中考數(shù)學總復習 第二部分 專題綜合強化 專題六 二次函數(shù)的綜合探究(壓軸題)類型1 針對訓練.doc
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第二部分 專題六 類型一 1.(xx江西樣卷)在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過P(,5),A(0,2)兩點. (1)求此拋物線的解析式; (2)設拋物線的頂點為B,將直線AB沿y軸向下平移兩個單位得到直線l,直線l與拋物線的對稱軸交于C點,求直線l的解析式; (3)在拋物線上是否存在一個點P,使P點與A,C兩點構(gòu)成等邊三角形?如果不存在,說明理由;如果存在,試求出它的坐標. 解:(1)根據(jù)題意得解得 ∴拋物線的解析式為y=x2+x+2. (2)由y=x2+x+2,得拋物線的頂點坐標為B(-,1). 依題意,可得C(-,-1),且直線l過原點. 設直線l的解析式為y=kx, 則-k=-1,解得k=, ∴直線l的解析式為y=x. (3)存在點P(-2,2),使得△PAC為等邊三角形. 如答圖,連接AC, ∵A,B,C三點的坐標為(0,2),(-,1),(-,-1), ∴AB=OA=2,OC=2,AC=2. ∴tan∠BAO==,∠BAO=60. 又∵AB∥l ,BC平行于y軸, ∴四邊形ABCO是菱形,∠CAO=30. 故要使△PAC為等邊三角形,只要使∠PAC=60,PA=AC. 過A點作x軸的平行線,交拋物線于點P,則有∠PAC=60. ∵拋物線的對稱軸為x=-,A點的坐標為(0,2),A點與P點關于對稱軸對稱, ∴PA=2=AC.即存在點P(-2,2)使得△PAC為等邊三角形. 2.如圖,在平面直角坐標系中,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點A在DE上,以A為頂點的拋物線過點C,且對稱軸x=1交x軸于點B.連接EC,AC.點P,Q為動點,設運動時間為t秒. (1)填空:點A坐標為 (1,4);拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4_. (2)在圖1中,若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動,同時,點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動,當一個點到達終點時,另一個點隨之停止運動.當t為何值時,△PCQ為直角三角形? (3)在圖2中,若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動,過點P作PF⊥AB,交AC于點F,過點F作FG⊥AD于點G,交拋物線于點Q,連接AQ,CQ.當t為何值時,△ACQ的面積最大?最大值是多少? 解:(1)∵拋物線的對稱軸為x=1,矩形OCDE的三個頂點分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點A在DE上,∴點A坐標為(1,4), 設拋物線的解析式為y=a(x-1)2+4,把C(3,0)代入拋物線的解析式, 可得a(3-1)2+4=0,解得a=-1. 故拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4. (2)依題意有OC=3,OE=4, ∴CE===5, 當∠QPC=90時,∵cos∠QCP==, ∴=,解得t=; 當∠PQC=90時,∵cos∠QCP==, ∴=,解得t=. ∴當t=或t=時,△PCQ為直角三角形. (3)∵A(1,4),C(3,0), 設直線AC的解析式為y=kx+b,則 解得 故直線AC的解析式為y=-2x+6. ∵P(1,4-t),將y=4-t代入y=-2x+6中,得x=1+,∴Q點的橫坐標為1+, 將x=1+代入y=-(x-1)2+4中,得y=4-. ∴Q點的縱坐標為4-, ∴QF=(4-)-(4-t)=t-, ∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ=FQAG+FQDG=FQ(AG+DG)=FQAD=2(t-)=-+t=-(t-2)2+1, ∴當t=2時,△ACQ的面積最大,最大值是1. 3.(xx景德鎮(zhèn)二模)如圖,拋物線C1:y1=tx2-1(t>0)和拋物線C2:y2=-4(x-h(huán))2+1(h≥1). (1)兩拋物線的頂點A,B的坐標分別為 (0,-1)和 (h,1); (2)設拋物線C2的對稱軸與拋物線C1交于點N,則t為何值時,A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形; (3)設拋物線C1與x軸的左交點為點E,拋物線C2與x軸的右邊交點為點F,試問,在第(2)問的前提下,四邊形AEBF能否為矩形?若能,求出h值;若不能,說明理由. 解:(1)拋物線C1:y1=tx2-1的頂點坐標是(0,-1), 拋物線C2:y2=-4(x-h(huán))2+1的頂點坐標是(h,1). (2)∵AM∥BN, ∴當AM=BN時,A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形. ∵當x=h時,y2=1,y1=tx2-1=th2-1, ∴BN=|1-(th2-1)|=|2-th2|. ①當點B在點N的下方時,4h2-2=th2-2, ∵h2≠0,∴t=4; ②當點B在點N的上方時,4h2-2=2-th2, 整理,得t+4=, ∵當t>0時,t+4>4;當h≥1時,≤4, ∴這樣的t值不存在, ∴當點B在點N的下方時,t=4; 當點B在點N的上方時t值不存在. (3)能,理由如下:由(2)可知,兩個函數(shù)二次項系數(shù)互為相反數(shù), ∴兩拋物線的形狀相同,故它們成中心對稱. ∵點A和點B的縱坐標的絕對值相同, ∴兩拋物線的對稱中心落在x軸上. ∵四邊形AEBF是平行四邊形, ∴當∠EAF=90時,四邊形AFBE是矩形. ∵拋物線C1與x軸左交點坐標是(-,0),∴OE=. ∵拋物線C2與x軸右交點坐標是(h+,0)且h≥1,∴OF=h+. ∵∠FAO+∠EAO=90,∠EAO+∠AEO=90, ∴∠FAO=∠AEO. 又∵∠FOA=∠EOA=90, ∴△AEO∽△FAO,=, ∴OA2=OEOF,即(h+)=1,解得h=>1, ∴當h=時,四邊形AEBF為矩形.- 配套講稿:
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