，圖5， 并填寫下表： A的面積(單位面積) B的面積(單位面積) C的面積(單位面積) 圖4 圖5 你是怎樣得到上面結(jié)果的？與同伴交流. (2)三個(gè)正方形A，B，C的面積之間的關(guān)系？ (讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后填寫上面的表格.最后以小組為單位充分交流各自的想法，特別是在計(jì)算斜邊上的正方形的面積即正方形C的求法) ［師生共析］根據(jù)圖4，圖5可填表如下： A的面積(單位面積) B的面積(單位面積) C的面積(單位面積) 圖4 16 9 25 圖5 4 9 13 我們先來(lái)觀察圖4，不難看出A，B分別含有16個(gè)小方格，9個(gè)小方格，所以A、B的面積分別為16個(gè)單位面積，9個(gè)單位面積，但斜邊上的正方形C的面積的計(jì)算較為復(fù)雜，我們可用以下幾種方法求得： 第一種方法：將正方形C分割成4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為3、4全等的直角三角形和中間的一個(gè)小方格，利用計(jì)算三角形面積的公式可得正方形C的面積為4(34)+1=24+1=25個(gè)單位面積. 第二種方法：直接數(shù)正方形C中含有多少個(gè)小方格，但需要適當(dāng)?shù)钠礈?，在第一種方法中，我們將正方形分割成5部分，直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和一個(gè)小方格，其中直角三角形Ⅰ、Ⅲ可拼湊成一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為3和4的長(zhǎng)方形，含有12個(gè)小方格，同理Ⅱ、Ⅳ也可拼湊成12個(gè)小方格，所以正方形C中共有12+12+1=25個(gè)小方格即C的面積為25個(gè)單位面積. 第三種方法：可將直角三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ沿正方形C的邊外翻，就得到一個(gè)邊長(zhǎng)為7個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，這時(shí)正方形C的面積就為(49－1)2+1=25個(gè)單位面積. 圖5與圖4同理. 我們從上表不難發(fā)現(xiàn)16+9=25，4+9=13即C的面積=A的面積+B的面積. ［師］圖4和圖5中的三個(gè)正方形A，B，C也是由中間的直角三角形“長(zhǎng)”出來(lái)的，你能從三個(gè)正方形的面積關(guān)系與直角三角形的三邊聯(lián)系嗎？ ［生］圖4中的正方形A，B，C的面積分別是直角三角形兩條直角邊的平方和斜邊的平方，根據(jù)三個(gè)正方形的面積關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.由圖5我們也可得出同樣的結(jié)論. 3.議一議 ［師］我們通過(guò)對(duì)前面幾個(gè)直角三角形的討論，分析，你能歸納出直角三角形三邊長(zhǎng)度存在的關(guān)系嗎？用自己的語(yǔ)言表達(dá)你的重大發(fā)現(xiàn)與同伴交流. ［生］在直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)度的平方和等于斜邊的平方. ［師］這是由前面幾個(gè)特例猜想出來(lái)的，是否合理呢？我們不妨作幾個(gè)直角三角形檢驗(yàn)一下.例如，作一個(gè)分別以5厘米、12厘米為直角邊的直角三角形，然后測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，通過(guò)計(jì)算看一下直角三角形三邊的規(guī)律還成立嗎？ ［生］1.作一個(gè)直角∠MCN； 2.以C為圓心，分別以5厘米、12厘米為半徑畫弧交CM、CN于點(diǎn)A，B； 3.連結(jié)AB. 用刻度尺量出斜邊AB的長(zhǎng)度(強(qiáng)調(diào)注意測(cè)量的誤差)為13厘米.經(jīng)檢驗(yàn)斜邊AB2=132=169，兩直角邊平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169.即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. ［師］很好.同學(xué)們不妨多作幾個(gè)不同的直角三角形，用上面的方法檢驗(yàn)直角三角形三邊的關(guān)系. ［師生共析］通過(guò)特例猜想、檢驗(yàn)，我們不難發(fā)現(xiàn)，直角三角形的三邊的規(guī)律是成立的，這就是我們將要介紹的重點(diǎn)內(nèi)容——勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 4.讀一讀(課本P5) 古代人就對(duì)勾股定理有過(guò)深入的研究，幾大文明古國(guó)都有相應(yīng)的勾股定理的記載.我國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國(guó)家之一.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角.如果勾(即直角三角形中較短的直角邊)等于3，股(即直角三角形中較長(zhǎng)的直角邊)等于4，那么弦(即直角三角形中的斜邊)等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，在這本書中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式.因此，我們也把勾股定理稱為商高定理，而把商高稱為“勾股先師”.在西方，把勾股定理又稱為“畢達(dá)哥拉斯”定理.相傳二千多年，希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了勾股定理，因此他們還舉行了一次空前規(guī)模的慶祝活動(dòng)，宰殺了一百頭牲畜.但因此也引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)——邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來(lái)表示. 關(guān)于勾股定理的記載還有很多，同學(xué)們?nèi)绻信d趣，可查閱有關(guān)這方面的資料。 所以說(shuō)勾股定理有著悠久的歷史，它反映了古代人民的聰明才智. 5.想一想 ［師］小明的媽媽買了一部29英寸(74厘米)的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的熒屏后，發(fā)現(xiàn)熒屏只有58厘米長(zhǎng)和46厘米寬，他覺(jué)得一定是售貨員搞錯(cuò)了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？ ［生］我聽(tīng)爸爸說(shuō)過(guò)，29英寸或74厘米的電視機(jī)，是指熒屏對(duì)角線的長(zhǎng)度，而不是其長(zhǎng)或?qū)? ［生］可是，連結(jié)熒屏的對(duì)角線將長(zhǎng)方形的熒屏分成全等的兩個(gè)直角三角形.根據(jù)勾股定理，長(zhǎng)2+寬2=742，可582+462≠742，這是為什么呢？ ［生］因?yàn)闊善吝吙蛘谏w了一部分，所以實(shí)際測(cè)量存在一些誤差. ［師］的確如此，但這里我們要知道一個(gè)生活常識(shí)，29英寸(74厘米)指的是熒屏的對(duì)角線的長(zhǎng)度，而非熒屏的長(zhǎng)或?qū)? 6.例題講解 ［例］在△ABC中，∠C=90 (1)若a=8，b=6，則c=_________； (2)若 c=20，b=12，則a=_________； (3)若a∶b=3∶4，c=10，則a=_________，b=_________. ［師生共析］ 分析：在△ABC中，∠C=90，所以有關(guān)系：a2+b2=c2.在此關(guān)系式中，涉及到三個(gè)量，利用方程的思想，可“知二求一”. 解：根據(jù)題意可得a2+b2=c2. (1)若a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c＞0，所以c=10； (2)若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202－122=(20+12)(20－12)=328=162，a＞0，所以a=16； (3)若a∶b=3∶4，可設(shè)a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化簡(jiǎn)，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x＞0)，所以a=3x=6；b=4x=8. 評(píng)注：綜合上述解法可以發(fā)現(xiàn)，形(即△ABC為直角三角形)與數(shù)(a2+b2=c2)的統(tǒng)一，所以我們說(shuō)勾股定理是形與數(shù)的結(jié)合. Ⅲ.課時(shí)小結(jié) 先由學(xué)生自己總結(jié)，然后師生共同完成.這節(jié)課我們主要研究： 1.從特例猜想出勾股定理； 2.用特例檢驗(yàn)了勾股定理； 3.簡(jiǎn)單了解了勾股定理的歷史，應(yīng)用. Ⅳ.課后作業(yè) 1.課本P6，習(xí)題6.1. 2.到網(wǎng)上或圖書室查閱關(guān)于勾股定理的資料. Ⅴ.活動(dòng)與探究 有一根70 cm的木棒，要放在長(zhǎng)、寬、高分別是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放進(jìn)去嗎？ 過(guò)程：在實(shí)際生活中，往往工程設(shè)計(jì)方案比較多，應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算方可解決，而此題正是需要我們大膽實(shí)踐和創(chuàng)新，用我們學(xué)過(guò)的勾股定理和豐富的空間想像力來(lái)解決.我們可注意到木棒雖比木箱的各邊都長(zhǎng)，按各邊的大小放不進(jìn)去，但木箱是立體圖形，可以利用空間的最長(zhǎng)長(zhǎng)度.如AC′. 結(jié)果：由下圖可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′， △AA′C′都為直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最長(zhǎng)，則AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702. 故70 cm的棒能放入長(zhǎng)、寬、高分別為50 cm，40 cm，30 cm的大箱中. 板書設(shè)計(jì) 1.1.1 探索勾股定理(一) 特例(做一做)勾股定理特例(議一議) (直角三角形兩直角 邊分別為a，b，斜邊 為c，則a2+b2=c2) 1.1.2 探索勾股定理(二) 知識(shí)與技能目標(biāo)： 1.掌握勾股定理，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法. 2.運(yùn)用勾股解決一些實(shí)際問(wèn)題. 過(guò)程與方法目標(biāo)： 1.學(xué)會(huì)用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 2.在拼圖過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生大膽聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí). 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的一大貢獻(xiàn).借助對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育.并在拼圖的過(guò)程中獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 教學(xué)重點(diǎn) 勾股定理的證明及其應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn) 勾股定理的證明. 教學(xué)方法 教師引導(dǎo)和學(xué)生自主探索相結(jié)合的方法. 在用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程中.教師要引導(dǎo)學(xué)生善于聯(lián)想，將形的問(wèn)題與數(shù)的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生自主探索，大膽地聯(lián)系前面知識(shí)，推導(dǎo)出勾股定理，并自己嘗試用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題. 教具準(zhǔn)備 1.每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一張硬紙板； 2.投影片三張： 第一張：?jiǎn)栴}串(記作1.1.2 A)； 第二張：議一議(記作1.1.2 B)； 第三張：例題(記作1.1.2 C). 教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引入新課 ［師］我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)整式的運(yùn)算，其中平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2；完全平方公式(ab)2=a22ab+b2是非常重要的內(nèi)容.誰(shuí)還能記得當(dāng)時(shí)這兩個(gè)公式是如何推出的？ ［生］利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則從公式的左邊就可以推出右邊.例如(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2，所以平方差公式是成立的. ［生］還可以用拼圖的方法來(lái)推出.例如：(a+b)2=a2+2ab+b2.我們可以用一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形，兩個(gè)長(zhǎng)和寬分別為a和b的長(zhǎng)方形可拼成如下圖所示的邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形，那么這個(gè)大的正方形的面積可以表示為(a+b)2；又可以表示為a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2. ［師］由此我們可以看出用拼圖的方法推證數(shù)學(xué)中的結(jié)論非常直觀.上一節(jié)課我們已經(jīng)通過(guò)數(shù)格子通過(guò)一些特例大膽地猜想出了勾股定理.同時(shí)又利用一些特例驗(yàn)證了勾股定理，但我們注意到我們不可能拿所有的直角三角形一一驗(yàn)證，靠一些特例歸納、猜想出來(lái)的結(jié)論不一定正確.因此我們需要用另一種方法說(shuō)明直角三角形三邊的關(guān)系. Ⅱ.講授新課 1.拼一拼 出示投影片(1.2.2 A) (1)在一張硬紙板上畫4個(gè)如右圖所示全等的直角三角形.并把它們剪下來(lái). (2)用這4個(gè)直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個(gè)含有以斜邊c為邊長(zhǎng)的正方形，你能利用它說(shuō)明勾股定理嗎？ (對(duì)于上面2個(gè)問(wèn)題，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，將形與數(shù)的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái).鼓勵(lì)學(xué)生大膽的拼擺，只要符合要求，教師都應(yīng)予以鼓勵(lì)，然后在小組內(nèi)交流，同時(shí)提示學(xué)生根據(jù)自己拼出的圖形，聯(lián)系(a+b)2=a2+2ab+b2的拼圖推證方法說(shuō)明勾股定理). ［生］我拼出了如下圖所示的圖形，中間是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.觀察圖形我們不難發(fā)現(xiàn)，大的正方形的邊長(zhǎng)是(a+b).要利用這個(gè)圖說(shuō)明勾股定理，我們只要用兩種方法表示這個(gè)大正方形的面積即可. 大正方形面積可以表示為：(a+b)2，又可以表示為：ab4+(b－a). 對(duì)比這兩種表示方法，可得出c2=ab4+(b－a).化簡(jiǎn)、整理得c2=a2+b2.因此我們得到了勾股定理. ［生］我拼出了和這個(gè)同學(xué)不一樣的圖，如下圖所示，大正方形的邊長(zhǎng)是c，小正方形的邊長(zhǎng)為b－a，利用這個(gè)圖形也可以說(shuō)明勾股定理.因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e也有兩種表示方法，既可以表示為c2，又可以表示為ab4+(b－a)2.對(duì)比兩種表示方法可得c2=ab4+(b－a)2.化簡(jiǎn)得c2=a2+b2.同樣得到了勾股定理. ［師］真棒！同學(xué)們用拼圖的方法，大膽地驗(yàn)證了勾股定理.利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的偉大貢獻(xiàn).在后面的課題學(xué)習(xí)中，我們還要繼續(xù)研究它. 在所有的幾何定理中，勾股定理的證明方法也許是最多的了.有人做過(guò)統(tǒng)計(jì)，說(shuō)有五百余種.1940年，國(guó)外有人收集了勾股定理的365種證法，編了一本書.其實(shí)，勾股定理的證法不止這些，作者之所以選用了365種，也許他是幽默地想讓人注意，勾股定理的證明簡(jiǎn)直到了每天一種的地步. ［生］老師，我在查資料時(shí)，還發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明還和美國(guó)的一個(gè)總統(tǒng)有關(guān)系，是這樣嗎？ ［師］是的.1876年4月1日，美國(guó)俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，頗有興趣地在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他提出的一個(gè)勾股定理的證明.據(jù)他說(shuō)，這是一種思想體操，并且還調(diào)皮地聲稱，他的這個(gè)證明是得到兩黨議員“一致贊同的”.由于1881年加菲爾德當(dāng)上了美國(guó)第二十屆總統(tǒng)，這樣，他曾提出的那個(gè)證明也就成了數(shù)學(xué)史上的一段佳話. ［生］能給我們介紹一下這位總統(tǒng)的證明方法嗎？ ［師］可以.如下圖所示.這就是這位總統(tǒng)用兩個(gè)全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個(gè)同學(xué)用全等的四個(gè)直角三角形拼出來(lái)的圖形對(duì)比一下，有聯(lián)系. ［生］總統(tǒng)拼出的圖形恰好是第一個(gè)同學(xué)拼出的大正方形的一半. ［師］同學(xué)們不妨自己從上圖中推導(dǎo)出勾股定理. ［生］上面的圖形整體上拼成一個(gè)直角梯形.所以它的面積有兩種表示方法.既可以表示為(a+b)(a+b)，又可以表示為ab2+c2.對(duì)比兩種表示方法可得 (a+b)(a+b)= ab2+c2.化簡(jiǎn)，可得a2+b2=c2. ［師］很好.同學(xué)們?nèi)绻信d趣的話，不妨自己也去尋找?guī)追N證明勾股定理的方法. 2.議一議 ［師］前面我們討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系.那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？ 出示投影片(1.1.2 B ) 觀察上圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中兩個(gè)三角形的三邊關(guān)系是否滿足a2+b2=c2. ［師］上圖中的△ABC和△A′B′C是什么三角形？ ［生］△ABC，△A′B′C′在小方格紙上，不難看出△ABC中，∠BCA＞90； △A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是銳角，所以△ABC是鈍角三角形，△A′B′C′是銳角三角形. ［師］△ABC的三邊上“長(zhǎng)”出三個(gè)正方形.誰(shuí)來(lái)幫我數(shù)一下每個(gè)正方形含有幾個(gè)小格子. ［生］以b為邊長(zhǎng)的正方形含有9個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積b2=9個(gè)單位面積；以a為邊長(zhǎng)的正方形中含有8個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積a2=8個(gè)單位面積；以c為邊長(zhǎng)的正方形中含有29個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積c2=29個(gè)單位面積. a2+b2=9+7=16個(gè)單位面積，c2=29個(gè)單位面積，所以在鈍角三角形ABC中a2+b2≠c2. ［師］銳角三角形A′B′C′中，如何呢？ ［生］以a為邊長(zhǎng)的正方形含5個(gè)小格子，所以a2=5個(gè)單位面積；以b為邊長(zhǎng)的正方形含有8個(gè)小格子，所以b2=8個(gè)單位面積；以c為邊長(zhǎng)的正方形含9個(gè)小格子，所以c2=9個(gè)單位面積.由此我們可以算出a2+b2=5+8=13個(gè)單位面積.在銳角三角形A′B′C′中，a2+b2≠c2. ［師］通過(guò)對(duì)上面兩個(gè)圖形的討論可進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到只有在直角三角形中，a，b，c三邊才有a2+b2=c2(其中a、b是直角邊，c為斜邊)這樣的關(guān)系. ［生］老師，我發(fā)現(xiàn)在鈍角三角形ABC中，雖然a2+b2≠c2，但它們之間也有一種關(guān)系a2+b2＜c2；在銳角三角形A′B′C′中，a2+b2＞c2.它們恒成立嗎？ ［師］這位同學(xué)很善于思考，的確如此.同學(xué)們課后不妨驗(yàn)證一下，你一定會(huì)收獲不小. 3.例題講解 出示投影片(1.1.2 C) ［例1］飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4800米處，過(guò)了10秒后，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？ ［例2］如下圖所示，某人在B處通過(guò)平面鏡看見(jiàn)在B正上方5米處的A物體，已知物體A到平面鏡的距離為6米，問(wèn)B點(diǎn)到物體A的像A′的距離是多少？ ［例3］在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來(lái)；水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動(dòng)的水平距離為6分米，問(wèn)這里的水深是多少？ ［師生共析］ ［例1］分析：根據(jù)題意，可以畫出右圖，A點(diǎn)表示男孩頭頂?shù)奈恢茫珻、B點(diǎn)是兩個(gè)時(shí)刻飛機(jī)的位置，∠C是直角，可以用勾股定理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題. 解：根據(jù)題意，得Rt△ABC中，∠C=90，AB=5000米，AC=4800米.由勾股定理，得AB2=AC2+BC2.即50002=BC2+48002，所以BC=1400米. 飛機(jī)飛行1400米用了10秒，那么它1小時(shí)飛行的距離為1400660=504000米=504千米，即飛機(jī)飛行的速度為504千米/時(shí). 評(píng)注：這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，經(jīng)過(guò)分析，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求直角三角形第三邊的問(wèn)題，這雖是一個(gè)一元二次方程的問(wèn)題，學(xué)生可嘗試用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解決.同時(shí)注意，在此題中小孩是靜止不動(dòng)的. ［例2］分析：此題要用到勾股定理，軸對(duì)稱及物理上的光的反射知識(shí). 解：如例2圖，由題意知△ABA′是直角三角形，由軸對(duì)稱及平面鏡成像可知： AA′=26=12米，AB=5米； 在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米 所以A′B=13米，即B點(diǎn)到物體A的像A′的距離為13米. 評(píng)注：本題是以光的反射為背景，涉及到勾股定理、軸對(duì)稱等知識(shí).由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)是物理的基礎(chǔ). ［例3］分析：在此問(wèn)題中，要注意水草的長(zhǎng)度與水深的關(guān)系，還要注意水草站立時(shí)和吹到一邊，它的長(zhǎng)度是不變的. 解：根據(jù)題意，得到下圖，其中D是無(wú)風(fēng)時(shí)水草的最高點(diǎn)，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過(guò)水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD. 所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即(AC+3)2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5.所以這里的水深為4.5分米. 評(píng)注：在幾何計(jì)算題中，方程的思想十分重要. Ⅲ.課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課，我們用拼圖的方法驗(yàn)證了勾股定理，并運(yùn)用勾股定理解決了生活中的實(shí)際問(wèn)題. Ⅳ.課后作業(yè) 1.課本P9，習(xí)題6.2. 2.收集關(guān)于勾股定理的證明方法. Ⅴ.活動(dòng)與探究 如右圖，木長(zhǎng)二丈，它的一周是3尺，生長(zhǎng)在木下的葛藤纏木七周，上端恰好與木齊，問(wèn)葛藤長(zhǎng)多少？ 過(guò)程：從表面上看，這道題與勾股定理無(wú)關(guān)系.但是如果你用一張直角三角形的紙片約一支圓柱形鉛筆上纏繞，就會(huì)發(fā)現(xiàn)；這里的葛藤之長(zhǎng)相當(dāng)于直角三角形的斜邊. 結(jié)果：根據(jù)題意，可得一條直角邊(即高)長(zhǎng)2丈即20尺，另一條直角邊(即底邊)長(zhǎng)73=21(尺)，因此葛藤長(zhǎng)設(shè)為x尺，則有x2=202+212=841=292，所以x=29尺，即葛藤長(zhǎng)為29尺. 板書設(shè)計(jì) 1.1.2 探索勾股定理(二) 一、用拼圖法驗(yàn)證勾股定理 1. 由上圖得(a+b)2=ab4+c2 即a2+b2=c2； 2. 由上圖可得c2=ab4+(b－a)2 即a2+b2=c2 二、議一議 三、例題講解 四、課時(shí)小結(jié) 1.2 能得到直角三角形嗎 知識(shí)與技能目標(biāo)： 1.掌握直角三角形的判別條件. 2.熟記一些勾股數(shù). 3.能對(duì)直角三角形的判別條件進(jìn)行一些綜合應(yīng)用. 過(guò)程與方法目標(biāo)： 1.用三邊的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想. 2.通過(guò)對(duì)直角三角形判別條件的研究，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，勇于探索的創(chuàng)新精神. 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 1.通過(guò)介紹有關(guān)歷史資料，激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的愿望. 2.通過(guò)對(duì)勾股定理逆定理的綜合應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，克服困難的勇氣；體驗(yàn)勾股定理及其逆定理在生活實(shí)際中的實(shí)用性. 教學(xué)重點(diǎn) 直角三角形的判別條件及其應(yīng)用；它可用邊的關(guān)系來(lái)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形。 教學(xué)難點(diǎn) 用直角三角形的判別條件判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形及綜合應(yīng)用直角三角形的知識(shí)解題. 教學(xué)方法 引導(dǎo)啟發(fā)法. 教師通過(guò)介紹古埃及人作直角的方法啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)已知數(shù)據(jù)作出三角形，并用測(cè)量的方法、探索、歸納用三角形三邊關(guān)系判定直角三角形的條件. 教具準(zhǔn)備 一根有13個(gè)等距的結(jié)的繩子. 投影片兩張： 第一張：例題(記作1.2 A)； 第二張：隨堂練習(xí)(記作1.2 B). 教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課 ［師］下面我們來(lái)總結(jié)一下直角三角形有哪些性質(zhì). ［生］直角三角形有如下性質(zhì)：①有一個(gè)內(nèi)角為直角；②兩個(gè)銳角互余；③兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. ［生］在含30角的直角三角形中，30的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半. ［師］很好，反過(guò)來(lái)，一個(gè)三角形，滿足什么條件就是直角三角形呢？ ［生］如果有一個(gè)內(nèi)角是直角，它就是直角三角形. ［生］如果有兩個(gè)角的和是90，那么這個(gè)三角形也是直角三角形. ［師］我們可以注意到這些同學(xué)都是通過(guò)角的關(guān)系判定直角三角形的. 前面，我們剛學(xué)習(xí)了勾股定理，知道一個(gè)直角三角形的兩直角邊a，b，斜邊c具有一定的數(shù)量關(guān)系即a2+b2=c2.我們是否也可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來(lái)判定它是否為直角三角形呢？ Ⅱ.講述新課 1.古代埃及人作直角 ［師］其實(shí)，古代埃及人就曾用三角形三邊的關(guān)系作出了直角.下面我們一同演示一下. 我這兒有一根繩子，上面有13個(gè)等距的結(jié)，把這根繩子分成等長(zhǎng)的12段.下面我讓一個(gè)同學(xué)同時(shí)握住繩子的第(1)個(gè)和第(13)個(gè)結(jié)，再讓兩個(gè)同學(xué)分別握住繩子的第(4)個(gè)結(jié)和第(8)個(gè)結(jié)，(如下圖所示)拉緊繩子，大家觀察可以發(fā)現(xiàn)什么？ ［生］得到一個(gè)直角三角形，在第(4)個(gè)結(jié)處的角是直角. ［師］我們?cè)賮?lái)看在第(1)個(gè)結(jié)到第(4)個(gè)結(jié)是3個(gè)單位長(zhǎng)度即AC=b=3；同理BC=a=4；AB=c=5.因?yàn)?2+42=52，所以a2+b2=c2.那么是不是三角形的三邊滿足a2+b2=c2，就可以得到一個(gè)直角三角形呢？ 我們不妨再找?guī)捉M數(shù)試一試. 2.做一做 下面四組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c： 5，12，13；7，24，25；8，15，17；5，6，7. (1)這四組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？ (2)分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？ ［師生共析］(1)52+122=169=132； 72+242=625=252； 82+152=289=172； 52+62=61≠72. 所以這四組數(shù)，前三組滿足a2+b2=c2，而最后一組不滿足. ［師］以5，12，13這一組數(shù)為例，誰(shuí)能告訴我如何作出以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的三角形呢？ ［生］作法：①作線段AB=5個(gè)單位長(zhǎng)度；②分別以A、B為圓心，12個(gè)單位長(zhǎng)度，13個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于線段AB的同旁于一點(diǎn)C；③連結(jié)AC、BC.△ABC就是以5、12、13為邊長(zhǎng)的三角形. ［師］很好.下面同學(xué)們就以小組為單位來(lái)完成第(2)小題. (讓學(xué)生親自動(dòng)手作三角形，并用量角器量出各個(gè)內(nèi)角，然后小組內(nèi)交流，從而獲得一個(gè)三角形是直角三角形三邊的條件) ［生］我們通過(guò)作三角形，測(cè)量三角形三個(gè)內(nèi)角發(fā)現(xiàn)：前三組數(shù)滿足a2+b2=c2，作出的三角形都是直角三角形；而后一組數(shù)不滿足a2+b2=c2，作出的三角形不是直角三角形. ［師］你能告訴我在你作出的直角三角形中，哪一邊是斜邊嗎？哪一個(gè)角是直角嗎？ ［生］前三組數(shù)中，較長(zhǎng)的邊是斜邊，斜邊所對(duì)的角是直角. ［師］從“做一做”中你能猜想到什么結(jié)論呢？ ［生］如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形. ［師］剛才，我們只是從特例中猜想出來(lái)上面的結(jié)論.可能有的同學(xué)會(huì)產(chǎn)生疑慮，果真如此嗎？下面我用前面的知識(shí)解釋一下這個(gè)結(jié)論，大家就會(huì)知道，我們的猜想是正確的. 已知：在△ABC中AB=c， BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2. 求證：∠c=90 證明：作△A′B′C′，使∠C′=90，B′C′=a，A′C′=b，那么A′B′2=a2+b2(為什么？). 由已知條件a2+b2=c2，可得A′B′2=c2，即A′B′=c.(A′B′＞0，c＞0) 在△ABC和△A′B′C′中有BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′，則△ABC≌△A′B′C′.所以∠C=∠C′=90. 現(xiàn)在大家沒(méi)有疑慮了吧.同時(shí)也明白了古埃及人那樣做的道理.實(shí)際上，古代中國(guó)人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技發(fā)達(dá)的今天——人類已跨入21世紀(jì)，建筑工地上的工人師傅們?nèi)匀浑x不開“三四五放線法”. “三四五放線法”是一種古老的規(guī)范操作.所謂“歸方”，就是“做成直角”，譬如建造房屋，房角一般總是成90，怎樣確定房角的縱橫兩線呢？ 如下圖，欲過(guò)基線MN上的一點(diǎn)C作它的垂線，可由三名工人操作：一人手拿布尺或測(cè)繩的0和12尺處，固定在C點(diǎn)；另一人拿4尺處，把尺拉直，在MN上定出A點(diǎn)；再由一人拿9尺處，把尺拉直，定出B點(diǎn).于是連結(jié)BC，就是MN的垂線. 建筑工人用了3，4，5作出了一個(gè)直角，能不能用其他的整數(shù)組作出直角呢？ ［生］可以.例如7，24，25；8，15，17等. ［師］是的.如果三角形三條邊滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).那么滿足條件的勾股數(shù)有多少組呢？它們是如何形成的？我們的先人數(shù)學(xué)家劉徽和希臘數(shù)學(xué)家曾相繼提出了表示所有勾股整數(shù)組的方法. 下面我們來(lái)了解一下這方面的情況. 3.讀一讀 ［師］同學(xué)們可以打開課本P11，閱讀“讀一讀”——勾股數(shù)組與費(fèi)馬大定理. (讀一讀介紹了尋找勾股數(shù)組的一種方法以及由此引發(fā)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)問(wèn)題——費(fèi)馬大定理) 現(xiàn)在我們就來(lái)嘗試驗(yàn)證其中提供的求勾股數(shù)組方法的合理性.即 求證：m2－n2，m2+n2，2mn(m＞n，m，n是正整數(shù))是直角三角形的三條邊長(zhǎng). ［師生共析］要證明它們是直角三角形的三邊，首先應(yīng)判斷這三條線段是否組成三角形，然后再用勾股定理的逆定理即直角三角形的判定條件來(lái)判斷它們是否是一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng). 證明：m＞n，m、n是正整數(shù). (m2－n2)+(m2+n2)=2m2＞2mn. 即(m2－n2)+(m2+n2)＞2mn. 又因?yàn)?m2－n2)+2mn=m2+n(2m－n) 而2m－n=m+(m－n)＞0，所以(m2－n2)+2mn＞m2+n2，由此可知， 這三條線段可組成三角形. 又因?yàn)?m2－n2)2+(2mn)2=m4+4m2n2－2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2. 則(m2－n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2. 由直角三角形的判定條件， 可知：這三條線段組成的三角形是直角三 角形. ［師］你能用這個(gè)方法找到5組勾股數(shù)嗎？ ［生］可以，如下表 m＞n m、n是正整數(shù) 勾股數(shù)組 m2－n2 2mn m2+n2 m=2，n=1 3 4 5 m=3，n=2 5 12 13 m=4，n=3 7 24 25 m=5，n=4 9 40 41 m=3，n=1 8 6 10 … … … … 下面我們利用直角三角形判定的條件來(lái)看幾個(gè)例題. 4.例題講解 出示投影片(1.2A) ［例1］一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角.工人師傅量出了這個(gè)零件各邊尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎？ 分析：這是一個(gè)利用直角三角形的判定條件解決實(shí)際問(wèn)題的例子. 解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此這個(gè)零件符合要求. Ⅲ.隨堂練習(xí) 1.(課本P11)下列幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？說(shuō)說(shuō)你的理由. (1)9，12，15； (2)15，36，39； (3)12，35，36； (4)12，18，22. 解：根據(jù)直角三角形的判定條件. (1)92+122=152；(2)152+362=392，所以(1)、(2)兩組數(shù)可以作為直角三角形的三邊；但(3)122+352≠362，(4)122+182≠322，所以(3)(4)兩組數(shù)不能作為直角三角形的三邊. 2.(補(bǔ)充練習(xí))出示投影片(1.2 B) (1)判斷以a=10，b=8，c=6為邊組成的三角形是不是直角三角形. 解：因?yàn)閍2+b2=100+64=164≠c2 即a2+b2≠c2，所以由a，b，c不能組成直角三角形. 請(qǐng)問(wèn)：上述解法對(duì)嗎？為什么？ (2)已知：在△ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC邊上的中線AD=12 cm.求證：AB=AC. (1)解：上述解法是不對(duì)的.因?yàn)閍=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2.即b2+c2=a2.所以由a，b，c組成的三角形兩邊的平方和等于等三邊的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可構(gòu)成直角三角形，其中a是斜邊，b、c是兩直角邊. 評(píng)注：在解題時(shí)，我們不能簡(jiǎn)單地看兩邊的平方和是否等于第三邊的平方，而應(yīng)先判斷哪一條邊有可能作為斜邊.往往只需看最大邊的平方是否等于另外兩邊的平方和. (2)證明：根據(jù)題意，畫出圖形.AB=13 cm，BC=10 cm. AD是BC邊上的中線—→BD=CD=5 cm.在△ABD中，AD=12 cm，BD=5 cm，AB=13 cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169. 所以AB2=AD2+BD2.則∠ADB=90. ∠ADC=180－∠ADB=180－90=90. 在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132. 所以AC=AB=13 cm. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課我們歸納推理出直角三角形判定條件，并用它去解決生活實(shí)際中的問(wèn)題，最后我們還介紹了求勾股數(shù)組的方法. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P12，習(xí)題6.3； 2.熟記幾組常用的勾股數(shù). Ⅵ.活動(dòng)與探究 給出一組式子：32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262 (1)你能發(fā)現(xiàn)上面式子的規(guī)律嗎？請(qǐng)你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，給出第5個(gè)式子； (2)請(qǐng)你證明你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律. 過(guò)程：觀察式子，要注意這些式子中不變的形式，如等式兩邊每一項(xiàng)的指數(shù)為2，等式左邊是平方和的形式，右邊是一個(gè)數(shù)的平方.很顯然，我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律一定是“( )2+( )2=( )2”的形式.然后再觀察每一項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系.如32，82，152，242與序號(hào)有何關(guān)系，可知32=(22－1)2，82=(32－1)2，152=(42－1)2，242=(52－1)2；所以我們可推想，第一項(xiàng)一定是(n2－1)2.(其n＞1，n為整數(shù)).同理可得第二項(xiàng)一定是(2n)2，等式右邊一定是(n2+1)2(其中n＞1，n為整數(shù)). (1)解：上面的式子是有規(guī)律的，即(n2－1)2+(2n)2=(n2+1)2(n為大于1的整數(shù)). 第5個(gè)式子是n=6時(shí)，即(62－1)2+(26)2=(62+1)2化簡(jiǎn)，得352+122=372. (2)證明：左邊=(n2－1)2+(2n)2=(n4－2n2+1)+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=右邊.證畢. 板書設(shè)計(jì) 1.2 能得到直角三角形嗎 一、古埃及人作直角的方法 二、做一做 下面三組數(shù)能作出直角三角形嗎？ 1.7，24，25；2.8，15，17；3.5，6，7； 三、由特例猜想：直角三角形用邊的關(guān)系來(lái)判定的條件：如果三角形三邊長(zhǎng)為a，b，c且滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 四、1.勾股數(shù). 2.求勾股數(shù)的方法：m2+n2，m2－n2，2mn(其中m＞n，m、n是正整數(shù)). 3.讀一讀. 五、例題(略) 六、隨堂練習(xí) 1.3 螞蟻怎樣走最近 知識(shí)與技能目標(biāo)： 能運(yùn)用勾股定理及直角三角形的判別條件(即勾股定理的逆定理)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 過(guò)程與方法目標(biāo)： 1.學(xué)會(huì)觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念. 2.在將實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形過(guò)程中，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想. 情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)： 1.通過(guò)有趣的問(wèn)題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 2.在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性，體現(xiàn)人人都學(xué)有用的數(shù)學(xué). 教學(xué)重點(diǎn) 探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實(shí)際問(wèn)題. 教學(xué)難點(diǎn) 利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問(wèn)題. 教學(xué)方法 啟發(fā)—?jiǎng)邮植僮飨嘟Y(jié)合. 教具準(zhǔn)備 投影片三張： 第一張：螞蟻怎樣走最近(記作1.3 A)； 第二張：做一做(記作1.3 B)； 第三張：隨堂練習(xí)(記作1.3 C). 硬紙板做的圓柱. 教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課 ［師］我們學(xué)習(xí)了勾股定理和直角三角形的判別條件(即勾股定理逆定理).一起回憶一下. ［生］勾股定理：如果直角三角形兩直角邊是a，b，斜邊為c，則a2+b2=c2. 直角三角形判別條件(即勾股定理逆定理)：a，b，c是一個(gè)三角形的三條邊，如果a2+b2=c2，則這個(gè)三角形是直角三角形. ［師］我們知道這兩個(gè)定理非常重要.而之所以重要是因?yàn)樗鼈兪锹?lián)系數(shù)學(xué)中最基本也是最原始的兩個(gè)對(duì)象——數(shù)和形.由直角三角形的“形”，可得到三邊關(guān)系的“數(shù)”；反過(guò)來(lái)，由三角形三邊關(guān)系這個(gè)“數(shù)”，也可得到直角三角形這個(gè)“形”.更為重要的是，用它們能解決生活中的實(shí)際問(wèn)題. 例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長(zhǎng)的梯子？ ［生］根據(jù)題意，(如圖)AC是建筑物，則AC=12米，BC=5米，AB是梯子的長(zhǎng)度.所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米. 所以至少需13米長(zhǎng)的梯子. ［師］顯而易見(jiàn)，勾股定理及其逆定理，應(yīng)用十分廣泛.下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子. Ⅱ.講授新課 1.螞蟻怎么走最近 出示投影片(1.3A) 如圖所示，有一個(gè)圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π的值取3.14). ［師］同學(xué)們可自己做一個(gè)圓柱，嘗試從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面畫出幾條路線，你覺(jué)得哪條路線最短呢？ ［生］圓柱的側(cè)面是曲面.螞蟻要從A點(diǎn)爬行到B點(diǎn)，它沒(méi)有翅膀，只能從圓柱的側(cè)面爬到A點(diǎn)，而且爬行的路程最短，我認(rèn)為螞蟻可以從A點(diǎn)沿著圓柱的母線到A′點(diǎn)，再沿著上底面的邊緣爬到B點(diǎn)；也可以從A點(diǎn)沿著下底面的邊緣到達(dá)B′，再沿著母線向上爬，到達(dá)B點(diǎn). ［師］你可以將剛才的路線畫到你做的圓柱上.是不是最短的呢？ ［生］我認(rèn)為不是.我還可以在上底面邊緣A′、B之間取中點(diǎn)D，螞蟻可沿曲面由A直接到D，再沿上底面的邊緣到達(dá)B. ［生］老師，我還有更短的.可以讓螞蟻從A點(diǎn)直接到達(dá)B點(diǎn). ［師］同學(xué)們可以將剛才幾位同學(xué)設(shè)計(jì)的路線和你自己設(shè)計(jì)的路線都畫在圓柱的側(cè)面上.到底誰(shuí)畫的路線最短呢？ 我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一長(zhǎng)方形.好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線AA′將圓柱的側(cè)面展開(如下圖). 我們不難發(fā)現(xiàn)，剛才幾位同學(xué)的走法： (1)A→A′→B； (2)A→B′→B； (3)A→D→B； (4)A—→B. 哪條路線是最短呢？你畫對(duì)了嗎？ ［生］第(4)條路線最短.因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間的連線中線段最短”. ［師］是不是有“山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的感受.看上去這是一個(gè)曲面上的路線問(wèn)題，可當(dāng)我們把圓柱的側(cè)面展成一個(gè)平面圖形——長(zhǎng)方形時(shí)，使我們恍然大悟其中的道理.真是“踏破鐵鞋無(wú)覓處，得來(lái)全不費(fèi)功夫”. 那么螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，想吃到B點(diǎn)上的食物，它需要的最短路程是多少呢？(π取3) ［生］當(dāng)我們把圓柱的側(cè)面展成長(zhǎng)方形時(shí)，求最短路線問(wèn)題就變成了：在Rt△AA′B中，已知AA′=12厘米，A′B′=πr=33=9厘米.根據(jù)勾股定理可得AB2=AA′2+ A′B2=122+92=225，所以AB=15厘米.即螞蟻爬行的最短距離為15厘米. 2.做一做 出示投影片(1.3 B) 如圖所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要檢測(cè)正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺. (1)你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？ (2)李叔叔量得AD的長(zhǎng)是30厘米，AB的長(zhǎng)是40厘米，BD長(zhǎng)是50厘米.AD邊垂直于AB邊嗎？ (3)小明隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？ ［師生共析］李叔叔隨身只帶卷尺檢測(cè)AD，BC是否與底邊AB垂直，也就是要檢測(cè) ∠DAB=90，∠CBA=90.連結(jié)BD或AC，也就是要檢測(cè)△DAB和△CBA是否為直角三角形.很顯然，這是一個(gè)需用勾股定理的逆定理來(lái)解決的實(shí)際問(wèn)題. (可以先鼓勵(lì)學(xué)生自己尋找辦法) ［生］根據(jù)我們剛才的分析，用勾股定理的逆定理來(lái)解決，要檢測(cè)△DAB是否為直角三角形，即∠DAB=90，李叔叔只需用卷尺分別量出AB、BD、DA的長(zhǎng)度，然后計(jì)算AB2+DA2和BD2，看它們是否相等.若相等，則說(shuō)明AD⊥AB.同理也可檢測(cè)BC是否垂直于AB. ［師］很好！我們來(lái)看第(2)個(gè)問(wèn)題，李叔叔已量得AD，AB，BD的長(zhǎng)度 ，根據(jù)他量出的長(zhǎng)度能說(shuō)明DA和AB垂直嗎？ ［生］可以.因?yàn)锳D2+AB2=302+402=2500，而BD2=2500，所以AD2+AB2=BD2.可得AD和AB垂直. ［師］小明帶的刻度尺長(zhǎng)度只有20厘米，他有辦法檢驗(yàn)AD與AB邊的垂直嗎？ ［生］可以利用分段相加的方法量出AB、AD和BD的長(zhǎng)度. ［生］這樣做誤差較大.可在AB、AD上各量一段較小長(zhǎng)度.例如在AB邊上量一小段AE= 8 cm，在AD邊上量一小段AF=6 cm，而AE2+AF2=82+62=64+36=100=102.這時(shí)只要量一下EF是否等于10厘米即可.如果EF=10 cm，EF2=100，則有AE2+AF2=EF2，根據(jù)勾股定理的逆定理就可知△AEF是直角三角形，∠EAF=90即∠DAB=90，所以AD⊥AB；如果EF≠10厘米，則EF2≠100，所以AE2+AF2≠EF2，所以△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB. ［生］也可以在AB邊上取AM=3厘米，在AD邊上取AN=4厘米，再量MN是否等于5厘米，也可以檢測(cè)AD與AB是否垂直. ［師］看來(lái)，同學(xué)們的方法還真不少.勾股定理和它的逆定理在實(shí)際生活中應(yīng)用確實(shí)十分廣泛.我們不妨再用它們解決幾個(gè)問(wèn)題. Ⅲ.隨堂練習(xí) 出示投影片(1.3 C) 1.甲、乙兩位探險(xiǎn)者，到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn).某日早晨8∶00甲先出發(fā)，他以6千米/時(shí)的速度向東行走.1時(shí)后乙出發(fā)，他以5千米/時(shí)的速度向北行進(jìn).上午10∶00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？ 2.如圖，有一個(gè)高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問(wèn)這根鐵棒應(yīng)有多長(zhǎng)？ ［師生共析］1.分析：首先我們需要根據(jù)題意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型. 解：(如圖)根據(jù)題意，可知A是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10∶00時(shí)甲到達(dá)B點(diǎn)，則AB=26=12(千米)；乙到達(dá)C點(diǎn)，則AC=15=5(千米). 在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙兩人相距13千米. 2.分析：從題意可知，沒(méi)有告訴鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長(zhǎng)是一個(gè)取值范圍而不是固定的長(zhǎng)度，所以鐵棒最長(zhǎng)時(shí)，是插入至底部的A點(diǎn)處，鐵棒最短時(shí)是垂直于底面時(shí). 解：設(shè)伸入油桶中的長(zhǎng)度為x米，則應(yīng)求最長(zhǎng)時(shí)和最短時(shí)的值. (1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5 所以最長(zhǎng)是2.5+0.5=3(米). (2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米). 答：這根鐵棒的長(zhǎng)應(yīng)在2~3米之間(包含2米、3米). 3.試一試(課本P15) 在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各為多少？ (這是一道我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中記載的一個(gè)有趣的問(wèn)題，讓學(xué)生在全班對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行討論，從中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國(guó)古代人民的聰明才智) ［師生共析］我們可以將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型. 解：如圖，設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為(x+1)尺，由勾股定理可求得 (x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25 解得x=12 則水池的深度為12尺，蘆葦