2019年高考數(shù)學二輪復習 專題四 數(shù)列 專題能力訓練12 數(shù)列的通項與求和 文.doc

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專題能力訓練12　數(shù)列的通項與求和 一、能力突破訓練 1.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=tan 225,a5=13a1,設Sn為數(shù)列{(-1)nan}的前n項和,則S2 016=(　　) A. 2 016 B.-2 016 C.3 024 D.-3 024 2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2+n,數(shù)列{bn}滿足bn=1anan+1(n∈N*),Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,則T9等于(　　) A.919 B.1819 C.2021 D.940 3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-2n-1,則a3+a17=(　　) A.15 B.17 C.34 D.398 4.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)= +f(x)(x∈R),且f(1)=,則數(shù)列{f(n)}(n∈N*)前20項的和為(　　) A.305 B.315 C.325 D.335 5.已知數(shù)列{an},構造一個新數(shù)列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,此數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的通項公式為(　　) A.an=32-3213n,n∈N* B.an=32+3213n,n∈N* C.an=1,n=1,32+3213n,n>2,且n∈N* D.an=1,n∈N* 6.植樹節(jié),某班20名同學在一段直線公路一側植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10 m.開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,使每位同學從各自樹坑出發(fā)前來領取樹苗往返所走的路程總和最小,這個最小值為　　　　　 m. 7.數(shù)列{an}滿足an+1=11-an,a11=2,則a1=　　　　　. 8.數(shù)列{an}滿足a1+122a2+…+12nan=2n+5,n∈N*,則an=　　　　　. 9.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通項公式an; (2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項和. 10.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求{bn}的通項公式; (2)若T3=21,求S3. 11.已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N*). (1)求an與bn; (2)記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn,求Tn. 二、思維提升訓練 12.給出數(shù)列11,12,21,13,22,31,…,1k,2k-1,…, ,…,在這個數(shù)列中,第50個值等于1的項的序號是(　　) A.4 900 B.4 901 C.5 000 D.5 001 13.設Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=　　　　　. 14.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*. (1)證明:an+2=3an; (2)求Sn. 15.已知{an}是等比數(shù)列,前n項和為Sn(n∈N*),且1a1-1a2=2a3,S6=63. (1)求{an}的通項公式; (2)若對任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中項,求數(shù)列{(-1)nbn2}的前2n項和. 16.已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan(q為實數(shù),且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列. (1)求q的值和{an}的通項公式; (2)設bn=log2a2na2n-1,n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項和.  專題能力訓練12　數(shù)列的通項與求和 一、能力突破訓練 1.C　解析 ∵a1=tan 225=1,∴a5=13a1=13,則公差d=a5-a15-1=13-14=3,∴an=3n-2. 又(-1)nan=(-1)n(3n-2), ∴S2 016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024. 2.D　解析 ∵數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2+n, ∴當n=1時,a1=2;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n, ∴an=2n(n∈N*), ∴bn=1anan+1=12n(2n+2)=141n-1n+1, T9=141-12+12-13+…+19-110=141-110=940. 3.C　解析 ∵Sn=n2-2n-1, ∴a1=S1=12-2-1=-2. 當n≥2時, an=Sn-Sn-1 =n2-2n-1-[(n-1)2-2(n-1)-1] =n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1 =n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3. ∴an=-2,n=1,2n-3,n≥2. ∴a3+a17=(23-3)+(217-3)=3+31=34. 4.D　解析 ∵f(1)=,f(2)=32+52, f(3)=32+32+52,……, f(n)=32+f(n-1), ∴{f(n)}是以52為首項,32為公差的等差數(shù)列. ∴S20=2052+20(20-1)232=335. 5.A　解析 因為數(shù)列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首項為1,公比為的等比數(shù)列, 所以an-an-1=13n-1,n≥2. 所以當n≥2時, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+13+132+…+13n-1 =1-13n1-13=32-3213n. 又當n=1時,an=32-3213n=1, 則an=32-3213n,n∈N*. 6.2 000　解析 設放在第x個坑邊,則S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|). 由式子的對稱性討論,當x=10或11時,S=2 000. 當x=9或12時,S=20102=2 040;…… 當x=1或19時,S=3 800. ∴Smin=2 000 m. 7.　解析 由a11=2及an+1=11-an,得a10=. 同理a9=-1,a8=2,a7=12,…. 所以數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列.所以a1=a10=12. 8.14,n=1,2n+1,n≥2　解析 在a1+122a2+…+12nan=2n+5中用(n-1)代換n得a1+122a2+…+12n-1an-1=2(n-1)+5(n≥2),兩式相減,得12nan=2,an=2n+1,又a1=7,即a1=14,故an=14,n=1,2n+1,n≥2. 9.解 (1)由題意得a1+a2=4,a2=2a1+1,則a1=1,a2=3. 又當n≥2時,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an, 得an+1=3an. 所以,數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-1,n∈N*. (2)設bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1. 當n≥3時,由于3n-1>n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3. 設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則T1=2,T2=3. 當n≥3時,Tn=3+9(1-3n-2)1-3-(n+7)(n-2)2=3n-n2-5n+112, 所以Tn=2,n=1,3n-n2-5n+112,n≥2,n∈N*. 10.解 設{an}的公差為d,{bn}的公比為q, 則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. ① (1)由a3+b3=5,得2d+q2=6. ② 聯(lián)立①和②解得d=3,q=0(舍去),d=1,q=2. 因此{bn}的通項公式為bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0, 解得q=-5或q=4. 當q=-5時,由①得d=8,則S3=21. 當q=4時,由①得d=-1,則S3=-6. 11.解 (1)由a1=2,an+1=2an, 得an=2n(n∈N*). 由題意知:當n=1時,b1=b2-1,故b2=2. 當n≥2時,1nbn=bn+1-bn, 整理得bn+1n+1=bnn,所以bn=n(n∈N*). (2)由(1)知anbn=n2n, 因此Tn=2+222+323+…+n2n, 2Tn=22+223+324+…+n2n+1, 所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n2n+1. 故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*). 二、思維提升訓練 12.B　解析 根據(jù)條件找規(guī)律,第1個1是分子、分母的和為2,第2個1是分子、分母的和為4,第3個1是分子、分母的和為6,……,第50個1是分子、分母的和為100,而分子、分母的和為2的有1項,分子、分母的和為3的有2項,分子、分母的和為4的有3項,……,分子、分母的和為99的有98項,分子、分母的和為100的項依次是:199,298,397,……,5050,5149,…,991,第50個1是其中第50項,在數(shù)列中的序號為1+2+3+…+98+50=98(1+98)2+50=4 901. 13.-　解析 由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得1Sn-1Sn+1=1,即1Sn+1-1Sn=-1,則1Sn為等差數(shù)列,首項為1S1=-1,公差為d=-1,∴1Sn=-n,∴Sn=-. 14.(1)證明 由條件,對任意n∈N*,有an+2=3Sn-Sn+1+3, 因而對任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3. 兩式相減,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n≥2. 又a1=1,a2=2, 所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1, 故對一切n∈N*,an+2=3an. (2)解 由(1)知,an≠0,所以an+2an=3,于是數(shù)列{a2n-1}是首項a1=1,公比為3的等比數(shù)列;數(shù)列{a2n}是首項a2=2,公比為3的等比數(shù)列. 因此a2n-1=3n-1,a2n=23n-1. 于是S2n=a1+a2+…+a2n =(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1) =3(1+3+…+3n-1)=3(3n-1)2, 從而S2n-1=S2n-a2n=3(3n-1)2-23n-1=32(53n-2-1). 綜上所述,Sn=32(53n-32-1),當n是奇數(shù),32(3n2-1),當n是偶數(shù). 15.解 (1)設數(shù)列{an}的公比為q.由已知,有1a1-1a1q=2a1q2,解得q=2或q=-1. 又由S6=a11-q61-q=63,知q≠-1, 所以a11-261-2=63,得a1=1.所以an=2n-1. (2)由題意,得bn=12(log2an+log2an+1)=12(log22n-1+log22n)=n-12, 即{bn}是首項為12,公差為1的等差數(shù)列. 設數(shù)列{(-1)nbn2}的前n項和為Tn,則T2n=(-b12+b22)+(-b32+b42)+…+(-b2n-12+b2n2)=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=2n(b1+b2n)2=2n2. 16.解 (1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3, 所以a2(q-1)=a3(q-1). 又因為q≠1,故a3=a2=2, 由a3=a1q,得q=2. 當n=2k-1(k∈N*)時,an=a2k-1=2k-1=2n-12; 當n=2k(k∈N*)時,an=a2k=2k=2n2. 所以,{an}的通項公式為an=2n-12,n為奇數(shù),2n2,n為偶數(shù). (2)由(1)得bn=log2a2na2n-1=n2n-1.設{bn}的前n項和為Sn,則Sn=1120+2121+3122+…+(n-1)12n-2+n12n-1, 12Sn=1121+2122+3123+…+(n-1)12n-1+n12n, 上述兩式相減,得12Sn=1+12+122+…+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-22n-n2n,整理得,Sn=4-n+22n-1. 所以,數(shù)列{bn}的前n項和為4-n+22n-1,n∈N*.