八年級數(shù)學(xué)下冊 專題突破講練 一次函數(shù)中的分段函數(shù)試題 （新版）青島版.doc

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一次函數(shù)中的分段函數(shù) 分段函數(shù)的基本模型 1. 分段記費問題（如收取水費、電費、通信費等類型）： 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一。為了增強居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計費辦法收費，即一月用水10噸以內(nèi)（包括10噸）的用戶，每噸收水費元；一月用水超過10噸的用戶，10噸水仍按每噸元收費，超過10噸的部分，按每噸元（b＞a）收費。設(shè)一戶居民月用水噸，應(yīng)收水費元，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。求出a和b值。 解析：根據(jù)圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)利用解析式分析求值，解題關(guān)鍵是弄清函數(shù)圖象的意義。 答案：，2。 2. 行程中的分段計算問題： 由速度或時間的不同而產(chǎn)生的不同計算。如圖是小明從學(xué)校到家里行進的路程s（米）與時間t（分）的函數(shù)圖象，觀察圖象，從圖中能得到什么信息呢？（結(jié)合背景對圖象含義進行理解） 解析：考查函數(shù)圖象的讀圖能力．要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論。 答案：小明行進總路程為1000米，行進時間為20分鐘，前10分鐘的行進速度比后10分鐘的行進速度慢。 3. 與幾何圖形有關(guān)的分段函數(shù)： 由圖形的運動變化所產(chǎn)生的線段、面積等的不同產(chǎn)生的分段計算。如圖1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動點P從點A開始按A →B→C→D的方向運動到D。如圖2，設(shè)動點P所經(jīng)過的路程為x，△APD的面積為y。（當(dāng)點P與A或D重合時，y＝0），寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式并畫出圖象。 解析：利用點運動到不同位置產(chǎn)生對應(yīng)值解決問題。圖象如圖。 。 4. 商品銷售中的分段計算： 根據(jù)數(shù)量將商品進行分段銷售。如：某書定價25元，如果一次購買20本以上，超過20本的部分打八折，試寫出付款金額y（單位：元）與購書數(shù)量x（單位：本）之間的函數(shù)關(guān)系。 解析：考查了分段函數(shù)，理解分段收費的意義，明確每一段購書數(shù)量及相應(yīng)的購書單價是解題的關(guān)鍵，要注意x的取值范圍． 。 總結(jié)： （1）要特別注意相應(yīng)的自變量變化區(qū)間，在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍； （2）分段函數(shù)的圖象是由幾條線段（或射線）組成的折線。其中每條線段（射線）代表某一個階段的情況； （3）分析分段函數(shù)的圖象，要結(jié)合實際問題背景對圖象的意義進行認(rèn)識和理解，尤其要理解折線中橫、縱坐標(biāo)表示的實際意義。 （4）本節(jié)運用的數(shù)學(xué)思想有分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。 例題 甲、乙兩人在一段長為1200米的筆直路上勻速跑步，甲、乙的速度分別為4m/s和6m/s，起跑前乙在起點，甲在乙前面100米處。若同時起跑，甲、乙兩人在從起跑至其中一人先到達終點的過程中，他們之間的距離y（m）與時間t（s）的函數(shù)圖象如圖所示。則t1＝　　　　　s，y2＝ 　　　m。 解析：根據(jù)圖象可知，當(dāng)t1時，y＝0，即6t＝4t＋100，求出即可；分為兩種情況：①甲在乙的前面，y＝（4t＋100）－6t，②乙在甲的前面，y＝6t－（4t＋100），求出即可。 答案：解：當(dāng)y＝0時，6t＝4t＋100，解得：t＝50，即t1＝50， 當(dāng)0≤t＜50時，甲在乙的前面，∴y＝4t＋100－6t＝－2t＋100，12006＝200， 當(dāng)50＜t≤200時，乙在甲的前面，∴y＝6t－（4t＋100）＝2t－100， 當(dāng)t＝200時，y2＝2200－100＝300。 故答案為：50s，300m。 點撥：考查了分段函數(shù)與函數(shù)的圖象的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和觀察圖象的能力，用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想。 幾何圖形中的分段計算 例題 如圖，在矩形MNPQ中，MN＝6，PN＝4，動點R從點N出發(fā)，沿N→P→Q→M方向運動至點M處停止。設(shè)點R運動的路程為x，△MNR的面積為y， （1）當(dāng)x＝3時，y＝ 　 　　?。? 當(dāng)x＝12時，y＝　　　 　??； 當(dāng)y＝6時，x＝ 　　　　 　?。? （2）分別求當(dāng)0≤x＜4、4≤x≤10、10＜x≤14時，y與x的函數(shù)關(guān)系式。 解析：（1）利用當(dāng)x＝3時，y＝MNRN，當(dāng)x＝12時，y＝RMMN以及當(dāng)y＝6時分別求出即可；（2）利用當(dāng)0≤x＜4、4≤x≤10、10＜x≤14時，根據(jù)R不同的位置，分別求出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可。 答案：解：（1）如圖1，∵點R運動的路程為x，△MNR的面積為y， ∴當(dāng)x＝3時，y＝MNRN＝63＝9， 如圖2，當(dāng)x＝12時，y＝RMMN＝26＝6， 根據(jù)以上計算可以得出當(dāng)y＝6時，x＝2或12， 故答案為：9，6，2或12； （2）當(dāng)0≤x＜4時，R在PN上運動，y＝MNRN＝6x＝3x； 當(dāng)4≤x≤10時，R在QP上運動，y＝MNPN＝64＝12； 當(dāng)10＜x≤14時，R在QM上運動，y＝MNRM＝6[4－（x－10）]＝42－3x。 收費問題中的分段計算 例題 （徐州中考）為增強公民的節(jié)約意識，合理利用天然氣資源，某市自1月1日起對市區(qū)民用管道天然氣價格進行調(diào)整，實行階梯式氣價，調(diào)整后的收費價格如表所示： 每月用氣量 單價（元/m3） 不超出75m3的部分 2.5 超出75m3不超出125m3的部分 a 超出125m3的部分 a＋0.25 （1）若甲用戶3月份的用氣量為60m3，則應(yīng)繳費　　　元； （2）若調(diào)價后每月支出的燃氣費為y（元），每月的用氣量為x（m3），y與x之間的關(guān)系如圖所示，求a的值及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； 解析：（1）根據(jù)單價數(shù)量＝總價，就可以求出3月份應(yīng)該繳納的費用；（2）結(jié)合統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)，根據(jù)單價數(shù)量＝總價的關(guān)系建立方程就可以求出a值，再從0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125運用待定系數(shù)法分別表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可。 答案：解：（1）由題意，得602.5＝150（元）； （2）由題意，得a＝（325－752.5）（125－75），a＝2.75，∴a＋0.25＝3， 設(shè)OA的解析式為y1＝k1x，則有2.575＝75k1，∴k1＝2.5， ∴線段OA的解析式為y1＝2.5x（0≤x≤75）； 設(shè)線段AB的解析式為y2＝k2x＋b，由圖象，得，解得：， ∴線段AB的解析式為：y2＝2.75x－18.75（75＜x≤125）； （385－325）3＝20，故C（145，385）， 設(shè)BC的解析式為y3＝k3x＋b1，由圖象，得 ，解得：， ∴BC的解析式為y3＝3x－50（x＞125） （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1.（永州中考）某市打市話的收費標(biāo)準(zhǔn)是：每次3分鐘以內(nèi)（含3分鐘）收費0.2元，以后每分鐘收費0.1元（不足1分鐘按1分鐘計）。某天小芳給同學(xué)打了一個6分鐘的市話，所用電話費為0.5元；小剛現(xiàn)準(zhǔn)備給同學(xué)打市話6分鐘，他經(jīng)過思考以后，決定先打3分鐘，掛斷后再打3分鐘，這樣只需電話費0.4元。如果你想給某同學(xué)打市話，準(zhǔn)備通話10分鐘，則你所需要的電話費至少為（　?。? A. 0.6元 B. 0.7元 C. 0.8元 D. 0.9元 2.（瀘州中考）為了節(jié)能減排，鼓勵居民節(jié)約用電，某市將出臺新的居民用電收費標(biāo)準(zhǔn)：（1）若每戶居民每月用電量不超過100度，則按0.50元/度計算；（2）若每戶居民每月用電量超過100度，則超過部分按0.80元/度計算（未超過部分仍按每度電0.50元計算）?，F(xiàn)假設(shè)某戶居民某月用電量是x（單位：度），電費為y（單位：元），則y與x的函數(shù)關(guān)系用圖象表示正確的是（　?。? *3. 在一次遠足活動中，小聰和小明由甲地步行到乙地后原路返回，小明在返回途中的丙地時發(fā)現(xiàn)物品可能遺忘在乙地，于是從丙地返回乙地，然后沿原路返回。兩人同時出發(fā)，步行過程中保持勻速。設(shè)步行的時間為t（h），兩人離甲地的距離分別為s1（km）和s2（km），圖中的折線分別表示s1、s2與t之間的函數(shù)關(guān)系。則下列說法中正確的是（　　） A. 甲、乙兩地之間的距離為20km B. 乙、丙兩地之間的距離為4km C. 小明由甲地出發(fā)首次到達乙地的時間為小時 D. 小明乙地到達丙地用了小時 *4.（黃岡模擬）如圖所示，一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時間為x（h），兩車之間的距離為y（km），圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系。下列說法中錯誤的是（　　） A. 甲，乙兩地相距1000km B. B點表示此時兩車相遇 C. 快車的速度為166km/h D. B－C－D段表示慢車先加速后減速最后到達甲地 **5.（哈爾濱道里區(qū)一模）甲、乙兩輛汽車沿同一路線趕赴距出發(fā)地480千米的目的地，甲出發(fā)不久因故停車檢修，修好后甲車?yán)^續(xù)向前行駛。乙車比甲車晚出發(fā)（從甲車出發(fā)時開始計時）。圖中折線OABC、線段DE分別表示甲、乙兩車所行路程y（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系對應(yīng)的圖象。根據(jù)圖象中所提供的信息，有下列說法：①乙車比甲車晚2小時出發(fā)；②甲車修好后行駛了1.5小時與乙車在途中第二次相遇；③乙車行駛的平均速度為每小時48千米；④甲、乙兩車到達目的地所用的時間相同。符合圖象描述的說法有（　?。? A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 二、填空題： *6. （孝感模擬）某市自來水公司為鼓勵用戶節(jié)約用水，按以下規(guī)定收取水費：月用水量不超過40噸的部分，按每噸1元收取水費，超過40噸的部分，按每噸1.5元收取水費。另外每噸用水加收0.2元的城市污水處理費。若某戶水表有故障，每次用水只有60%記入用水量，這樣在3月份交水費43.2元，該用戶3月份實際應(yīng)交水費 元。 *7. （秀洲區(qū)二模）某城市居民用水實行階梯收費，每戶每月用水量如果未超過20噸，按每噸2.5元收費。如果超過20噸，未超過的部分按每噸2.5元收費，超過的部分按每噸3.3元收費。設(shè)某戶每月用水量為x噸，應(yīng)收水費為y元。 （1）分別寫出每月用水量未超過20噸和超過20噸，y與x間的函數(shù)關(guān)系式。 （2）若該城市某戶4月份水費平均為每噸2.8元，求該戶4月份用水 噸。 **8. （黃陂區(qū)模擬）在一條直線上依次有A、B、C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終達到C港。設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為y1、y2（km），y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，若兩船的距離不超過10km時能夠相互望見，則甲、乙兩船可以相互望見時x的取值范圍為 。 **9. 已知正方形ABCD的邊長是2，E是CD的中點，動點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→E運動，到達E點即停止運動，若點P經(jīng)過的路程為x，△APE的面積記為y，試求出y與x之間的函數(shù)解析式 ，并求出當(dāng)y＝時，x的值為 。 三、解答題： *10. 下圖表示甲、乙兩名選手在一次自行車越野賽中，各時間段的平均速度v（千米/小時）隨時間t（分）變化的圖象（全程），根據(jù)圖象提供的信息：（1）求這次比賽全程是多少千米；（2）求比賽開始后多少分鐘兩人相遇。 **11.（衡陽中考）為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，鼓勵市民節(jié)約用電，我市從2012年7月1日起，居民用電實行“一戶一表”的“階梯電價”，分三個檔次收費，第一檔是用電量不超過180千瓦時實行“基本電價”，第二、三檔實行“提高電價”，具體收費情況如下折線圖，請根據(jù)圖象回答下列問題； （1）當(dāng)用電量是180千瓦時時，電費是 元； （2）第二檔的用電量范圍是 ； （3）“基本電價”是 元/千瓦時； （4）小明家8月份的電費是328.5元，這個月他家用電多少千瓦時？ **12.（荊州中考）某個體戶購進一批時令水果，20天銷售完畢。他將本次銷售情況進行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)可繪制如圖所示的函數(shù)圖象，其中日銷售量y（千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖甲所示，銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖乙所示。 （1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）分別求出第10天和第15天的銷售金額； （3）若日銷售量不低于24千克的時間段為“最佳銷售期”，則此次銷售過程中“最佳銷售期”共有多少天？在此期間銷售單價最高為多少元？ 圖甲 圖乙  1. B 解析：由已知通過分析可得：根據(jù)小剛通話的方式進行，需要電話費最少，即先打3分鐘，掛斷后再打3分鐘，再掛斷打10－3－3＝4分鐘，則費用為：0.2＋0.2＋0.2＋0.1＝0.7。故選B。 2. C 解析：根據(jù)題意，當(dāng)0≤x≤100時，y＝0.5x，當(dāng)x＞100時，y＝1000.5＋0.8（x－100）＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y與x的函數(shù)關(guān)系為，縱觀各選項，只有C選項圖形符合。故選C。 3. C 解析：根據(jù)圖中信息，甲、乙兩地之間的距離為10km，乙、丙兩地之間的距離為2km；故選項A、B錯誤；根據(jù)小明到達丙時所用時間為1小時，所行路程為（10＋2）km，即v2＝（10＋2）1＝12km/h，t1＝1012＝（小時），t2＝212＝（小時），故小明由甲地出發(fā)首次到達乙地用了小時，故選項C正確，由乙地到達丙地用了小時，故D選項錯誤。故選C。 4. D 解析：解：A、由圖象知x＝0時，y＝1000，即甲、乙兩地的距離為1000km。故A正確；B. B點表示此時兩車在此處相遇，所用時間是4小時，故B正確；C. 快車速度為：?＝166。故C正確；D. B－C－D段表示快、慢車相遇后行駛一段時間快車到達乙地，慢車?yán)^續(xù)行駛，慢車共用了12小時到達甲地，故本選項錯誤。故選D。 5. C 解析：結(jié)合圖象即可得出：D點即是乙車比甲車晚出發(fā)的時間，①乙車比甲車晚2小時出發(fā)，故此說法正確；②根據(jù)兩函數(shù)圖象交點坐標(biāo)F的橫坐標(biāo)為6，B點橫坐標(biāo)為4.5，即可得出甲車修好后行駛了1.5小時與乙車在途中第二次相遇，故此說法正確；③乙車行駛的平均速度為每小時48千米；根據(jù)乙行駛時間為：10－2＝8小時，路程為480km，故4808＝60km/h，故此說法錯誤；④甲、乙兩車到達目的地所用的時間相同，根據(jù)兩車所用時間均為8小時，故此說法正確。故正確的有：3個。故選C。 6. 82 解析：設(shè)實際用水x噸，根據(jù)題意得60%x1.2＝43.2解得：x＝60故實際繳費401.2＋201.7＝48＋34＝82元，故答案為82。 7. （1） （2）32 解析：（1）當(dāng)x≤20時，y＝2.5x，當(dāng)x＞20時，y＝3.3（x－20）＋50，y＝3.3x－16；（2）∵該戶4月份水費平均為每噸2.8元，∴該戶4月份用水超過20噸。設(shè)該用戶4月份用水a(chǎn)噸，得2.8a＝3.3a－16，解得a＝32。 8. ≤x≤ 解析：由圖象可知，甲船的速度為：300.5＝60千米/時，乙船的速度為：903＝30千米/時，由此可得：所以，甲、乙兩船離A港口的距離為s甲＝60x，s乙＝30x＋30，①當(dāng)甲船在乙船前面10千米時，s甲－s乙＝10，即：60x－（30x＋30）＝10，解得x＝ ，②當(dāng)甲船在乙船前面10千米時，s乙－s甲＝10， 即：30x＋30－60x＝10，解得x＝ ，所以，當(dāng)兩船的距離不超過10km時，≤x≤。 9. x＝或 解析：當(dāng)P在AB上，即0＜x≤2時，如圖1，y＝APAD＝x2＝x；當(dāng)P在BC上，即2＜x≤4時，如圖2，y＝S正方形ABCD－S△ADE－S△CEP－S△ABP，＝22－21－1（4－x）－2（x－2）＝－x＋3；當(dāng)P在CE上，即4＜x≤5時，如圖3，y＝EPAD＝（6－1－x）2＝－x＋5；∴。當(dāng)y＝時，＝x或＝－x＋3或＝－x＋5，解得：x＝或。 10. 解：（1）這次比賽全程為15＝12千米； （2）設(shè)甲行駛的路程為y甲，乙行駛的路程為y乙，則y甲＝t（0＜t≤15），y甲＝t＋（15＜t≤33），y甲＝t－（33＜t≤43），y乙＝t，當(dāng)15＜t≤33時，由t＋＝t，解得t＝24，當(dāng)33＜t≤43時，由t－＝t，解得t＝38，∴比賽開始后24分鐘和38分鐘兩人相遇。 11. 解：（1）由函數(shù)圖象，得當(dāng)用電量為180千瓦時，電費為：108元。故答案為：108； （2）由函數(shù)圖象，得設(shè)第二檔的用電量為x千瓦時，則180＜x≤450。故答案為：180＜x≤450； （3）基本電價是：108180＝0.6；故答案為：0.6； （4）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，由圖象，得，解得：，；y＝328.5時，x＝500。答：這個月他家用電500千瓦時。 12. 解：（1）分兩種情況：①當(dāng)0≤x≤15時，設(shè)日銷售量y與銷售時間x的函數(shù)解析式為y＝k1x，∵直線y＝k1x過點（15，30），∴15k1＝30，解得k1＝2，∴y＝2x（0≤x≤15）； ②當(dāng)15＜x≤20時，設(shè)日銷售量y與銷售時間x的函數(shù)解析式為y＝k2x＋b，∵點（15，30），（20，0）在y＝k2x＋b的圖象上，∴，解得：，∴y＝－6x＋120（15＜x≤20）；綜上，可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：； （2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之間，∴當(dāng)10≤x≤20時，設(shè)銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)解析式為p＝mx＋n，∵點（10，10），（20，8）在p＝mx＋n的圖象上，∴，解得：，∴p＝－x＋12（10≤x≤20），當(dāng)x＝10時，p＝10，y＝210＝20，銷售金額為：1020＝200（元），當(dāng)x＝15時，p＝－15＋12＝9，y＝30，銷售金額為：930＝270（元）。故第10天和第15天的銷售金額分別為200元、270元； （3）若日銷售量不低于24千克，則y≥24。當(dāng)0≤x≤15時，y＝2x，解不等式2x≥24，得x≥12；當(dāng)15＜x≤20時，y＝－6x＋120，解不等式－6x＋120≥24，得x≤16，∴12≤x≤16，∴“最佳銷售期”共有：16－12＋1＝5（天）； ∵p＝－x＋12（10≤x≤20），－＜0，∴p隨x的增大而減小，∴當(dāng)12≤x≤16時，x取12時，p有最大值，此時p＝－12＋12＝9.6（元/千克）。故此次銷售過程中“最佳銷售期”共有5天，在此期間銷售單價最高為9.6元。