九年級數(shù)學上冊 專題突破講練 三招教你求陰影面積試題 （新版）青島版.doc

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三招教你求陰影面積 在近年的中考或各類數(shù)學競賽中，頻頻出現(xiàn)求陰影面積的題目，而其陰影部分圖形大多又是不規(guī)則的，部分同學乍遇這類題目則顯得不知所措．求不規(guī)則圖形面積主要是通過轉(zhuǎn)化，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，再進行計算． 以下三招可以助你一臂之力！ 第一招：直接法 將不規(guī)則圖形直接轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形的求和或求差，先求出涉及適合該圖形的面積計算公式中某些線段、角的大小，然后直接代入公式進行計算．這是求面積的常用方法．不規(guī)則陰影部分常常由三角形、四邊形、弓形、扇形和圓、圓弧等基本圖形組合而成的，其中： 1. 扇形的定義：如下圖，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形是扇形． 2. 扇形面積公式：若設(shè)⊙O半徑為R，則圓心角為n的扇形的面積公式為： 又因為n的圓心角所對的弧長為：，所以． 說明：公式中n表示1圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的； 例如：如圖，扇形AOB的圓心角為直角，若OA＝4cm，以AB為直徑作半圓，求陰影部分的面積． 解析：圖中陰影部分面積為：以AB為直徑的半圓面積減去弓形AmB面積；而弓形面積等于扇形AOB面積減去△AOB面積． 解：∵OA＝4cm，∠O＝90，OB＝4cm，∴（cm2）， 又，所以， 而， 故． 第二招：割補法 1. 把陰影部分的圖形通過割補，拼成規(guī)則圖形，然后再求面積． 例如：如圖（1），在以AB為直徑的半圓上，過點B做半圓的切線BC，已知AB=BC=， 連結(jié)AC，交半圓于D，則陰影部分圖形的面積是______． 解析：圖中兩塊陰影部分圖形都是不規(guī)則圖形，但因，所以可進行割補轉(zhuǎn)化． 解：連接DB，因為AB=BC， ，如圖（2），所以 AD=DB=DC，所以 把弓形AD割補到弓形DB處，則圖（1）中陰影部分圖形的面積等于圖（2）中Rt△BDC的面積． 因此． 2. 當陰影部分圖形為分散的個體時，可針對其結(jié)構(gòu)特征，視各陰影部分圖形為一個整體，然后利用相關(guān)圖形的面積公式整體求出． 例如：如圖，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部分）的面積之和是多少？ 解析：由題意知，五個扇形（陰影部分）的半徑都是1，是等圓，可把五個扇形割補到同一個圓中． 解：因為，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）180=540 所以． 第三招：等積變形 把所求陰影部分的圖形適當進行等積變形，即是找出與它面積相等的特殊圖形，從而求出陰影部分圖形的面積．例如： 如圖，A是半徑為2的⊙O外一點，OA＝4，AB是⊙O的切線，點B是切點，弦BC∥OA，連結(jié)AC，求圖中陰影部分的面積． 解析：圖中陰影部分可看作弓形BC面積與三角形ABC面積的和，而△ABC不是Rt△，所以考慮借助OA∥BC將△ABC移形，連接OC、OB，則S△OCB＝S△ACB．則陰影部分面積為扇形AOB面積． 解：連接OB、OC，如圖， 因為BC∥OA，所以△ABC與△OBC在BC上的高相等，所以， 所以，又∵AB是⊙O的切線，所以O(shè)B⊥AB，而OB＝2，OA＝4，所以∠AOB＝60，由BC∥OA得∠OBC＝60，所以△OBC為等邊三角形，∠BOC＝60， ． 例題 如圖，AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點O1、O2、O3、O4分別OA、OB、OC、OD的中點，若⊙O的半徑是2，則陰影部分的面積為（ ） A. 8 B. 4 C. 4π+4 D. 4π－4 解析：如圖將AD、DB、BC、CA、OE、O3E連接起來，得到一個對角線為4的正方形，由割補法：將每個小圓外面兩個弓形圖形放進正方形空白處，陰影面積正好是正方形面積． 解：連接AD，DB，BC，CA，．故選A． 答案：A 點撥：求解一些幾何圖形的面積，特別是不規(guī)則幾何圖形的面積時，常可通過變換等，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，使復雜問題簡單化，這種解題方法也體現(xiàn)了整體思想、轉(zhuǎn)化思想．割補法是轉(zhuǎn)化法的一種． 求旋轉(zhuǎn)問題中的陰影面積 滿分訓練 （江蘇中考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90，AB＝5cm，AC＝2cm，將△ABC繞頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45至△A1B1C的位置，則線段AB掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為 cm2． 解析：陰影部分的圖形是不規(guī)則的圖形，求面積時應想到利用圖形的割補或利用特殊圖形的面積的和或差來求． 解：∵∠BAC＝90，∴BC2＝AB2＋AC2＝52＋22＝29．∴S陰影＝S扇形BCB1＋S△A1B1C－S△ABC－S扇形ACA1 ．∵△ABC旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C，∴S△ABC＝S△A1B1C，∴S陰影＝S扇形BCB1－S扇形ACA1＝－＝（cm2），故答案為． 答案： 點撥：扇形面積的計算公式：S＝，S＝lR，求陰影面積（或不規(guī)則圖形面積）時常用圖形割補的方法（圖形變換），或用幾個特殊圖形的面積的和或差來求．利用旋轉(zhuǎn)變換將所求面積轉(zhuǎn)化為兩個扇形的面積之差是解題關(guān)鍵。 （答題時間：30分鐘） 1. （德州中考）如圖，扇形AOB的半徑為1，∠AOB=90，以AB為直徑畫半圓，則圖中的陰影部分的面積為（ ） A. p B. p- C. D. p+ 2. 如圖，點E是BC的中點，AB是⊙O的直徑，AB＝4，∠BED＝120，則圖中陰影部分的面積之和為（ ） A. 1 B. C. D. 2 *3. 如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過Rt△ABC斜邊AB的兩個端點，交直角邊AC于點E． B，E是半圓弧的三等分點，弧BE的長為，則圖中陰影部分的面積為（ ） A. B. C. D. *4. 在△ABC中，∠C為銳角，分別以AB、AC為直徑作半圓，過點B、A、C作弧，如圖所示，若AB=4，AC=2，，則S3－S4的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=8，BC=6，兩等⊙A、⊙B外切，那么圖中兩個扇形（即陰影部分）的面積之和為 ． 6. 如圖，△ABC的三個頂點都在55的網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）的格點上，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，且點A′、C′仍落在格點上，則圖中陰影部分的面積約是 （π≈3．14，結(jié)果精確到0．1） *7. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，AB＝2． 將△ABC繞頂點A順時針方向旋轉(zhuǎn)至△AB′C′的位置，B、A、C′三點共線，則線段BC掃過的區(qū)域面積為 ． 8. 如圖，三個小正方形的邊長都為1，則圖中陰影部分面積的和是 ．（結(jié)果保留） **9. 如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點C，AD⊥EF于點D，∠DAC=∠BAC． （1）求證EF是⊙O的切線；（2）求證AC2=ADAB （3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30，求圖中陰影部分的面積． 10. 如圖，在△ABC中，∠ACB=90，E為BC上的一點，以CE為直徑作⊙O，AB與⊙O相切于點D，連接CD，若BE=OE=2． （1）求證：∠A=2∠DCB；⑵求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）． **11. 如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE． （1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （2）若E是的中點，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積． **12. 如圖，AB為⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD=60，P為AB延長線上的點，∠APD=30 （1）求證：DP是⊙O的切線；⑵若⊙O的半徑為3cm，求圖中陰影部分的面積． 13. 如圖，AB是半圓O的直徑，且AB＝8，點C為半圓上的一點．將此半圓沿BC所在的直線折疊，若恰好過圓心O，則圖中陰影部分的面積是 ．（結(jié)果保留π）  1. C 解析：因為扇形AOB的半徑為1，∠AOB=90，所以AB=，△AOB的面積為，扇形AOB的面積為，所以弓形的面積為，又因為半圓的面積為，所以陰影部分的面積為：－（）=．故選C． 2. C 解析：連接AE、OD，∵AB是直徑，∴AE⊥BC．∵點E是BC的中點，∴AB=AC．在△AEB與△AEC中，AE=AE，∠AEB=∠AEC=90，BE=CE，∴Rt△AEB≌Rt△AEC，∴AB=AC（SAS）∴△ABC是等腰三角形．∵∠BED=120，∴∠BAD=60（圓內(nèi)接四邊形的對角互補），∴△ABC是等邊三角形（有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形）．∵OA=OD，∴△OAD是等邊三角形，∴AD=OA=2，∴點D是AC的中點，∴DE=2（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半），∵∠BAE=30，∴BE=AB=2，∴DE=BE，∴=，∴=．又∵DE是△ABC的中位線，∴△CDE是邊長為2的等邊三角形，∴===． 故選C． 3. D 解析：如下圖所示：連接OB、OE、BE、BD．設(shè)半圓的半徑為R． ∵B、E是半圓弧的三等分點，∴∠DOB＝∠BOE＝∠EOA＝60． ∵弧BE的長為，∴，解得R＝2．∴S扇形OBE＝＝2＝． ∵AD是半圓O的直徑，∴∠ABD＝90．在Rt△ABD中，∠BAD＝∠DOB＝30， ∴AB＝ADcos∠BAD＝4＝．在Rt△ABC中，∠C＝90，∠BAC＝∠BOE＝30， ∴BC＝AB＝，AC＝ABcos∠BAC＝＝3．∴S△ABC＝ACBC＝3＝．∵OB＝OE，∠BOE＝60，∴△BOE是等邊三角形， ∴∠BEO＝60＝∠EOA，∴BE∥AD，∴S△ABE＝S△OBE， ∴S陰影＝S△ABC－S△ABE－S弓形OBE＝S△ABC－S△OBE－S弓形OBE＝S△ABC－S扇形OBE ＝． 故選D． 4. D 解析：∵S1+S3=πAB2=2π ①，S2+S4=πAC2=π ②，∴①－②得：（S1－S2）+（S3－S4）=，∵， ∴S3－S4=－=．故選D． 5. 解析：∵∠C=90，AC=8，BC=6∴AB=10∵∠C=90∴∠A+∠B=90，由等圓可知⊙A、⊙B的半徑為5，根據(jù)扇形的面積計算公式，可得陰影部分的面積等于 +=== 6. 7.2 解析：依題意，得扇形的半徑＝＝，圓心角∠ABA′＝90，∴圖中陰影部分的面積＝扇形的面積－直角三角形的面積＝－23＝π13－3≈3．1413－3＝10．205－3≈7．2． 7. 解析：＝＝＝． 8. 解析：圖中三塊陰影部分都是扇形，且半徑相等，由平行線內(nèi)錯角相等和正方形的對角線的性質(zhì)可知，三個扇形的圓心角的度數(shù)之和為，所以，圖中陰影部分面積的和為=． 9. 解析：⑴證明：連接OC， ∵AD⊥EF，∴∠ADC=90，∴∠ACD+∠CAD=90，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵∠DAC=∠BAC，∴∠CAD=∠ACO，∵∠ACD+∠CAD=90，∴∠ACD+∠ACO =90即∠OCD=90，∴EF是⊙O的切線. ⑵證明：連接BC．∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90，即∠ACD+∠ACO=90．①∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∴∠AOC=180－2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90．②，由①②得：∠ACD－∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD， ∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADC=90．在Rt△ACD與△RtACB中，∵∠B=∠ACD ∠ACB=∠ADC，∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=ABAD． ⑶∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90， 即∠ACD+∠ACO=90，∵∠ACD=30，∴∠OCA=60，∵OC=OA，∴△ACO是等邊三角形，∴AC= OC=2，∠AOC=60， 在Rt△ADC中，∵∠ACD=30，∴AD=1，CD=，S陰影= S梯形OCDA－ S扇形OCA=． 10. 解析：（1）證明：連接OD． ∵AB與⊙O相切于點D，∴∠ODB=90，∴∠B+∠DOB=90， ∵∠ACB=90，∴∠A+∠B=90，∴∠A=∠DOB， ∵OC=OD，∴∠DOB=2∠DCB，∴∠A=2∠DCB; （2）在Rt△ODB中，∵OD=OE，OE=BE，∴cos∠B==，∴∠DOB=60． ∵BD=OBsin60=2．∴S扇形ODE==π，S陰影=S△DOB－S扇形ODE=2－π． 11. 解析：（1）CD與圓O相切，理由為： ∵AC為∠DAB的平分線，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD與圓O相切； （2）連接EB， 由AB為直徑，得到∠AEB=90，∴EB∥CD，F(xiàn)為EB的中點，∴OF為△ABE的中位線，∴OF=AE=，即CF=DE=，在Rt△OBF中，根據(jù)勾股定理得：EF=FB=DC=，則S陰影=S△DEC==． 12. 解析：⑴連接OD、DB， ∵∠ACD=60∴∠ABD=60．又∵OB=OD，∴△OBD為等邊三角形，∴∠BOD=60． 又∵∠APD=30，∴∠ODP=90，∴OD⊥DP，又∵點D在⊙O上，∴DP是⊙O的切線． ⑵由⑴知△ODP為Rt△，∠APD=30，∴tan30=，∴DP=． ∴S陰影=S△ODP-S扇形=OD?DP－=3-=- 答：陰影部分的面積為cm． 13. 解析：如下圖，連接OC，過點O作OG⊥BC于點G，交半圓周于點D． 易知直線BC、OD是兩條弧BOC與BDC所圍成的圖形的對稱軸，故OG＝OC，從而∠OCG＝30，∠COG＝∠GOB＝60，∠AOC＝60．由對稱性易知，弧OFB與半徑OB組成的弓形面積等于弧OEC與半徑OC組成的弓形面積，因此，S陰影部分＝S扇形OAC＝＝．