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1、
數(shù) 列
一、高考要求
1. 理解數(shù)列的有關(guān)概念,了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法,并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng).
2. 理解等差(比)數(shù)列的概念,掌握等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式. 并能運(yùn)用這些知識(shí)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題.
3. 了解數(shù)學(xué)歸納法原理,掌握數(shù)學(xué)歸納法這一證題方法,掌握“歸納—猜想—證明”這一思想方法.
二、熱點(diǎn)分析
1.數(shù)列在歷年高考中都占有較重要的地位,一般情況下都是一個(gè)客觀性試題加一個(gè)解答題,分值占整個(gè)試卷的10%左右.客觀性試題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、極限的四則運(yùn)算法則、無(wú)窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和等內(nèi)容,對(duì)基本的
2、計(jì)算技能要求比較高,解答題大多以考查數(shù)列內(nèi)容為主,并涉及到函數(shù)、方程、不等式知識(shí)的綜合性試題,在解題過(guò)程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化,分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,是屬于中高檔難度的題目.
2.有關(guān)數(shù)列題的命題趨勢(shì) ?。?)數(shù)列是特殊的函數(shù),而不等式則是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)和數(shù)列的重要工具,三者的綜合求解題是對(duì)基礎(chǔ)和能力的雙重檢驗(yàn),而三者的求證題所顯現(xiàn)出的代數(shù)推理是近年來(lái)高考命題的新熱點(diǎn) ?。?)數(shù)列推理題是新出現(xiàn)的命題熱點(diǎn).以往高考常使用主體幾何題來(lái)考查邏輯推理能力,近兩年在數(shù)列題中也加強(qiáng)了推理能力的考查。(3)加強(qiáng)了數(shù)列與極限的綜合考查題
3.熟練掌握、靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)。等差、等比數(shù)列的有關(guān)性
3、質(zhì)在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)應(yīng)用非常廣泛,且十分靈活,主動(dòng)發(fā)現(xiàn)題目中隱含的相關(guān)性質(zhì),往往使運(yùn)算簡(jiǎn)潔優(yōu)美.如,可以利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化:從而有,即.
4.對(duì)客觀題,應(yīng)注意尋求簡(jiǎn)捷方法 解答歷年有關(guān)數(shù)列的客觀題,就會(huì)發(fā)現(xiàn),除了常規(guī)方法外,還可以用更簡(jiǎn)捷的方法求解.現(xiàn)介紹如下: ①借助特殊數(shù)列. ?、陟`活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì),可更加準(zhǔn)確、快速地解題,這種思路在解客觀題時(shí)表現(xiàn)得更為突出,很多數(shù)列客觀題都有靈活、簡(jiǎn)捷的解法
5.在數(shù)列的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)能力訓(xùn)練 數(shù)列問(wèn)題對(duì)能力要求較高,特別是運(yùn)算能力、歸納猜想能力、轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力更為突出.一般來(lái)說(shuō),考題中選擇、填空題解法靈活多變,而
4、解答題更是考查能力的集中體現(xiàn),尤其近幾年高考加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查,應(yīng)引起我們足夠的重視.因此,在平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)能力的培養(yǎng)
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。
6.這幾年的高考通過(guò)選擇題,填空題來(lái)著重對(duì)三基進(jìn)行考查,涉及到的知識(shí)主要有:等差(比)數(shù)列的性質(zhì). 通過(guò)解答題著重對(duì)觀察、歸納、抽象等解決問(wèn)題的基本方法進(jìn)行考查,其中涉及到方程、不等式、函數(shù)思想方法的應(yīng)用等,綜合性比較強(qiáng),但難度略有下降.
三、復(fù)習(xí)建議
1. 對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)要落實(shí)到位,主要是等差(比)數(shù)列的定義、通項(xiàng)、前n項(xiàng)和.
2. 注意等差(比)數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
3. 掌握一些遞推問(wèn)題的解法和幾類典型數(shù)列前n項(xiàng)和的求和方法.
4.
5、注意滲透三種數(shù)學(xué)思想:函數(shù)與方程的思想、化歸轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想.
5. 注意數(shù)列知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,特別是在利率,分期付款等問(wèn)題中的應(yīng)用.
6. 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是高考考查的重點(diǎn)。而且往往還以解答題的形式出現(xiàn),所以我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)給予重視。近幾年的高考數(shù)列試題不僅考查數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法,而且有效地考查了學(xué)生的各種能力。
四、典型例題
【例1】 已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列,若前項(xiàng)之和等于它前項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)之和的11倍,第3項(xiàng)與第4項(xiàng)之和為第2項(xiàng)與第4項(xiàng)之積的11倍,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解:∵q=1時(shí),
又顯然,q≠1
6、
∴
依題意;解之
又,
依題意,將代入得
【例2】 等差數(shù)列{an }中,=30,=15,求使an≤0的最小自然數(shù)n。
解:設(shè)公差為d,則或或或
解得: a33 = 30 與已知矛盾 或 a33 = - 15 與已知矛盾
或a33 = 15 或 a33 = - 30 與已知矛盾
∴an = 31+(n - 1) () 31 0 n≥63
∴滿足條件的最小自然數(shù)為63。
【例3】 設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S,已知S4=44,S7=35
(1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn。
解:(1)設(shè)數(shù)列
7、的公差為d,由已知S4=44,S7=35可得a1=17,d=-4
∴a=-4n+21 (n∈N),S=-2n+19 (n∈N).
(2)由a=-4n+21≥0 得n≤, 故當(dāng)n≤5時(shí),a≥0, 當(dāng)n≥6時(shí),
當(dāng)n≤5時(shí),T=S=-2n+19n 當(dāng)n≥6時(shí),T=2S5-S=2n-19n+90.
【例4】 已知等差數(shù)列的第2項(xiàng)是8,前10項(xiàng)和是185,從數(shù)列中依次取出第2項(xiàng),第4項(xiàng),第8項(xiàng),……,第項(xiàng),依次排列一個(gè)新數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式。
解:由 得
∴ ∴
【例5】 已知數(shù)列1,1,2……它的各項(xiàng)由一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)首項(xiàng)為0的等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加
8、而得到。求該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn;
解:(1)記數(shù)列1,1,2……為{An},其中等比數(shù)列為{an},公比為q;
等差數(shù)列為{bn},公差為d,則An =an +bn (n∈N)
依題意,b1 =0,∴A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A=a+b=aq+b+d=1 ②
A=a+b=aq2 +b+2d=2 ③
由①②③得d=-1, q=2, ∴
∴
【例6】 已知數(shù)列滿足an+Sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通項(xiàng)an,并加以證明。
解法1:由an+Sn=n,
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1,\a1+a1=1,得a1=
當(dāng)n=2時(shí),a1+a2=S2,由a
9、2+S2=2,得a1+2a2=2,\a2=
當(dāng)n=3時(shí),a1+a2+a3=S3,由a3+S3=3,得a1+a2+2a3=3\a3=
猜想,(1)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立。
當(dāng)n=1時(shí),a1=1-,(1)式成立
假設(shè),當(dāng)n=k時(shí),(1)式成立,即ak=1-成立,
則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1
\2ak+1=k+1-Sk 又ak=k+Sk
\2ak+1=1+ak \ak+1=
即當(dāng)n=k+1時(shí),猜想(1)也成立。
所以對(duì)于任意自然數(shù)n,都成立。
解法2:由an+Sn=n得,兩式相減得:,
即,即,下略
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