【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九篇 解析幾何 方法技巧1　直線與圓的位置關(guān)系教案 理 新人教版

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1、 方法技巧1　直線與圓的位置關(guān)系 【考情快遞】 直線與圓的問(wèn)題以直線與圓的交匯問(wèn)題為主，其中直線與圓的位置關(guān)系是一個(gè)主要命題方向． 方法1：代數(shù)法 解題步驟 ①通過(guò)消元得到關(guān)于x的一元二次方程；②根據(jù)方程的個(gè)數(shù)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行討論． 適用情況 能轉(zhuǎn)化為直線與圓的方程組的問(wèn)題. 【例1】?(2012北京四中月考)已知圓M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直線l：y＝kx，下面四個(gè)命題中的真命題為(　　)． A．對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M相切 B．對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M都沒(méi)有公共點(diǎn) C．對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l和圓M相切 D．對(duì)任

2、意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)θ，使得直線l和圓M相切 解析　圓的方程是x2＋y2＋2xcos θ－2ysin θ＝0， 將y＝kx代入，得(1＋k2)x2＋2(cos θ－ksin θ)x＝0， 解得x1＝0，x2＝，因此對(duì)任意實(shí)數(shù)k，θ， 直線與圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)(0,0)，選項(xiàng)B不正確； 只要x2≠0，直線與圓就存在兩個(gè)公共點(diǎn)， 即只要ksin θ－cos θ≠0即可， 根據(jù)k，θ的任意性，知選項(xiàng)A不正確； 又當(dāng)x2＝0，即ksin θ＝cos θ時(shí)，若θ＝k1π(k1∈Z)， 此時(shí)sin θ＝0，cos θ＝1，就不存在實(shí)數(shù)k使得等式cos θ＝ksin θ成立，故選項(xiàng)C不正確

3、， 反之，對(duì)任意實(shí)數(shù)k，當(dāng)k＝0時(shí)，只要θ＝kπ＋， 當(dāng)k≠0時(shí)，只要θ滿足tan θ＝即可， 根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì) 這是容易辦到的，故選項(xiàng)D正確．故選D. 答案　D 方法2：幾何法 解題步驟 ① 求出圓心到直線的距離和圓的半徑的大??； ②判斷二者的大小，大于半徑相離；等于半徑相切；小于半徑相交． 適用情況 通過(guò)圓的幾何性質(zhì)能求出圓心到直線的距離和圓的半徑的大小. 【例2】?已知直線l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R)和圓C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0，是否存在實(shí)數(shù)m，使得直線l將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段圓弧，若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由． 解

4、　直線l的方程可化為y＝x－， 此時(shí)l的斜率k＝，因?yàn)閨m|≤(m2＋1)， 所以|k|＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)|m|＝1時(shí)等號(hào)成立， 所以斜率k的取值范圍是. 又y＝(x－4)，即l的方程為y＝k(x－4)， 其中|k|≤，圓C的圓心為C(4，－2)，半徑r＝2； 圓心C到直線l的距離d＝， 由|k|≤，得d≥＞1，即d＞， 從而l與圓C相交， 且直線l截圓C所得的弦所對(duì)的圓心角小于， 所以l不能將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段?。? 方法運(yùn)用訓(xùn)練1 1．(江蘇啟東中學(xué)最新月考)將直線2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實(shí)數(shù)λ的值為

5、(　　)． A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11 解析　設(shè)切點(diǎn)為C(x，y)， 則切點(diǎn)滿足2(x＋1)－y＋λ＝0，即y＝2(x＋1)＋λ， 代入圓方程整理得：5x2＋(2＋4λ)x＋(λ2－4)＝0，(*) 由直線與圓相切可知，(*)方程只有一個(gè)解， 因而有Δ＝0，得λ＝－3或7. 答案　A 2．(2012人大附中最新月考)設(shè)m＞0，則直線(x＋y)＋1＋m＝0與圓x2＋y2＝m的位置關(guān)系為(　　)． A．相切 B．相交 C．相切或相離 D．相交或相切 解析　圓心到直線l的距離為d＝，圓半徑為. 因?yàn)閐－r＝－＝(m－2＋1) ＝

6、(－1)2≥0，所以直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離，故選C. 答案　C 3．已知M(x0，y0)是圓x2＋y2＝r2(r＞0)內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x0x＋y0y＝r2與此圓的位置關(guān)系為_(kāi)_______． 解析　圓心O(0,0)到直線x0x＋y0y＝r2的距離為d＝.因?yàn)镻(x0，y0)在圓內(nèi)，所以＜r. 則有d＞r，故直線和圓相離． 答案　相離 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)若直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)，且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程； (2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P

7、的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解　(1)由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0， 由垂徑定理，得圓心C1到直線l的距離 d＝＝1， 結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得＝1， 化簡(jiǎn)得：24k2＋7k＝0，k＝0，或k＝－， 所求直線l的方程為：y＝0或y＝－(x－4)， 即y＝0或7x＋24y－28＝0. (2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，n)，直線l1、l2的方程分別為： y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)， 即：kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0， 因?yàn)橹本€l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等． 由垂徑定理，得：圓心C1到直線l1與C2到直線l2的距離相等． 故有：＝， 化簡(jiǎn)得：(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.因?yàn)殛P(guān)于k的方程有無(wú)窮多解，有：或 解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或. 4