八年級數(shù)學(xué)下冊 專題突破講練 一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用試題 （新版）青島版.doc

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一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用 一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用 1. 在行程類問題中的應(yīng)用： 本類應(yīng)用為今后重點出題方向，從知識點上講，主要考查了二元一次方程組、一次函數(shù)、圖象交點等內(nèi)容的綜合。 （1）相遇類問題：如圖所示，一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時間為x（h），兩車之間的距離為y（km），圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系。如何理解圖象？ 答案：慢車12h到達(dá)終點，兩車之間的距離開始的時候是1000千米，4h時兩車相遇，C點時快車到達(dá)終點，慢車?yán)^續(xù)行駛，CD過程中快車與慢車的距離仍然在拉大，但拉大幅度比BC段減小。 （2）追及類問題：如圖所示，小李與小陸從A地出發(fā)，騎自行車沿同一條路行駛到B地，他們離出發(fā)地的距離s（單位：km）和行駛時間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示， 2. 在工程類問題中的應(yīng)用： 如圖所示，某項工程，由甲、乙兩個施工隊合作完成。先由甲施工隊單獨施工3天，剩下的工作由甲、乙兩個施工隊合作完成。工程進(jìn)度滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，則完成此項工程共需多少天？ 答案：9天。 3. 商品利潤類問題中的應(yīng)用： 如圖所示，一家電信公司給顧客提供兩種上網(wǎng)收費方式：方式A以每分0.1元的價格按上網(wǎng)所用時間計算；方式B除收月基費20元外，再以每分0.05元的價格按上網(wǎng)所用時間計費。若上網(wǎng)所用時間為x分，計費為y元，如圖是在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別描述兩種計費方式的函救的圖象，如何理解？ 答案：400分鐘的時候兩種方式消費相同，400分鐘以內(nèi)方式甲費用低于方式乙，400分鐘以上甲的費用高于方式乙。 4. 根據(jù)文字?jǐn)⑹銮榫秤煤瘮?shù)關(guān)系式解決問題： 某校為了實施“大課間”活動，計劃購買籃球、排球共60個，跳繩120根．已知一個籃球70元，一個排球50元，一根跳繩10元．設(shè)購買籃球x個，購買籃球、排球和跳繩的總費用為y元。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若購買上述體育用品的總費用為4700元，問籃球、排球各買多少個？ 答案：（1）；（2）籃球25個，排球35個。 總結(jié)： 1. 理解圖象中的交點，與x軸平行等所表達(dá)的意義。 2. 在實際應(yīng)用中，要特別觀察圖象x、y軸代表的實際意義，理解了坐標(biāo)軸的意義才能更好的解決問題。 例題 校運動會前，小明和小亮相約晨練跑步，小明比小亮早1分鐘離開家門，3分鐘后迎面遇到從家跑來的小亮，兩人并行跑了2分鐘后，決定進(jìn)行長跑比賽，比賽過程中小明的速度始終是180米/分，小亮的速度始終是220米/分。兩人之間的距離y（米）與小明離開家的時間t（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示，下列說法：①小明比賽前的速度為180米/分；②小明和小亮家相距540米；③小亮在跑步過程中速度始終保持不變；④小明離家7分鐘時兩人之間的距離為80米；⑤小亮從家出門跑了14分鐘后，按原路以比賽時的速度返回，再經(jīng)過0.9分鐘兩人相遇，其中一定正確的個數(shù)（　?。? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：根據(jù)函數(shù)圖象可以求出小明比賽前的速度為（540－440）1=100米/分，兩家的距離為540米，根據(jù)速度時間=路程就可以求出小亮在比賽前的速度與220比較就可以確定是否發(fā)生變化，根據(jù)比賽時兩人的速度關(guān)系就可以求出比賽2分鐘時兩人的距離，⑤先求出14分鐘時小亮在小明前面的距離，再由相遇問題就可以求出結(jié)論。 答案：解：由函數(shù)圖象及題意，得①小明比賽前的速度為：（540－440）1=100米/分≠180米/分，故①錯誤；②小明與小亮家相距：540米；故②正確；③小亮在比賽前的速度為：4402－100=120米/秒≠220米/秒；故③錯誤；④小明離家7分鐘時兩人之間的距離為：（7－5）（220－180）=80米，故④正確；⑤小亮從家出門跑了14分鐘后兩人之間的距離為：（14+1－5）（220－180）=400米，小亮返回時與小明相遇的時間為：400（180+220）=1分鐘，故⑤不正確．∴正確的個數(shù)有2個。故答案為：B。 點撥：解答時，靈活運用行程問題的數(shù)量關(guān)系解答是關(guān)鍵。 兩車距離問題 例題 甲乙兩車分別從A、B兩地相向而行，甲車出發(fā)1小時后乙車出發(fā)，并以各自速度勻速行駛，兩車相遇后依然按照原速度原方向各自行駛，如圖所示是甲乙兩車之間的距離s（千米）與甲車出發(fā)時間t（小時）之間的函數(shù)圖象，其中D點表示甲車到達(dá)B地，停止行駛。 （1）A、B兩地的距離　　　　560千米；乙車速度是　　　　100km/h；a表示　　　　　　　　。 （2）乙出發(fā)多長時間后兩車相距330千米？ 解析：（1）根據(jù)圖象，甲出發(fā)時的s值即為A、B兩地間的距離；先求出甲車的速度，設(shè)乙車的速度為xkm/h，再利用相遇問題列出方程求解即可；求出相遇后甲車到達(dá)B地的時間，再根據(jù)路程=速度時間求出兩車的相距距離a；（2）設(shè)直線BC的解析式為s=k1t+b1（k1≠0），利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再令s=330，求出t的值，減去1即為相遇前乙車出發(fā)的時間；設(shè)直線CD的解析式為s=k2t+b2（k2≠0），利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，再令s=330，求出t的值，減去1即為相遇后乙車出發(fā)的時間。 答案：解：（1）當(dāng)t=0時，s=560，所以A、B兩地的距離為560千米；甲車的速度為：（560－440）1=120km/h，設(shè)乙車的速度為xkm/h，則（120+x）（3－1）=440，解得x=100；相遇后甲車到達(dá)B地的時間為：（3－1）100120=小時，所以a=（120+100）=千米；（2）設(shè)直線BC的解析式為s=k1t+b1（k1≠0），將B（1，440），C（3，0）代入得，解得，所以s=－220t+660，當(dāng)－220t+660=330時，解得t=1.5，所以t－1=1.5－1=0.5；設(shè)直線CD的解析式為s=k2t+b2（k2≠0），點D的橫坐標(biāo)為+3=，將C（3，0），D（，）代入，得，解得，所以s=220t－660，當(dāng)220t－660=330時，解得t=4.5，所以，t－1=4.5－1=3.5。 答：乙出發(fā)多長0.5小時或3.5小時后兩車相距330千米。 隱含條件的函數(shù)應(yīng)用 例題 因南方旱情嚴(yán)重，乙水庫的蓄水量以每天相同的速度持續(xù)減少。為緩解旱情，北方甲水庫立即以管道運輸?shù)姆绞浇o予支援。下圖是兩水庫的蓄水量y（萬米3）與時間x（天）之間的函數(shù)圖象。在單位時間內(nèi)，甲水庫的放水量與乙水庫的進(jìn)水量相同（水在排放、接收以及輸送過程中的損耗不計）．通過分析圖象回答下列問題： （1）甲水庫每天的放水量是多少萬立方米？ （2）在第幾天時甲水庫輸出的水開始注入乙水庫？此時乙水庫的蓄水量為多少萬立方米？ （3）求直線AD的解析式。 解析：（1）由甲函數(shù)圖象5天水的減少量即可算出甲每天的放水量；（2）由圖象可以看出，10天后乙水庫蓄水量開始增加，由直線AB的函數(shù)解析式得出A點坐標(biāo)，求出此時乙水庫的蓄水量；（3）要求直線AD的解析式需求出D點坐標(biāo)，甲的排水量為乙的進(jìn)水量，則D的橫坐標(biāo)為15，按等量關(guān)系“15天后乙的蓄水量=10天原有的水量+甲注入的水量－自身排出的水量”求出D點縱坐標(biāo)，再求出函數(shù)解析式。 答案：解：（1）甲水庫每天的放水量為（3000－1000）5=400（萬米3/天）； （2）甲水庫輸出的水第10天時開始注入乙水庫，設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），∵B（0，800），C（5，550）∴，解得，∴直線AB的解析式為：yAB=－50x+800，當(dāng)x=10時，y=300，∴此時乙水庫的蓄水量為300（萬米3）。 答：在第10天時甲水庫輸出的水開始注入乙水庫，此時乙水庫的蓄水量為300萬立方米。 （3）∵甲水庫單位時間的放水量與乙水庫單位時間的進(jìn)水量相同且損耗不計，∴乙水庫的進(jìn)水時間為5天，∵乙水庫15天后的蓄水量為：300+2000－550=2050（萬米3），∵過點A的直線解析式為yAB=－50x+800，∴當(dāng)x=10，y=－500+800=300，∴A（10，300），D（15，2050），設(shè)直線AD的解析式為：y=k1x+b1（k≠0）， ∴，∴ ∴直線AD的解析式為：yAD=350x－3200。 （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1. 小李與小陸從A地出發(fā)，騎自行車沿同一條路行駛到B地，他們離出發(fā)地的距離S（單位：km）和行駛時間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，有下列說法： （1）他們都行駛了20km；（2）小陸全程共用了1.5h；（3）小李與小陸相遇后，小李的速度小于小陸的速度；（4）小李在途中停留了0.5h．其中正確的有（　?。? A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個 2. 為使我市冬季“天更藍(lán)、房更暖”、政府決定實施“煤改氣”供暖改造工程，現(xiàn)甲、乙兩工程隊分別同時開挖兩條600米長的管道，所挖管道長度y（米）與挖掘時間x（天）之間的關(guān)系如圖所示，則下列說法中：①甲隊每天挖100米；②乙隊開挖兩天后，每天挖50米；③當(dāng)x=4時，甲、乙兩隊所挖管道長度相同；④甲隊比乙隊提前2天完成任務(wù)．正確的個數(shù)有（　?。? A. 1個 B. 2個 C. 個 D. 4個 *3. 甲、乙兩車同時從M地出發(fā)，以各自的速度勻速向N地行駛．甲車先到達(dá)N地，停留1h后按原路以另一速度勻速返回，直到兩車相遇，乙車的速度為60km/h。如圖是兩車之間的距離y（km）與乙車行駛時間x（h）之間的函數(shù)圖象。以下結(jié)論正確的是（ ） ①甲車從M地到N地的速度為100km/h；②M、N兩地之間相距120km；③點A的坐標(biāo)為（4，60）；④當(dāng)4≤x≤4.4時，函數(shù)解析式為y=－150x+660；⑤甲車返回時行駛速度為100km/h A. ①②④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①②③ *4. 小文、小亮從學(xué)校出發(fā)到青少年宮參加書法比賽，小文步行一段時間后，小亮騎自行車沿相同路線行進(jìn)，兩人均勻速前行。他們的路程差s（米）與小文出發(fā)時間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。下列說法：①小亮先到達(dá)青少年宮；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a=24；④b=480。其中正確的是（　?。? A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ **5. 已知每一個小時有一列速度相同的動車從甲地開往乙地，圖中OA、MN分別是第一列動車和第二列動車離甲地的路程s（km）與運行時間t（h）的函數(shù)圖象，折線DB－BC是一列從乙地開往甲地速度為100km/h的普通快車距甲地的路程s（km）與運行時間t（h）的函數(shù)圖象。以下說法錯誤的是（　?。? A. 普通快車比第一列動車晚發(fā)車0.5h B. 普通快車比第一列動車晚到達(dá)終點1.5h C. 第二列動車出發(fā)后1h與普通快車相遇 D. 普通快車與迎面的相鄰兩動車相遇的時間間隔為0.7h 二、填空題 *6. 一名考生步行前往考場，10分鐘走了總路程的，估計步行不能準(zhǔn)時到達(dá)，于是他改乘出租車趕往考場，他的行程與時間關(guān)系如圖所示（假定總路程為1），則他到達(dá)考場所花的時間比一直步行提前了　　 　24分鐘。 *7. 有一項工作，由甲、乙合作完成，合作一段時間后，乙改進(jìn)了技術(shù)，提高了工作效率。圖①表示甲、乙合作完成的工作量y（件）與工作時間t（時）的函數(shù)圖象。圖②分別表示甲完成的工作量y甲（件）、乙完成的工作量y乙（件）與工作時間t（時）的函數(shù)圖象，則甲每小時完成　　　　　　　　　　30件，乙提高工作效率后，再工作　　　　　　　　個小時與甲完成的工作量相等。 *8、設(shè)甲、乙兩車在同一直線公路上勻速行駛，開始甲車在乙車的前面，當(dāng)乙車追上甲車后，兩車停下來，把乙車的貨物轉(zhuǎn)給甲車，然后甲車?yán)^續(xù)前行，乙車向原地返回。設(shè)x秒后兩車間的距離為y米，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則甲車的速度是 　　　　　20 米/秒。 **9. 甲乙兩地相距50千米．星期天上午8：00小聰同學(xué)在父親陪同下騎山地車從甲地前往乙地。2小時后，小明的父親騎摩托車沿同一路線也從甲地前往乙地，他們行駛的路程y（千米）與小聰行駛的時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，小明父親出發(fā)　　　　　　小時時，行進(jìn)中的兩車相距8千米。 三、解答題 10. 某工廠加工一批產(chǎn)品，為了提前交貨，規(guī)定每個工人完成100個以內(nèi)，每個產(chǎn)品付酬1.5元；超過100個，超過部分每個產(chǎn)品付酬增加0.3元；超過200個，超過部分除按上述規(guī)定外，每個產(chǎn)品再增加0.4元。求一個工人：（1）完成100個以內(nèi)所得報酬y（元）與產(chǎn)品數(shù)x（個）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）完成100個以上，但不超過200個所得報酬y（元）與產(chǎn)品數(shù)x（個）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）完成200個以上所得報酬y（元）與產(chǎn)品數(shù)x（個）之間的函數(shù)關(guān)系式。 *11. 快、慢兩車分別從相距360千米路程的甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速行駛，先相向而行，快車到達(dá)乙地后，停留1小時，然后按原路原速返回，快車比慢車晚1小時到達(dá)甲地，快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程y（千米）與出發(fā)后所用的時間x（小時）的關(guān)系如圖所示。 請結(jié)合圖象信息解答下列問題： （1）快、慢兩車的速度各是多少？ （2）出發(fā)多少小時，快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程相等？ （3）直接寫出在慢車到達(dá)甲地前，快、慢兩車相距的路程為150千米的次數(shù)。 *12. 快車甲和慢車乙分別從A、B兩站同時出發(fā)，相向而行?？燔嚨竭_(dá)B站后，停留1小時，然后原路原速返回A站，慢車到達(dá)A站即停運休息。下圖表示的是兩車之間的距離y（千米）與行駛時間x（小時）的函數(shù)圖象。請結(jié)合圖象信息。解答下列問題： （1）直接寫出快、慢兩車的速度及A、B兩站間的距離； （2）求快車從B返回A站時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （3）出發(fā)幾小時，兩車相距200千米？請直接寫出答案。  1. A 解析：（1）根據(jù)圖象的縱坐標(biāo)可得：他們都行駛了20km，故原說法正確；（2）根據(jù)圖象可得：小陸全程共用了：2－0.5=1.5h，故原說法正確；（3）根據(jù)圖象可得：小李與小陸相遇后，他們距離目的地有相同的路程，但是小陸用1個小時到B地，小李用1.5個小時到B地，所以小李的速度小于小陸的速度，故原說法正確；（4）根據(jù)圖象可得：表示小李的s－t圖象從0.5時開始到1時結(jié)束，時間在增多，而路程沒有變化，說明此時在停留，停留了1－0.5=0.5小時，故原說法正確。故選A。 2. D 解析：由圖象，得①6006=100米/天，故①正確；②（500－300）4=50米/天，故②正確；③甲隊4天完成的工作量是：1004=400米，乙隊4天完成的工作量是：300+250=400米，∵400=400，∴當(dāng)x=4時，甲、乙兩隊所挖管道長度相同，故③正確；④由圖象得甲隊完成600米的時間是6天，乙隊完成60米的時間是：2+30050=8天，∵8－6=2天，∴甲隊比乙隊提前2天完成任務(wù)，故④正確；故選D。 3. B 解析：設(shè)甲車從M到N地的速度為akm/h，∵3小時后甲乙相距120km，∴3（a－60）=120，∴a=100，所以①正確；∵甲車先到達(dá)N地，停留1h后按原路返回，∴甲到達(dá)N時，甲乙相距最遠(yuǎn)，此時甲行駛了3100=300（km），∴M、N兩地之間相距300km，所以②不正確；∵甲在N地停留1h時，乙行駛了160=60（km），∴4小時后甲乙相距120－60=60（km），∴A點坐標(biāo)為（4，60），所以③正確；設(shè)當(dāng)4≤x≤4.4時，函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），把（4，60）、（4.4，0）代入得，，解得，∴函數(shù)解析式為y=－150x+660（4≤x≤4.4），所以④正確；當(dāng)x=4.4，甲乙相遇，此時乙行駛了4.460=264km，∴甲返回時的速度==90（km/h），所以⑤不正確。故選B。 4. B 解析：由圖象得出小文步行720米，需要9分鐘，所以小文的運動速度為：7209=80（m/t），當(dāng)?shù)?5分鐘時，小亮運動15－9=6（分鐘），運動距離為：1580=1200（m），∴小亮的運動速度為：12006=200（m/t），∴20080=2.5，故②小亮的速度是小文速度的2.5倍正確；當(dāng)?shù)?9分鐘以后兩人之間距離越來越近，說明小亮已經(jīng)到達(dá)終點，故①小亮先到達(dá)青少年宮正確；此時小亮運動19－9=10（分鐘），運動總距離為：10200=2000（m），∴小文運動時間為：200080=25（分鐘），故a的值為25，故③a=24錯誤；∵小文19分鐘運動距離為：1980=1520（m），∴b=2000－1520=480，故④b=480正確．故正確的有：①②④。故選；B。 5. D 解析：A. 第一列動車從O點開始走，而普通快車從B點開始走，即普通快車比第一列動車晚發(fā)車0.5－0=0.5（h），正確，故本選項錯誤；B. 普通快車到達(dá)終點（C）時，對應(yīng)的時間是3.5h，而第一列動車到達(dá)終點（A）時，時間是2h，即3.5h－2h=1.5h，正確，故本選項錯誤；C. 第二列動車和普通快車相遇在E點，第二列動車走了2－1=1（h），正確，故本選項錯誤；D. ∵第二列動車和普通快車相遇在E點，時間2h，第一列動車和普通快車相遇在F點，時間是1.4h，∴2h－1.4h=0.6h，錯誤，故本選項正確；故選D。 6. 24 解析：依題意，步行到考場需要時間為40分鐘，設(shè)乘出租車的路程y與時間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），則，解得，y=x－1，當(dāng)y=1時，x=16，提前時間=40－16=24分鐘。故答案為：24。 7. 30， 解析：設(shè)甲原來每小時做x件，乙每小時作y件，乙提高工作效率后每小時比原來多做a件，由圖象，得，解得：，則甲每小時完成30件；設(shè)乙提高工作效率后再工作m小時與甲完成的工作量相等，由題意，得220+（20+40）m=230+30m，解得：m=，故答案為：30，。 8. 20 解析：設(shè)甲車的速度是a米/秒，乙車的速度為b米/秒，由題意得，，解得：。故答案為20。 9. 或 解析：由圖可知，小聰?shù)乃俣葹椋?63=12千米/時，小明的父親的速度為：36（3－2）=36千米/時，設(shè)小明的父親出發(fā)x小時兩車相距8千米，則小聰出發(fā)的時間為（x+2）小時，根據(jù)題意得，12（x+2）－36x=8或36x－12（x+2）=8，解得x=或x=，所以，出發(fā)或小時時，行進(jìn)中的兩車相距8千米。故答案為：或。 10. 解：（1）y=1.5x （x≤100）；（2）y=1.5x+（x－100）0.3（100＜x≤200）；（3）y=1.5x+（x－100）0.3+（x－200）0.4 （x＞200）。 11. 解：（1）如圖所示：快車一共行駛了7小時，中間停留了1小時，慢車一共行駛了6小時，∵由圖可得出兩地相距360km，∴快車速度為：36026=120（km/h），慢車速度為：3606=60（km/h）； （2）∵快車速度為：120km/h，∴360120=3（h），∴A點坐標(biāo)為；（3，360）∴B點坐標(biāo)為（4，360），可得E點坐標(biāo)為：（6，360），D點坐標(biāo)為：（7，0），∴設(shè)BD解析式為：y=kx+b（k≠0），，解得：，∴BD解析式為：y=－120x+840，設(shè)OE解析式為：y=ax（a≠0），∴360=6a，解得：a=60，∴OE解析式為：y=60x，當(dāng)快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程相等時：60x=－120x+840，解得：x=，答：出發(fā)小時，快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程相等； （3）根據(jù)兩車第一次相遇前可以相距150km，第一次相遇后兩車再次相距150km，當(dāng)快車到達(dá)乙地后返回時兩車可以相距150km，綜上所述：在慢車到達(dá)甲地前，快、慢兩車相距的路程為150千米的次數(shù)是3次。 12. 解：（1）∵從圖上可以看出來10小時時，快車到達(dá)B地，隨后的1個小時，快車在休息，只有慢車在走，它1小時走的路程是880－800=80km，∴慢車的速度是：80km/小時．快車的速度是：680（10－6）=120km/小時；∴兩地之間的距離是：6（120+80）=1200km．答：快車的速度120千米/小時；慢車的速度80千米/小時；A、B兩站間的距離1200千米。 （2）快車從B出發(fā)到慢車到站時，二者的距離減小：（120－80）（15－11）=160千米，則此時兩車的距離是：880－160=720千米，則點Q的坐標(biāo)為（15，720）。設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），由P（11，880），Q（15，720）得1，解得。 故直線PQ的解析式為：y=－40x+1320．設(shè)直線QH的解析式為y=mx+n（m≠0），由Q（15，720），H（21，0）得，解得。 故直線QH的解析式為：y=－120x+2520。 故快車從B返回A站時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝?40x+1320。（11＜x≤15）y＝?120x+2520。（15＜x≤21）。 （3）在相遇前兩車相距200km的時間是：（1200－200）（120+80）=5小時；在兩車相遇后，快車到達(dá)B地前相距200km的時間是：（1200+200）（120+80）=7小時；在慢車到達(dá)A地后，快車在返回A地前相距200km的時間是：11+（1200－200）120=19小時。故出發(fā)5小時或7小時或19小時，兩車相距200千米。