九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 與圓有關(guān)的角試題 （新版）青島版.doc

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與圓有關(guān)的角 角是幾何圖形中最重要的元素，圓心角和圓周角是圓中比較常見的角。圓的特征賦予角極強(qiáng)的靈活性，使得角之間能靈活的互相轉(zhuǎn)化。 1. 圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。 說明：在同圓或等圓中，根據(jù)圓周角與圓心角的倍半關(guān)系，可實(shí)現(xiàn)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)化，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可將圓周角在大小不變的情況下，改變頂點(diǎn)在圓上的位置進(jìn)行探索。 2. 圓周角定理推論： 推論1：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 推論2：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。 說明：根據(jù)圓周角定理推論，可將直角三角形引入到圓中，解決圓中有關(guān)角或線段問題； 由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和外角等于內(nèi)對(duì)角，可將與圓有關(guān)的角互相聯(lián)系起來。 3. 弧、弦、圓心角之間的關(guān)系： 同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。 說明：根據(jù)弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，可在圓中弧、弦、圓心角之間架起一道橋梁。 4. 切線性質(zhì)定理： 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 說明：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，可以把圓的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題解決。 示例：如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，AO與⊙O交于點(diǎn)C，若∠BAO=40，則∠OCB的度數(shù)為（ ） A. 40 B. 50 C. 65 D. 75 解析：本題出現(xiàn)了切線，利用切線的性質(zhì)，可把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題解決；同時(shí)根據(jù)同圓的半徑相等，可以建立等腰三角形解答問題。 解：∵AB是⊙O的切線，∴∠OBA=90，∴∠O=90－∠BAO=90－40=50，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=（180－50）=65，故選C。 例題 已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點(diǎn)D。 （1）如圖①，當(dāng)直線l與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，若∠DAC=30，求∠BAC的大?。? （2）如圖②，當(dāng)直線l與⊙O相交于點(diǎn)E、F時(shí)，若∠DAE=18，求∠BAF的大小。 解析：（1）連接OC，由已知及切線的性質(zhì)推AD∥OC，進(jìn)而根據(jù)OA=OC，推∠DAC、∠ACO、∠CAO的關(guān)系；（2）連接BF，根據(jù)已知條件利用直角三角形兩直角互余求建立等量關(guān)系，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)轉(zhuǎn)化關(guān)系，最后求∠BAF。 答案：解：（Ⅰ）如圖，連接OC。 ∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí)，∴OC⊥l，得∠OCD=90。由AD⊥l，得∠ADC=90。 ∴AD∥OC，∴∠ACO=∠DAC，在⊙O中，由OA=OC，得∠BAC=∠ACO，∴∠BAC=∠DAC=30； （Ⅱ）如圖，連接BF。 ∵AB為⊙O直徑，，∴∠FAB+∠B=90。 ∵AD⊥l，∴∠DAE+∠AED=90。 ∵∠AED+∠AEF=180， 又∵在⊙O中，四邊形ABFE是圓內(nèi)接四邊形，有∠AEF+∠B=180， ∴∠AED =∠B， ∴∠FAB=∠DAE。 ∵∠DAE=18， ∴∠BAF=18。 點(diǎn)撥：1. 有切線和切點(diǎn)，常做切半徑作為輔助線，轉(zhuǎn)移相關(guān)的角；2. 直徑對(duì)的圓周角是直角、圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)等性質(zhì)是在圓中推導(dǎo)角的關(guān)系時(shí)常用的性質(zhì)。 圓中的角在開放性問題中的應(yīng)用 滿分訓(xùn)練 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑?！螦CB的平分線CD交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F。 （1）求證：DP∥AB； （2）試猜想線段AE、EF、BF之間有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明； 解析：（1）題須作“經(jīng)過切點(diǎn)的半徑”，是圓中解決和切線有關(guān)的問題時(shí)常用的輔助線；理順各角間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。（2）題須證明△ADE≌△DBF，利用圓周角定理找出AD＝BD是解答本題的關(guān)鍵； 答案：（1）證明：連接OD。∵PD切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90 ∵∠ACD＝∠BCD，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD， ∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝180＝90，∴∠ODP＝∠BOD，∴PD∥AB。 （2）答：BF－AE＝EF。證明如下：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝90。 ∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AED＝∠BFD＝90，∴∠FBD＋∠BDF＝90，∴∠FBD＝∠ADE。 ∵∠AOD＝∠BOD，∴AD＝BD，∴△ADE≌△DBF?！郆F＝DE，AE＝DF， ∴BF－AE＝DE－DF＝EF，即BF－AE＝EF。 點(diǎn)撥：由于圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，所以如果圓中有切線，一般作經(jīng)過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中求角的度數(shù)；在同圓或等圓中，常借助圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，來尋求圓周角和圓心角之間的關(guān)系。 （答題時(shí)間：30分鐘） 1. （黔西中考）如圖1所示，線段AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)E，則等于（ ） A. B. C. D. 2. 如圖所示，直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點(diǎn)D并交BA的延長線于點(diǎn)C，且AB＝2，AD＝1，P點(diǎn)在切線CD上移動(dòng)。當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，則∠ABP的度數(shù)為（ ） A. 15 B. 30 C. 60 D. 90 3. （廣東中考）如圖，□ABCD的頂點(diǎn)A、B、D在⊙O上，頂點(diǎn)C在⊙O的直徑BE上，∠ADC=54，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為（ ） A. 36 B. 46 C. 27 D. 63 4. 如圖，⊙C過原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），M是第三象限內(nèi)上一點(diǎn)，∠BMO=120，則⊙C的半徑長（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 3 5. 如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ABO＝40，則∠ACB的大小為（ ） A. 40 B. 30 C. 50 D. 60 6. 如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，MN與⊙O相切，切點(diǎn)為A，若∠MAB=30。則∠B= 度。 7. 如圖，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，若∠P=70，則∠C的大小為 。 8. （濟(jì)南中考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在⊙O上，∠BAD=35，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)C，則∠C=__________度。 9. 在⊙O中，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，連接CO并延長交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD。求∠D的度數(shù)。 10. 如圖AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，K為上一動(dòng)點(diǎn)，AK、DC的延長線相交于點(diǎn)F，連接CK、KD。 求證：∠AKD＝∠CKF  1. A 解析：連接OC， ∵CE為切線，∴∠OCE=90∵，∴∠COE=40，∴∠E=50。故選A。 2. B 解析：∵如圖所示，連接OD，BD， 由切線的性質(zhì)可知，OD⊥CD，OA＝OD＝AD＝1。∴△AOD為等邊三角形，∠DAO＝∠AOD＝60，∠CDA＝90－60＝30，又∵∠DCA＝90－60＝30，∴當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時(shí)，P點(diǎn)移動(dòng)到D點(diǎn)的位置，即∠CDA＝∠DCA＝30?！唷螦BD＝30。故答案為B。 3. A 解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠ADC=54。 ∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE=90，∴∠AEB=90－∠B=90－54=36。故選A。 4. C 解析：連結(jié)OC，∵點(diǎn)A、B、M、O四點(diǎn)共圓，∴∠BMO +∠BAO=180，∵∠BMO=120，∴∠BAO=60，∵AC=OC，∴△OAC是等邊三角形?！郞C=OA=3。故本題選C。 5. C 解析：在⊙O中，OA＝OB，所以∠ABO＝∠BAO＝40，所以∠AOB＝100，所以∠ACB＝∠AOB＝50。故選C。 6. 60 解析：連接OA， 則OA⊥MN，由于∠MAB=30，所以∠OAB=90－30=60，而OA=OB，所以∠B=∠OAB=60。 7. 55 解析：如圖，連接OA、OB， ∵PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，∴∠PAO=∠PBO=90，又∠P=70，∴∠AOB=360－902－70=110，∴∠C=。 8. 20 解析：連接OD， 則∠ODC=90，∠DOC=2∠BAD=70，因此∠C=90－70=20。 9. 解析：連接BD， ∵AB⊙O是直徑，∴BD ⊥AD。又∵CF⊥AD，∴BD∥CF，∴∠BDC=∠C。又∵∠BDC=∠BOC，∴∠C=∠BOC，∵AB⊥CD，∴∠C=30，∴∠ADC＝60。 10. 解析：證明：連接AD，∵∠CKF是圓內(nèi)接四邊形ADCK的外角，∴∠CKF＝∠ADC， ∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴＝?！唷螦DC＝∠AKD?！唷螦KD＝∠CKF