2014-2015學年下學期高二數學 課時作業(yè)9 （新人教A版選修2-2）

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1、 課時作業(yè)(九) 一、選擇題 1．函數f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的極值點的個數(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．1 C．0 D．由a確定 答案　C 解析　f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0恒成立．f(x)單調，故無極值點． 2．函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導數f′(x)在(a，b)內的圖像如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a，b)內有極小值點(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案　A 解析　導數的圖像看符號，先負后正的分界點為極小值點． 3．若函數y＝ex＋mx有極值，

2、則實數m的取值范圍(　　) A．m>0 B．m<0 C．m>1 D．m<1 - 1 - / 13 答案　B 解析　y′＝ex＋m，則ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0. 4．當函數y＝x2x取極小值時，x＝(　　) A. B．－ C．－ln2 D．ln2 答案　B 解析　由y＝x2x，得y′＝2x＋x2xln2. 令y′＝0，得2x(1＋xln2)＝0. ∵2x＞0，∴x＝－. 5．函數f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)內有極小值，則(　　) A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜ 答案　A 解析　f(x)在(0,1

3、)內有極小值，則f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先負后正，∴f′(0)＝－3b＜0. ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1. 綜上，b的范圍為0＜b＜1. 6．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(　　) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜0 C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6 答案　D 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)， ∵f(x)有極大值和極小值， ∴f′(x)＝0有兩個不等實根． ∴Δ＝4a2－43(a＋6)＞0，即(a－6)(a＋3)＞0， 解得a＞6或a＜－3. 7．已知函數f(

4、x)＝x3－px2－qx的圖像與x軸相切于(1,0)，則極小值為(　　) A．0 B．－ C．－ D．1 答案　A 解析　f′(x)＝3x2－2px－q， 由題知f′(1)＝3－2p－q＝0. 又f(1)＝1－p－q＝0， 聯(lián)立方程組，解得p＝2，q＝－1. ∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1. 由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0， 解得x＝1或x＝. 經檢驗知x＝1是函數的極小值點． ∴f(x)極小值＝f(1)＝0. 8．三次函數當x＝1時，有極大值4，當x＝3時，有極小值0，且函數圖像過原點，則此函數可能是(　　) A．y＝

5、x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x 答案　B 解析　三次函數過原點，且四個選項中函數的最高次項系數均為1， ∴此函數可設為f(x)＝x3＋bx2＋cx. 則f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由題設知 解得 ∴f(x)＝x3－6x2＋9x. ∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)． 可以驗證當x＝1時，函數取得極大值4；當x＝3時，函數取得極小值0，滿足條件． 9．設f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1處均有極值，則下列點中一定在x軸上的是(　　) A．(

6、a，b) B．(a，c) C．(b，c) D．(a＋b，c) 答案　A 解析　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由題意知x＝1和x＝－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的兩根，則1－1＝－，得b＝0. 二、填空題 10．若函數f(x)＝在x＝1處取得極值，則a＝________. 答案　3 解析　f′(x)＝ ＝＝， 因為函數f(x)在x＝1處取得極值， 所以f′(1)＝＝0，解得a＝3. 11．設函數f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則c＝________. 答案　6 解析　f′(x)＝3x2－4cx＋c2， ∵f(x)在x＝2處有極大值，

7、∴f′(2)＝0，即 c2－8c＋12＝0，解得c1＝2，c2＝6. 當c＝2時，則f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)． 當x＞2時，f′(x)＞0，f(x)遞增不合題意， ∴c≠2，∴c＝6. 12．已知函數f(x)＝x3＋bx2＋cx，其導函數y＝f′(x)的圖像經過點(1,0)，(2,0)，如圖所示，則下列說法中不正確的編號是________．(寫出所有不正確說法的編號) (1)當x＝時函數取得極小值； (2)f(x)有兩個極值點； (3)c＝6； (4)當x＝1時函數取得極大值． 答案　(1) 解析　f′(x)的符號為正→負→正，

8、 則f(x)的單調性為增→減→增． 草圖如右圖． 三、解答題 13．設x＝1和x＝2是函數f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個極值點． (1)求a和b的值； (2)求f(x)的單調區(qū)間． 解析　(1)f′(x)＝5x4＋3ax2＋b， 由題意知f′(1)＝5＋3a＋b＝0， f′(2)＝245＋223a＋b＝0. 解得a＝－，b＝20. (2)由(1)知f′(x)＝5x4－25x2＋20＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)． 當x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)時，f′(x)>0， 當x∈(－2，－1)∪(1,2)時，

9、f′(x)<0. 因此，f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，－2)，(－1,1)，(2，＋∞)；f(x)的單調遞減區(qū)間是(－2，－1)，(1,2)． 14．一個三次函數y＝f(x)，當x＝3時取得極小值y＝0，又在此函數的曲線上點(1,8)處的切線經過點(3,0)，求函數f(x)的表達式． 解析　由題意，點(3,0)在曲線上，故可設y＝a(x－3)3＋b(x－3)2＋c(x－3)． ∵當x＝3時，y取得極小值，∴y′|x＝3＝0. 而y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)＋c，把x＝3代入得c＝0. ∴y＝a(x－3)3＋b(x－3)2， y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)．

10、∵曲線過點(1,8)，∴－8a＋4b＝8.① ∵曲線在點(1,8)處的切線經過點(3,0)， ∴該切線的斜率k＝＝－4. 另一方面，應有k＝y(tǒng)′|x＝1， 從而12a－4b＝－4.② 由①②兩式解得a＝1，b＝4. ∴y＝(x－3)3＋4(x－3)2，即y＝x3－5x2＋3x＋9. 15．已知函數f(x)＝x2－alnx(a∈R) (1)當a＝1時，求函數f(x)在點x＝1處的切線方程； (2)求函數f(x)的極值； (3)若函數f(x)在區(qū)間(2，＋∞)上是增函數，試確定a的取值范圍． 解析　(1)當a＝1時，f(x)＝x2－lnx，f′(x)＝2x－， f′

11、(1)＝1，又f(1)＝1，∴切線方程為y＝x. (2)定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2x－，當a≤0時，f′(x)>0恒成立，f(x)不存在極值． 當a>0時，令f′(x)＝0，得x＝，當x>時，f′(x)>0，當x<時，f′(x)<0, ∴當x＝時，f(x)有極小值－ln. (3)∵f(x)在(2，＋∞)上遞增，∴f′(x)＝2x－≥0對x∈(2，＋∞)恒成立，即a≤2x2恒成立．∴a≤8. 16．求函數f(x)＝的極值． 分析　首先確定函數的定義域，然后求出函數的導數，利用函數極值的定義求出函數的極值點，進而求出極值． 解析　函數f(x)＝的定義域為(0，＋∞)， 由導

12、數公式表和求導法則，得f′(x)＝. 令f′(x)＝0，解得x＝e. 下面分兩種情況討論： (1)當f′(x)>0時，0e. 當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)  ↘ 故當x＝e時函數取得極大值，且極大值為f(e)＝. 17．已知函數f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x. (1)當a＝時，求f(x)的極值； (2)若f(x)在(－1,1)上是增函數，求a的取值范圍． 解析　(1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2

13、＋3ax－1)． 當a＝時，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，f(x)在(－∞，－2)內單調減，在(－2，＋∞)內單調增，在x＝－2時，f(x)有極小值． 所以f(－2)＝－12是f(x)的極小值． (2)在(－1,1)上，f(x)單調增加，當且僅當f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，即3ax2＋3ax－1≤0，① (ⅰ)當a＝0時①恒成立； (ⅱ)當a＞0時①成立，當且僅當3a12＋3a1－1≤0. 解得a≤. (ⅲ)當a＜0時①成立，即3a(x＋)2－－1≤0成立，當且僅當－－1≤0.解得a≥－. 綜上，a的取值范圍是[－，]． ?重點班選做

14、題 18．已知函數f(x)＝x3－x2＋(a＋1)x＋1，其中a為實數． (1)已知函數f(x)在x＝1處取得極值，求a的值； (2)已知不等式f′(x)>x2－x－a＋1對任意a∈(0，＋∞)都成立，求實數x的取值范圍． 解析　(1)f′(x)＝ax2－3x＋a＋1， 由于函數f(x)在x＝1時取得極值，所以f′(1)＝0，即a－3＋a＋1＝0，∴a＝1. (2)方法一　由題設知：ax2－3x＋a＋1>x2－x－a＋1對任意a∈(0，＋∞)都成立， 即a(x2＋2)－x2－2x>0對任意a∈(0，＋∞)都成立． 設g(a)＝a(x2＋2)－x2－2x(a∈R)，則對任意x∈R

15、，g(a)為單調遞增函數(a∈R)． 所以對任意a∈(0，＋∞)，g(a)>0恒成立的充分必要條件是g(0)≥0，即－x2－2x≥0，∴－2≤x≤0. 于是x的取值范圍是{x|－2≤x≤0}． 方法二　由題設知：ax2－3x＋a＋1>x2－x－a＋1對任意a∈(0，＋∞)都成立， 即a(x2＋2)－x2－2x>0對任意a∈(0，＋∞)都成立． 于是a>對任意a∈(0，＋∞)都成立，即≤0.所以－2≤x≤0. 所以x的取值范圍是{x|－2≤x≤0}． 1．已知函數f(x)在點x0處連續(xù)，下列命題中，正確的是(　　) A．導數為零的點一定是極值點 B．如果在點x0附近

16、的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，那么f(x0)是極小值 C．如果在點x0附近的左側f′(x)＞0，右側f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值 D．如果在點x0附近的左側f′(x)＜0，右側f′(x)＞0，那么f(x0)是極大值 答案　C 2．根據圖像指出下列函數的極值點． ①y＝x＋(x≠0)； ②y＝|lg|x－1||. 答案　①(2,4)極小值點，(－2，－4)極大值點． ②(0,0)，(2,0)極小值點． 3．求函數y＝的極值． 解析　∵函數的定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2. ∴當x變化時，y′，y的變化情況如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) (1,2) 2 (2，＋∞) y′ ＋ 0 － ＋ 0 ＋ y  極大值 ↘  非極值  故當x＝－1時，y有極大值，為－. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！