2019高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計 專題能力訓(xùn)練20 概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 理.doc

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專題能力訓(xùn)練20　概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 一、能力突破訓(xùn)練 1.某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30 之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. 2.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù): x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得關(guān)于y與x的線性回歸方程為y^=2.1x+0.85,則m的值為(　　) A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5 3.某市2016年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下: 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(　　) A.19 B.20 C.21.5 D.23 4.(2018全國Ⅱ,理8)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是(　　) A.112 B.114 C.115 D.118 5.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表: 收入x/萬元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y/萬元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程y^=b^x+a^,其中b^=0.76,a^=y-b^ x.據(jù)此估計,該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為(　　) A.11.4萬元 B.11.8萬元 C.12.0萬元 D.12.2萬元 6. 如圖,點A的坐標(biāo)為(1,0),點C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于　　　　. 7.有一個底面圓的半徑為1,高為2的圓柱,點O為這個圓柱底面圓的圓心,在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為　　　　　. 8.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗,則應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取　　　　　件. 9.一輛小客車有5個座位,其座位號為1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號分別為1,2,3,4,5,他們按照座位號從小到大的順序先后上車,乘客P1因身體原因沒有坐1號座位,這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個座位的剩余空位中任意選擇座位. (1)若乘客P1坐到了3號座位,其他乘客按規(guī)則就座,則此時共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐法,請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號填入表中空格處); 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 (2)若乘客P1坐到了2號座位,其他乘客按規(guī)則就座,求乘客P5坐到5號座位的概率. 10.(2018全國Ⅲ,理18)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖: (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由. (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表: 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異? 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 11.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位:t)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(單位:噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖; (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y^=b^x+a^; (3)已知該廠技術(shù)改造前生產(chǎn)100 t甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100 t甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤? (參考數(shù)值:32.5+43+54+64.5=66.5) 二、思維提升訓(xùn)練 12.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖. 根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是(　　) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn) 13.某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價x(單位:元)與每天的銷售量y(單位:個)的統(tǒng)計資料如下表所示:由表可得回歸直線方程y^=b^x+a^中的b^=-4,據(jù)此模型預(yù)測零售價為15元時,每天的銷售量為(　　) x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 A.51個 B.50個 C.49個 D.48個 14.從分別標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　　) A.518 B. C. D. 15.從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn 16.如圖,在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為　　　　　. 17.記集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1和Ω2,若在區(qū)域Ω1內(nèi)任取一點M(x,y),則點M落在區(qū)域Ω2的概率為　　　　　. 18.(2018全國Ⅱ,理18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖. 為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:y^=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:y^=99+17.5t. (1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值; (2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由. 19.A,B,C三個班共有100名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時): A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)試估計C班的學(xué)生人數(shù); (2)從A班和C班抽出的學(xué)生中,各隨機選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相互獨立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率; (3)再從A,B,C三個班中各隨機抽取一名學(xué)生,他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位:小時),這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0,試判斷μ0和μ1的大小.(結(jié)論不要求證明) 20.某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生視力情況進行調(diào)查,在高三的全體1 000名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生的體檢表,并得到如下直方圖: (1)若直方圖中前三組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù); (2)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn),學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生,近視的比較多,為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系,對年級名次在1~50名和951~1 000名的學(xué)生進行了調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù): 　　　年級名次 是否近視　　　 1~50 951~1 000 近視 41 32 不近視 9 18 根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系? (3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中,按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人,進一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣,并且在這9人中任取3人,記名次在1~50名的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 附: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.  專題能力訓(xùn)練20　概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 一、能力突破訓(xùn)練 1.B　解析 這是幾何概型問題,總的基本事件空間如圖所示,共40分鐘,等車時間不超過10分鐘的時間段為7:50至8:00和8:20至8:30,共20分鐘,故他等車時間不超過10分鐘的概率為P=2040=12,故選B. 2.D　解析 由題意,得x=1.5,y=14(m+3+5.5+7)=m+15.54,將(x,y)代入線性回歸方程y^=2.1x+0.85,得m=0.5. 3.B　解析 由莖葉圖可知,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為20+202=20. 4.C　解析 不超過30的素數(shù)有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10個.其中和為30的有7+23,11+19,13+17共3種情況,故P=3C102=115. 5.B　解析 ∵x=8.2+8.6+10+11.3+11.95=10,y=6.2+7.5+8+8.5+9.85=8, ∴a^=y-0.76x=8-0.7610=0.4. ∴y^=0.76x+0.4. 當(dāng)x=15時,y^=0.7615+0.4=11.8. 6.512　解析 ∵S陰影=12 (4-x2)dx=,S矩形ABCD=4, ∴P=S陰影S矩形ABCD=512. 7.23　解析 設(shè)“點P到點O的距離大于1”為事件A,則A表示事件“點P到點O的距離小于或等于1”.在圓柱內(nèi)以O(shè)為球心,以1為半徑作半球,則半球的體積V半球=124π313=2π3, 又V圓柱=π122=2π,由幾何概型,P(A)=V半球V圓柱=13.故所求事件A的概率P(A)=1-P(A)=1-13=23. 8.18　解析 抽取比例為601 000=350,故應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取300350=18(件),答案為18. 9.解 (1)當(dāng)乘客P1坐在3號位置上,此時P2的位置沒有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可選剩下的任何一個座位,即可選1,4,5;當(dāng)P3選1位置,P4位置沒被占,只能選4位置,P5選剩下的,只有一種情況;當(dāng)P3選4位置,P4可選5位置也可選1位置,P5選剩下的,有兩種情況;當(dāng)P3選5位置,P4只可選4位置,P5選剩下的,有一種情況,填表如下: 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 (2)若乘客P1坐到了2號座位,其他乘客按規(guī)則就坐,則所有可能的坐法可用下表表示: 于是,所有可能的坐法共8種. 設(shè)“乘客P5坐到5號座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個數(shù)為4,所以P(A)=48=12. 所以乘客P5坐到5號座位的概率是12. 10.解 (1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 理由如下: ①由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. ②由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. ③由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. ④由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分. (2)由莖葉圖知m=79+812=80. 列聯(lián)表如下: 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)由于K2=40(1515-55)220202020=10>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異. 11.解 (1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù),可得散點圖如圖. (2)由對照數(shù)據(jù),計算得∑i=14xi2=86,x=3+4+5+64=4.5(t),y=2.5+3+4+4.54=3.5(t). 已知∑i=14xiyi=66.5, 所以由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為 b^=∑i=14xiyi-4xy∑i=14xi2-4x2=66.5-44.53.586-44.52=0.7, a^=y-b^x=3.5-0.74.5=0.35. 因此,所求的線性回歸方程為y^=0.7x+0.35. (3)由(2)的回歸方程及技術(shù)改造前生產(chǎn)100 t甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗,得降低的生產(chǎn)能耗為90-(0.7100+0.35)=19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤). 二、思維提升訓(xùn)練 12.A　解析 由題圖可知2014年8月到9月的月接待游客量在減少,故A錯誤. 13.C　解析 由題意知x=17.5,y=39,代入回歸直線方程得a^=109,即得回歸直線方程y^=-4x+109,將x=15代入回歸方程,得y^=-415+109=49,故選C. 14.C　解析 從分別標(biāo)有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張,共有A92種不同情況.其中2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的有(A51A41+A41A51)種情況,則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率P=A51A41+A41A51A92=59.故選C. 15.C　解析 利用幾何概型求解,由題意可知,14S圓S正方形=14π1212=mn,所以π=4mn. 16.2e2　解析 ∵S陰=201 (e-ex)dx=2(ex-ex)|01=2,S正方形=e2,∴P=2e2. 17.12π　解析 作圓O:x2+y2=4,區(qū)域Ω1就是圓O內(nèi)部(含邊界),其面積為4π. 區(qū)域Ω2就是圖中△OAB內(nèi)部(含邊界),且S△OAB=1222=2. 由幾何概型,點M落在區(qū)域Ω2的概率P=S△OABS圓O=12π. 18.解 (1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y^=-30.4+13.519=226.1(億元). 利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y^=99+17.59=256.5(億元). (2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠. 理由如下: (i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y^=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠. (ii)從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠. (以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) 19.解 (1)由題意知,抽出的20名學(xué)生中,來自C班的學(xué)生有8名.根據(jù)分層抽樣方法,C班的學(xué)生人數(shù)估計為100820=40. (2)設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”,i=1,2,…,5, 事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”,j=1,2,…,8. 由題意可知,P(Ai)=15,i=1,2,…,5;P(Cj)=18,j=1,2,…,8. P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=1518=140,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8. 設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”. 由題意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4. 因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15140=38. (3)μ1<μ0. 20.解 (1)設(shè)各組的頻率為fi(i=1,2,3,4,5,6), 由前三組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,可得前三組的頻率成等比數(shù)列,后四組的頻率成等差數(shù)列,則f1=0.150.2=0.03,f2=0.450.2=0.09,f3=f22f1=0.27, 所以由(f3+f6)42=1-(0.03+0.09)得f6=0.17,所以視力在5.0以下的頻率為1-0.17=0.83, 故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為1 0000.83=830. (2)K2的觀測值k=100(4118-329)250507327=30073≈4.110>3.841. 因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系. (3)依題意9人中年級名次在1~50名和951~1 000名分別有3人和6人, X可取0,1,2,3, P(X=0)=C63C93=521;P(X=1)=C62C31C93=1528, P(X=2)=C61C32C93=314;P(X=3)=C33C93=184. X的分布列為 X 0 1 2 3 P 521 1528 314 184 X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0521+11528+2314+3184=1.