八年級數(shù)學(xué)下冊 專題突破講練 利用不等式解決實際問題試題 （新版）青島版.doc

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利用不等式解決實際問題 一、利用不等式解決實際問題 利用一元一次不等式解決實際問題的基本步驟與利用一元一次方程解決實際問題的基本步驟類似，即： 第一步：審 認真審題，分清已知量、未知量之間的關(guān)系，找出符合題目全部意義的不等關(guān)系，要抓住題目中的關(guān)鍵字眼，如：“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等； 第二步：設(shè) 設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，一般是直接設(shè)未知數(shù)，也可根據(jù)題目實際間接設(shè)未知數(shù)； 第三步：列 根據(jù)找出的不等關(guān)系，列出不等式； 第四步：解 解出所列的不等式； 第五步：答 檢驗答案是否符合題意，并寫出答案。 在以上步驟中，審題是基礎(chǔ)，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式是關(guān)鍵，而根據(jù)題意找出不等關(guān)系是解題難點。 例題1 甲從一個魚攤上買了三條魚，平均每條a元，又從另一個魚攤上買了兩條魚，平均每條b元，后來他又以每條元的價格把魚全部賣給了乙，結(jié)果發(fā)現(xiàn)賠了錢，原因是（ ） A. a > b B. a < b C. a＝b D. 與a和b的大小無關(guān) 解析：分別表示出兩次買魚的錢和賣魚的錢，根據(jù)“賠了錢”，列不等式，推導(dǎo)出a與b的關(guān)系。 答案：解：兩次買魚的錢為：3a＋2b，賣魚的錢為：。 根據(jù)題意，得：3a＋2b＞ 解得，a > b。 所以選 A。 點撥：“賠了錢”表明買魚的錢大于賣魚的錢，這是本題的不等關(guān)系。 例題2 為支援四川雅安地震災(zāi)區(qū)，某市民政局組織募捐了240噸救災(zāi)物資，現(xiàn)準備租用甲、乙兩種貨車，將這批救災(zāi)物資一次性全部運往災(zāi)區(qū)，它們的載貨量和租金如下表： 甲種貨車 乙種貨車 載貨量（噸/輛） 45 30 租金（元/輛） 400 300 如果計劃租用6輛貨車，且租車的總費用不超過2300元，求最省錢的租車方案。 解析：根據(jù)設(shè)租用甲種貨車x輛，則租用乙種6－x輛，利用某市民政局組織募捐了240噸救災(zāi)物資，以及每輛貨車的載重量得出不等式求出即可，進而根據(jù)每輛車的運費求出最省錢方案。 答案：解：設(shè)租用甲種貨車x輛，則租用乙種6－x輛， 根據(jù)題意得出： 45x＋30（6－x）≥240， 解得：x≥4， 則租車方案為：甲4輛，乙2輛；甲5輛，乙1輛；甲6輛，乙0輛； 租車的總費用分別為：4400＋2300＝2200（元），5400＋1300＝2300（元）， 6400＝2400（元）＞2300（不合題意舍去）， 答：最省錢的租車方案是租用甲貨車4輛，乙貨車2輛。 點撥：此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)已知找出不等關(guān)系，列不等式求出所有方案是解題關(guān)鍵。 例題3 甲、乙兩商場以同樣價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場累計購物超過100元后，超出100元的部分按90%收費；在乙商場累計購物超過50元后，超出50元的部分按95%收費，設(shè)小紅在同一商場累計購物x元，其中x＞100。 （1）根據(jù)題題意，填寫下表（單位：元） 累計購物 實際花費 130 290 … x 在甲商場 127 … 在乙商場 126 … （2）當(dāng)x取何值時，小紅在甲、乙兩商場的實際花費相同？ （3）當(dāng)小紅在同一商場累計購物超過100元時，在哪家商場的實際花費少？ 解析：（1）根據(jù)已知得出100＋（290－100）90%以及50＋（290－50）95%，進而得出答案，同理即可得出累計購物x元的實際花費； （2）根據(jù)題中已知條件，求出，相等，從而得出正確結(jié)論； （3）根據(jù)與相比較，從而得出正確結(jié)論。 答案：解：（1）在甲商場：100＋90%（290－100）＝271， ； 在乙商場：50＋95%（290－50）＝278， ； （2）根據(jù)題意得出： ＝， 解得：x＝150， ∴當(dāng)x＝150時，小紅在甲、乙兩商場的實際花費相同。 （3）由＜， 解得：x＞150， ＞， 解得：x＜150， ∴當(dāng)小紅累計購物大于150元時，選擇甲商場實際花費少； 當(dāng)小紅累計購物超過100元而不到150元時，在乙商場實際花費少。 點撥：在解決實際問題時，要注意區(qū)分題目中體現(xiàn)的是相等關(guān)系還是不等關(guān)系：如果是相等關(guān)系（如本題中的（2）），就應(yīng)列方程；如果是不等關(guān)系（如本題中的（3）），就應(yīng)列不等式。 不等式及其解法在解決數(shù)學(xué)問題和實際問題時都有廣泛的應(yīng)用，比如利用不等式可以比較兩個代數(shù)式的大小。 滿分訓(xùn)練 已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，試比較A與B的大小。 解析：求出A與B的差，再根據(jù)x的取值范圍確定A與B的大小。 答案：A－B＝（2x2＋3x＋2）－（2x2－4x－5） ＝2x2＋3x＋2－2x2＋4x＋5 ＝7x＋7 ①若7 x＋7>0，則x>－1，即當(dāng)x>－1時，A> B； ②若7 x＋7＝0，則x＝－1，即當(dāng)x＝－1時，A＝B； ③若7 x＋7<0，則x<－1，即當(dāng)x<－1時，A< B。 點撥：比較兩個數(shù)（或整式）的大小，通常用“作差法”，即求出這兩個數(shù)（或整式）的差，根據(jù)差的正負，確定大小.本例中差是一個代數(shù)式，其正負不確定，因此還要根據(jù)x的取值范圍進行分類討論。 （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1. 若實數(shù)a＞1，則實數(shù)M＝a，N＝，P＝的大小關(guān)系是（　　） A. P＞N＞M B. M＞N＞P C. N＞P＞M D. M＞P＞N 2. 設(shè)“▲”、“●”、“■”分別表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱兩次，情況如圖所示，那么▲、●、■這三種物體按質(zhì)量從大到小排列應(yīng)為（ ） A. ■、●、▲ B. ▲、■、● C. ■、▲、● D. ●、▲、■ 3. 已知實數(shù)x，y，m滿足，且y為負數(shù)，則m的取值范圍是（　　） A. m＞6 B. m＜6 C. m＞－6 D. m＜－6 ﹡4. 某種出租車的收費標準：起步價7元（即行駛距離不超過3千米都需付7元車費），超過3千米后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米計）。某人乘這種出租車從甲地到乙地共付車費19元，那么甲地到乙地路程的最大值是（　?。? A. 5千米 B. 7千米 C. 8千米 D. 15千米 二、填空題 5. 有人問一位老師所教班級有多少學(xué)生，老師說：“一半學(xué)生在做數(shù)學(xué)，四分之一的學(xué)生在畫畫，七分之一的學(xué)生在讀英語，還剩不足七位同學(xué)在操場上玩”。試問這班最多有學(xué)生 個。 6. 已知（x－2）2 ＋｜2x－3y－a｜＝0，y是正數(shù)，則a的取值范圍是__ 。 7. 九年級（1）班的幾個同學(xué)畢業(yè)前合影留念，每人交0.70元。一張彩色底片0.68元，擴印一張相片0.50元，每人分一張。在收來的錢盡量用掉的前提下，這張相片上的同學(xué)最少有 人。 ﹡8. 已知方程組的解滿足x＋y＜0，則m的取值范圍是_________。 三、解答題 9. 某次知識競賽共有20道題，每一題答對得10分，答錯或不答都扣5分，小明得分要超過90分，他至少要答對多少道題？ 10. 小剛星期天與同學(xué)一起去登山，計劃上午9時出發(fā)，到達山頂后游玩2h，吃午飯與休息共半小時，下午4點30分要趕回出發(fā)點，已知各座山峰與出發(fā)點間的距離如圖所示，他們上山的速度為3.2km/h，下山的速度為4.5km/h，他們最遠可以登上哪座山峰？ ﹡11. 為支援雅安災(zāi)區(qū)，某學(xué)校計劃將“義捐義賣”活動中籌集的部分資金用于購買A，B兩種型號的學(xué)習(xí)用品共1000件，已知A型學(xué)習(xí)用品的單價為20元，B型學(xué)習(xí)用品的單價為30元。 （1）若購買這批學(xué)習(xí)用品用了26000元，則購買A，B兩種學(xué)習(xí)用品各多少件？ （2）若購買這批學(xué)習(xí)用品的錢不超過28000元，則最多購買B型學(xué)習(xí)用品多少件？ **12. 四川省第十二屆運動會將于2014年8月18日在遂寧市隆重開幕，根據(jù)大會組委會安排，某校接受了開幕式大型團體操表演任務(wù)。為此，學(xué)校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應(yīng)商。經(jīng)了解：兩家公司生產(chǎn)的這款演出服裝的質(zhì)量和單價都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元。經(jīng)洽談協(xié)商：A公司給出的優(yōu)惠條件是，全部服裝按單價打七折，但校方需承擔(dān)2200元的運費；B公司的優(yōu)惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承擔(dān)運費。另外根據(jù)大會組委會要求，參加演出的女生人數(shù)應(yīng)是男生人數(shù)的2倍少100人，如果設(shè)參加演出的男生有x人。 （1）分別寫出學(xué)校購買A、B兩公司服裝所付的總費用y1（元）和y2（元）與參演男生人數(shù)x之間的關(guān)系式； （2）問：該學(xué)校購買哪家制衣公司的服裝比較合算？請說明理由。  一、選擇題 1. D 解析：∵a＞1，∴M－P＝a－＝，， ∴M＞P，P＞N，∴M＞P＞N，故選D。 2. C 解析：從左圖看出一個▉重于一個▲，一個▲等于兩個●，故選C。 3. A 解析：根據(jù)題意得：，解得：，則6－m＜0，解得：m＞6。故選A。 4. C 解析：設(shè)他乘此出租車從甲地到乙地的路程為x千米，根據(jù)題意得：7＋2.4（x－3）≤19，解得，所以甲地到乙地路程的最大值是8。故選C。 二、填空題 5. 56 解析：設(shè)這個班有x個人，依題意列不等式x－（）≤6，解得x≤56，故填56。 6. 解析：根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)“若幾個非負數(shù)的和為0，則這幾個非負數(shù)同時為0”，得：x－2＝0，且2x－3y－a＝0。解得：x＝2，，由y是正數(shù)，得：，解得：。 7. 4 解析：設(shè)這張相片上的同學(xué)有x人，依題意得： 0.68＋0.5x≤0.7x 解之得，x≥3.4， ∵人數(shù)為整數(shù)， ∴這張相片上的同學(xué)最少有4人。 8. m＜－1 解析：①＋②得3（x＋y）＝2＋2m。∵x＋y＜0。∴2＋2m＜0?！鄊＜－1。 三、解答題 9. 解：設(shè)應(yīng)答對x道，則：10x－5（20－x）＞90 解得x＞12， ∵x取整數(shù)， ∴x最小為13。 答：他至少要答對13道題。 10. 解：設(shè)他們要登的山峰距出發(fā)點有x（km），則上山時間為（h），下山時間為，根據(jù)題意，得，解之得。 答：他們最遠可去的山峰是C。 11. 解：（1）設(shè)購買A型學(xué)習(xí)用品x件，則B型學(xué)習(xí)用品為。 根據(jù)題意，得 解方程，得x＝400。 則。 答：購買A型學(xué)習(xí)用品400件，購買B型學(xué)習(xí)用品600件。 （2）設(shè)最多購買B型學(xué)習(xí)用品x件，則購買A型學(xué)習(xí)用品為件。 根據(jù)題意，得 解不等式，得。 答：最多購買B型學(xué)習(xí)用品800件。 12. 解：（1）總費用y1（元）和y2（元）與參演男生人數(shù)x之間的關(guān)系式分別是： y1＝0.7[120x＋100（2x－100）]＋2200＝224x－4800， y2＝0.8[100（3x－100）]＝240x－8000； （2）由題意，得 當(dāng)y1＞y2時，即224x－4800＞240x－8000，解得：x＜200； 當(dāng)y1＝y(tǒng)2時，即224x－4800＝240x－8000，解得：x＝200 當(dāng)y1＜y2時，即224x－4800＜240x－8000，解得：x＞200 即當(dāng)參演男生少于200人時，購買B公司的服裝比較合算； 當(dāng)參演男生等于200人時，購買兩家公司的服裝總費用相同，可任選一家公司購買； 當(dāng)參演男生多于200人時，購買A公司的服裝比較合算。