九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專(zhuān)題突破講練 利用二次函數(shù)設(shè)計(jì)方案試題 （新版）青島版.doc
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利用二次函數(shù)設(shè)計(jì)方案 利用二次函數(shù)設(shè)計(jì)方案 這類(lèi)問(wèn)題常常給出問(wèn)題情景與解決問(wèn)題的要求，讓學(xué)生設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的方案，或給出多種不同方案，讓學(xué)生判斷它們的優(yōu)劣。 這類(lèi)試題不僅要求學(xué)生要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)雙基知識(shí)，而且要能夠把實(shí)際問(wèn)題中所涉及的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象成具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題。解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找相等關(guān)系，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題。 方法歸納： 從方法上分兩類(lèi)進(jìn)行概括： （1）方案已知，要求選優(yōu)； （2）先求方案，再選最優(yōu)。 總結(jié)： 1. 能夠利用二次函數(shù)解決施工方案、銷(xiāo)售方案等實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。 2. 能夠利用二次函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計(jì)，解決較為復(fù)雜的應(yīng)用問(wèn)題。 例題1 今年，6月12日為端午節(jié)。在端午節(jié)前夕，三位同學(xué)到某超市調(diào)研一種進(jìn)價(jià)為2元的粽子的銷(xiāo)售情況。請(qǐng)根據(jù)小麗提供的信息，解答小華和小明提出的問(wèn)題。 （1）小華的問(wèn)題解答：__________。 （2）小明的問(wèn)題解答：__________。 解析：本題是以對(duì)話的形式給出的，首先應(yīng)明確已知和所求，再根據(jù)題意建立二次函數(shù)關(guān)系模型，利用二次函數(shù)的最值進(jìn)行解答。 答案：解：（1）設(shè)實(shí)現(xiàn)每天800元利潤(rùn)的定價(jià)為x元/個(gè)，根據(jù)題意，得（x－2）（500－10）＝800。整理得：x2－10x＋24＝0，解之得：x1＝4，x2＝6?！呶飪r(jià)局規(guī)定，售價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的240%，即2240%＝4.8（元），∴x2＝6不合題意，舍去，得x＝4。答：應(yīng)定價(jià)4元/個(gè)，才可獲得800元的利潤(rùn)。 （2）設(shè)每天利潤(rùn)為W元，定價(jià)為x元/個(gè)，得W＝（x－2）（500－10）＝－100x2＋1000x－1600＝－100（x－5）2＋900?！選≤5時(shí)W隨x的增大而增大，且x≤4.8，∴當(dāng)x＝4.8時(shí)，W最大＝－100（4.8－5）2＋900＝896＞800。故800元不是最大利潤(rùn)，當(dāng)定價(jià)為4.8元/個(gè)時(shí)，每天利潤(rùn)最大。 點(diǎn)撥：本題主要考查利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力。要先根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)關(guān)系式求值。注意：數(shù)學(xué)應(yīng)用題來(lái)源于實(shí)踐并應(yīng)用于實(shí)踐，在當(dāng)今社會(huì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，應(yīng)掌握一些有關(guān)商品價(jià)格和利潤(rùn)的知識(shí)。 例題2 某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營(yíng)銷(xiāo)階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為250件，銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天的銷(xiāo)售量就減少10件。 （1）寫(xiě)出商場(chǎng)銷(xiāo)售這種文具，每天所得的銷(xiāo)售利潤(rùn)w（元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大； （3）商場(chǎng)的營(yíng)銷(xiāo)部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營(yíng)銷(xiāo)方案：方案A：該文具的銷(xiāo)售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)30元；方案B：每天銷(xiāo)售量不少于10件，且每件文具的利潤(rùn)至少為25元。請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高，并說(shuō)明理由。 解析：本題可根據(jù)總利潤(rùn)＝（銷(xiāo)售價(jià)－進(jìn)價(jià)）銷(xiāo)售量來(lái)確立函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是第（3）題，求兩種方案的最大利潤(rùn)時(shí)，不一定是二次函數(shù)頂點(diǎn)處的最值，可畫(huà)出圖形，結(jié)合二次函數(shù)的圖象解答。 答案：（1）w＝（x－20）[250－10（x－25）]＝－10x2＋700x－10000； （2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250， 所以，當(dāng)x＝35時(shí)，w有最大值2250， 即銷(xiāo)售單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大。 （3）方案A：由題意可得20＜x≤30， 因?yàn)閍＝－10＜0，對(duì)稱軸為x＝35，所以該拋物線開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，所以當(dāng)x＝30時(shí)，w取得最大值為w＝－10（30－35）2＋2250＝2000（元）。 方案B：由題意可得，解得：45≤x≤49。 在對(duì)稱軸右側(cè)，w隨x的增大而減小， 所以當(dāng)x＝45時(shí)，w取得最大值為w＝－10（45－35）2＋2250＝1250（元）。 因?yàn)?000＞1250，所以選擇方案A。 點(diǎn)撥：這是一類(lèi)比較簡(jiǎn)單的方案設(shè)計(jì)問(wèn)題，確切地講，方案不需要設(shè)計(jì)，題目已經(jīng)給出具體方案。解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是對(duì)所給方案進(jìn)行比較，找出合適的、合理的方案。從二次函數(shù)的應(yīng)用這個(gè)角度講，本題主要考查了利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求二次函數(shù)的最值，特別是非頂點(diǎn)處的最值。 有些方案設(shè)計(jì)問(wèn)題其本質(zhì)就是求滿足某種特殊要求的自變量的取值或函數(shù)值。解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)的解題策略與一般的函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題相同，需要特別注意的是自變量和函數(shù)值的特殊要求，這往往表現(xiàn)在自變量或函數(shù)值是整數(shù)、正整數(shù)等。 例 某小區(qū)有一長(zhǎng)100m，寬80m的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場(chǎng)，設(shè)計(jì)圖案如圖所示，陰影區(qū)域?yàn)榫G化區(qū)（四塊綠化區(qū)是全等矩形），空白區(qū)域?yàn)榛顒?dòng)區(qū)，且四周出口一樣寬，寬度不小于50m，不大于60m。預(yù)計(jì)活動(dòng)區(qū)每平方米造價(jià)60元，綠化區(qū)每平方米造價(jià)50元。 （1）設(shè)其中一塊綠化區(qū)的長(zhǎng)邊長(zhǎng)為x m，寫(xiě)出工程總造價(jià)y（元）與x（m）的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出x的取值范圍）； （2）如果小區(qū)投資46.9萬(wàn)元，問(wèn)能否完成工程任務(wù)？若能，請(qǐng)寫(xiě)出x為整數(shù)的所有工程方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（參考數(shù)據(jù)：≈1.732） 答案：解：（1）因?yàn)槌隹趯挒椋?00－2x），所以一塊綠化區(qū)的短邊長(zhǎng)為[80－（100－2x）]＝（x－10），所以y＝504x（x－10）＋60[10080－4x（x－10）]＝200x2－2000x＋480000－240x2＋2400x，所以y＝－40x2＋400x＋480000（20≤x≤25）。 （2）能。因?yàn)椋?0x2＋400x＋480000＝469000，所以x2－10x－275＝0，所以x＝＝510。所以x1＝5＋10≈22.32，x2=5－10－12.32（舍去），所以投資46.9萬(wàn)元能完成工程任務(wù)。 因?yàn)閥＝－40x2＋400x＋480000（20≤x≤25）的對(duì)稱軸是x＝－＝5，又因?yàn)榇藪佄锞€開(kāi)口向下，所以在20≤x≤25內(nèi)y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x≥22.32時(shí)投資46.9萬(wàn)元能夠完成工程任務(wù)，x為整數(shù)的工程方案如下： 方案一：一塊矩形綠化區(qū)的長(zhǎng)為23m，寬為13m； 方案二：一塊矩形綠化區(qū)的長(zhǎng)為24m，寬為14m； 方案三：一塊矩形綠化區(qū)的長(zhǎng)為25m，寬為15m。 點(diǎn)撥：本題是確定函數(shù)關(guān)系式及利用函數(shù)的性質(zhì)設(shè)計(jì)工程方案的問(wèn)題。解題過(guò)程中應(yīng)理解：①工程總造價(jià)包括綠化區(qū)造價(jià)和活動(dòng)區(qū)造價(jià)兩部分；②根據(jù)投資額得出方程，結(jié)合圖象的性質(zhì)求出完成工程任務(wù)的所有方案。 一、選擇題 1. 喜迎圣誕，某商店銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為50元/件的商品，售價(jià)為60元/件，每星期可賣(mài)出200件，若每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每星期就會(huì)少賣(mài)出10件。設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每星期銷(xiāo)售該商品的利潤(rùn)為y元，則y與x的函數(shù)解析式為（ ） A. y＝－10x2＋100x＋2000 B. y＝10x2＋100x＋2000 C. y＝－10x2＋200x D. y＝－10x2－100x＋2000 *2. 生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，當(dāng)它的產(chǎn)品無(wú)利潤(rùn)時(shí)就會(huì)及時(shí)停產(chǎn)，現(xiàn)有一生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，一年中獲得利潤(rùn)y與月份n之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝－n2＋15n－36，那么該企業(yè)一年中應(yīng)停產(chǎn)的月份是（ ） A. 1月，2月 B. 1月，2月，3月 C. 3月，12月 D. 1月，2月，3月，12月 *3. 某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次。第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)76件，每件利潤(rùn)10元。每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)增加2元，但一天產(chǎn)量減少4件。該工廠一天能獲得的最大利潤(rùn)是（ ） A. 1120元 B. 1144元 C. 1152元 D. 1160元 **4. 某企業(yè)投資100萬(wàn)元引進(jìn)一條新產(chǎn)品加工線，若不計(jì)維修、保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計(jì)投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬(wàn)元，該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y萬(wàn)元，其情況如圖所示，可以看出圖中的折線近似于過(guò)原點(diǎn)的拋物線的一部分。則該公司第幾年可以收回投資并開(kāi)始贏利（ ） A. 第3年 B. 第4年 C. 第5年 D. 第6年 二、填空題 *5. 李大伯第一次種植大棚菜，在塑料大棚內(nèi)密植了100棵黃瓜秧，收獲時(shí)，每棵黃瓜秧平均只收獲2千克黃瓜，聽(tīng)說(shuō)鄰居每棵黃瓜秧可收獲近5千克黃瓜，他便向縣農(nóng)業(yè)技術(shù)員請(qǐng)教，農(nóng)業(yè)技術(shù)員查看了情況后說(shuō)：種植太密，不通風(fēng)，并告訴他如何改進(jìn)。已知每少栽一棵秧苗，一棵黃瓜秧平均可多收0.1千克黃瓜，那么請(qǐng)你幫李伯伯計(jì)算減少__________棵黃瓜秧苗收獲最多，最多收獲__________千克。 **6. 某種消費(fèi)品每件60元，不收附加稅時(shí)，每年大約銷(xiāo)售80萬(wàn)件，若政府收附加稅時(shí)，每銷(xiāo)售100元要征稅x元（叫做稅率x%），則每年銷(xiāo)售量將減少x萬(wàn)件，要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中收取的稅金不少于128萬(wàn)元，問(wèn)稅率x%的范圍是__________，當(dāng)稅率x%＝__________時(shí)，所收取的稅金最多，為_(kāi)_________萬(wàn)元。 **7. 某旅行社有100張床位，每床每日收費(fèi)10元，客床可全部租出，若每床每日收費(fèi)提高2元，則租出床位減少10張。若每床每日收費(fèi)再提高2元，則租出床位再減少10張。以每提高2元的這種方法變化下去，為了投資少而獲利大，每床每日應(yīng)提高_(dá)_________元。 **8. 某工廠要趕制一批抗震救災(zāi)用的大型活動(dòng)板房。如圖，板房一面的形狀是由矩形和拋物線的一部分組成，矩形長(zhǎng)為12m，拋物線拱高為5.6m?，F(xiàn)需在拋物線AOB的區(qū)域內(nèi)安裝幾扇窗戶，窗戶的底邊在AB上，每扇窗戶寬1.5m，高1.6m，相鄰窗戶之間的間距均為0.8m，左右兩邊窗戶的窗角所在的點(diǎn)到拋物線的水平距離至少為0.8m。最多可安裝__________扇這樣的窗戶。（參考數(shù)據(jù)：≈5.072） 三、解答題 9. 某商場(chǎng)以100元一件的價(jià)格進(jìn)一批服裝，若將售價(jià)定為120元一件，則每天可賣(mài)120件，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)每增加5元，則每天會(huì)少賣(mài)10件，那么商場(chǎng)將售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 10. 某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一種每件價(jià)格為100元的新商品，在商場(chǎng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)x（元/件）與每天銷(xiāo)售量y（件）之間滿足如圖所示的關(guān)系： （1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）寫(xiě)出每天的利潤(rùn)W與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；若你是商場(chǎng)負(fù)責(zé)人，會(huì)將售價(jià)定為多少，來(lái)保證每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？ **11. 某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具，購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷(xiāo)售單價(jià)是40元時(shí)，銷(xiāo)售量是600件，而銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元，就會(huì)少售出10件玩具。 （1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷(xiāo)售單價(jià)為x元（x＞40），請(qǐng)你分別用x的代數(shù)式來(lái)表示銷(xiāo)售量y件和銷(xiāo)售該品牌玩具獲得的利潤(rùn)w元，并把結(jié)果填寫(xiě)在表格中： 銷(xiāo)售單價(jià)（元） x 銷(xiāo)售量y（件） __________ 銷(xiāo)售玩具獲得利潤(rùn)w（元） __________ （2）在（1）問(wèn)條件下，若商場(chǎng)獲得了10000元銷(xiāo)售利潤(rùn)，求該玩具銷(xiāo)售單價(jià)x應(yīng)定為多少元。 （3）在（1）問(wèn)條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷(xiāo)售單價(jià)不低于44元，且商場(chǎng)要完成不少于540件的銷(xiāo)售任務(wù)，求商場(chǎng)銷(xiāo)售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少？ **12. 為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷(xiāo)售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)。李明按照相關(guān)政策投資銷(xiāo)售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈。已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y＝－10x＋500。 （1）李明在開(kāi)始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷(xiāo)售單價(jià)定為20元，那么這個(gè)月政府為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？ （2）設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為w（元），當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？ （3）物價(jià)部門(mén)規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于25元。如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于3000元，那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？ 一、選擇題 1. A 解析：設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），則每件商品的利潤(rùn)為：（60－50＋x）元，總銷(xiāo)量為：（200－10x）件，商品利潤(rùn)為：y＝（60－50＋x）（200－10x）＝（10＋x）（200－10x）＝－10x2＋100x＋2000。故選：A。 *2. D 解析：令y＝0，則－n2＋15n－36＝0，∴n2－15n＋36＝0，解得n1＝3，n2＝12，∵a＝－1＜0，∴拋物線開(kāi)口向下，∴n＝1和n＝2時(shí)，y＜0，∴該企業(yè)一年中應(yīng)停產(chǎn)的月份是1月，2月，3月，12月。故選D。 *3. C 解析：設(shè)生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為y元（其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10），則y＝[10＋2（x－1）][76－4（x－1）]＝－8x2＋128x＋640＝－8（x－8）2＋1152，所以生產(chǎn)第8檔次的產(chǎn)品一天能獲得最大利潤(rùn)1152元。 **4. B 解析：因?yàn)榇藪佄锞€過(guò)原點(diǎn)，所以設(shè)其解析式為y＝ax2＋bx。由題意可知，x＝1時(shí)，y＝1.5；x＝2時(shí)，y＝5，分別代入y＝ax2＋bx，得，解得a＝1，b＝，∴y＝x2＋x。設(shè)g＝33x－100－x2－x，則g＝－x2＋32x－100。當(dāng)x＝3時(shí)，g＝－9＋3－100＜0，當(dāng)x＝4時(shí)，g＝－16＋130－100＝14（萬(wàn)元），即第4年可收回投資并開(kāi)始贏利。 二、填空題 *5. 40，360 解析：設(shè)減少x棵黃瓜秧苗，使得黃瓜收獲最多，由題意得：y＝（100－x）（0.1＋2）＝－0.1x2＋8x＋200＝－0.1（x－40）2＋360，∴當(dāng)x＝40棵時(shí)，y最多＝360千克。故答案為：40，360。 **6. 4%≤x%≤8%，6%，144 解析：設(shè)收取的稅金為y萬(wàn)元，則y＝（80－x）60＝－4x2＋48x＝－4（x－6）2＋144。解－4x2＋48x＝128，得x1＝4，x2＝8，因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向下，所以當(dāng)4≤x≤8時(shí)，y≥128，即稅金不少于128萬(wàn)元時(shí)稅率x%的范圍是4%≤x%≤8%。當(dāng)x＝6時(shí)，y最大＝144，即當(dāng)稅率x%＝6%時(shí)收取的稅金最多，為144萬(wàn)元。 依題意有：征附加稅x元（叫做稅率x%），每年銷(xiāo)售量將減少x萬(wàn)件，則銷(xiāo)量變?yōu)椋?0－x）萬(wàn)件，要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅額不少于128萬(wàn)元，可以建立如下不等式：（80－x）60≥128，解得：4≤x≤8?！?%≤x%≤8%，W＝（80－x）60＝－4x2+48x，當(dāng)x＝－＝6時(shí)，W最大＝144。 **7. 6 解析：設(shè)每床每日應(yīng)提高x元，每日獲利為y元，則y＝（10＋x）（100－10）＝－5（x－5）2＋1125（2＜x＜10），∵a＝－5＜0，∴函數(shù)圖象開(kāi)口向下，二次函數(shù)有最大值，∴為了投資少而獲利大，當(dāng)x＝6時(shí)，每日獲利y最大。故填6元。注意本題是以每提高2元的方案進(jìn)行的，雖然x＝4和x＝6都獲利大，但當(dāng)x＝4時(shí)租出的床位數(shù)大于x＝6時(shí)租出的床位數(shù)，投資會(huì)多一些，所以當(dāng)x＝6時(shí)投資少而獲利大。 **8. 4 解析：設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2，點(diǎn)B（6，－5.6）在拋物線的圖象上。∴－5.6＝36a，解得a＝－，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2。設(shè)窗戶上邊所在直線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（k，t），已知窗戶高1.6m，∴t＝－5.6+（1.6）＝－4，有－4＝－k2，解得k＝5.07（負(fù)值舍去），∴CD＝5.072＝10.14m，又設(shè)最多可安裝n扇窗戶，∴1.5n＋0.8（n＋1）≤10.14，解得n≤4.06。即最多可安裝4扇窗戶。 三、解答題 9. 解：設(shè)每天銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元，而售價(jià)為x元，則由題意得y＝（x－100）（120－10）＝－2x2＋560x－36000（100下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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