九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 解決方位角問題試題 （新版）青島版.doc

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解決方位角問題 方位角 方位角：指北（或指南）方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的角叫做方位角。如圖中的目標(biāo)方向線OA、OB、OC分別表示北偏東60，南偏東30，北偏西70。特別地，若目標(biāo)方向線與指北（或指南）的方向線成45的角，如圖的目標(biāo)方向線OD與正南方向線成45角，通常稱為西南方向。 方法歸納：方位角可以看成是將正北或正南方向的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的。故在應(yīng)用中，一要確定其始邊是正北還是正南；二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西；三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小。 總結(jié)： 1. 能夠根據(jù)題意作出方位角，分清圖形中的方位角。 2. 合理構(gòu)造直角三角形，會(huì)解與方位角有關(guān)的三角函數(shù)問題。 例題 據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)，一強(qiáng)臺(tái)風(fēng)的中心位于A市的東南方向（36＋108）km的海面上P處。目前臺(tái)風(fēng)中心以20km/h的速度向北偏西60的方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心50km的圓形區(qū)域均會(huì)受到強(qiáng)襲擊。已知B市位于A市的正南方向72km處，C市位于B市的北偏東60方向56km處。那么，會(huì)受到這次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)襲擊的城市是（ ） A. 只有A市 B. 只有B市 C. B市和C市 D. A市、B市和C市 解析：分別過點(diǎn)A、B、C構(gòu)造直角三角形，計(jì)算點(diǎn)A、B、C到直線PQ的距離，比較它們與50的大小關(guān)系即可。 答案：如圖，過P作PO⊥AB于O?！螼AP＝∠APO＝45。∴OA＝OP＝APsin45＝（36＋108）＝（36＋108）。BO＝AO－AB＝36＋108－72＝（36＋36）。設(shè)臺(tái)風(fēng)方向PQ與AO交點(diǎn)為M，∠MPO＝90－60＝30，OM＝OPtan30＝（36＋108）＝（36＋36）?！郞M＝OB，∴點(diǎn)M和B重合，∴臺(tái)風(fēng)中心必經(jīng)過B市。過C作CD⊥PQ于D，∠CBD＝90－60＋30＝60，CD＝CBsin60＝56＝28＜50，∴C市也受臺(tái)風(fēng)影響。過點(diǎn)A作AG⊥PQ于點(diǎn)G，AG＝ABsin60＝72＝36＞50，∴A市不受臺(tái)風(fēng)襲擊。選C。 點(diǎn)撥：解答這類問題時(shí)必須要明確兩點(diǎn)，一是臺(tái)風(fēng)行進(jìn)的路線，二是某點(diǎn)到臺(tái)風(fēng)行進(jìn)路線的距離。所以，其解題思路一般都是圍繞某條直線和某些點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)及勾股定理求解。 解答方位角問題一定要結(jié)合圖形，只要確定了方向線與南北方向線的夾角，就可解決問題。但關(guān)鍵還是構(gòu)造直角三角形，將方位角轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角。 滿分訓(xùn)練 閱讀下列材料，并解決后面的問題。 在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c。過A作AD⊥BC于D（如圖），則sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即＝。同理有＝，所以＝＝。即：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。 （1）在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素a、b、∠A，運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素c、∠B、∠C，請(qǐng)你按照下列步驟填空，完成求解過程： 第一步：由條件a、b、∠A，用關(guān)系式__________求出∠B； 第二步：由條件∠A、∠B，用關(guān)系式__________求出∠C； 第三步：由條件__________，用關(guān)系式__________求出c。 （2）一艘貨輪在C處測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西30的方向上，隨后貨輪以28.4海里/時(shí)的速度按北偏東45的方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西70的方向上（如圖），求此時(shí)貨輪距燈塔A的距離AB（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin40＝0.643，sin65＝0.906，sin70＝0.940，sin75＝0.966）。 解析：（1）只要讀清題意，填寫此問應(yīng)該不難；（2）本題要構(gòu)建出直角三角形，使得已知和所求的條件都轉(zhuǎn)移到直角三角形中進(jìn)行計(jì)算。 答案：（1）＝；∠A＋∠B＋∠C＝180；a、∠A、∠C或b、∠B、∠C；＝或＝。 （2）如圖所示，依題意：∠FBC＝180－∠ECB＝135，∵∠FBA＝70，∴∠ABC＝65，∴∠A＝180－∠ACB－∠ABC＝40，BC＝14.2。過B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，∵BC＝28.4＝14.2，∴BD＝BC?sin75≈13.7，在Rt△ABD中，AB＝BDsin40≈21.3（海里）。 答：貨輪距燈塔A的距離約為21.3海里。 點(diǎn)撥：本題考查了三角函數(shù)以及解直角三角形的應(yīng)用，注意解直角三角形的應(yīng)用關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形，以便把條件和問題都放到直角三角形中進(jìn)行解決。 一、選擇題 1. 某時(shí)刻海上點(diǎn)P處有一客輪，測(cè)得燈塔A位于客輪P的北偏東30方向，且相距20海里?？洼喴?0海里/小時(shí)的速度沿北偏西60方向航行小時(shí)到達(dá)B處，那么tan∠ABP＝（ ） A. B. 2 C. D. 2. 如圖，學(xué)校在小明家北偏西30方向，且距小明家6千米，那么學(xué)校所在位置A點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A. （3，3） B. （－3，－3） C. （3，－3） D. （－3，3） *3. 如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的北偏東60方向直線延伸，測(cè)繪員在A處測(cè)得要安裝天然氣的M小區(qū)在A市的北偏東30方向，測(cè)繪員沿主輸氣管道步行1000米到達(dá)點(diǎn)C處，測(cè)得M小區(qū)位于點(diǎn)C的北偏西75方向，試在主輸氣管道上尋找支管道連接點(diǎn)N，使到該小區(qū)鋪設(shè)的管道最短，此時(shí)AN的長約是（ ）米 A. 366 B. 650 C. 634 D. 700 **4. 一漁船在海島A南偏東20方向的B處遇險(xiǎn)，測(cè)得海島A與B的距離為20海里，漁船將險(xiǎn)情報(bào)告給位于A處的救援船后，沿北偏西80方向向海島C靠近，同時(shí)，從A處出發(fā)的救援船沿南偏西10方向勻速航行，20分鐘后，救援船在海島C處恰好追上漁船，那么救援船航行的速度為（ ） A. 10海里/小時(shí) B. 30海里/小時(shí) C. 20海里/小時(shí) D. 30海里/小時(shí) 二、填空題 5. 如圖，一天，我國一漁政船航行到A處時(shí)，發(fā)現(xiàn)正東方向的我領(lǐng)海區(qū)域B處有一可疑漁船，正在以16海里/小時(shí)的速度向西北方向航行，我漁政船立即沿北偏東60方向航行，1.5小時(shí)后，在我領(lǐng)海區(qū)域的C處截獲可疑漁船。我漁政船的航行路程是__________海里。 6. 如圖，在港口M的南偏西60方向有一座小島P，一船以每小時(shí)20千米的速度從港口M出發(fā)，沿正西方向行駛，半個(gè)小時(shí)后，這艘船在A處測(cè)得小島在船的正南方向，那么小島P與港口M相距__________千米。 7. 如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地經(jīng)過C地沿折線A→C→B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛。已知AC＝10千米，∠A＝30，∠B＝45。則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走_(dá)_________千米。（結(jié)果保留根號(hào)） *8. 如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在A處望見一艘正在作業(yè)的漁船D在南偏西45方向，海監(jiān)船航行到B處時(shí)望見漁船D在南偏東45方向，又航行了半小時(shí)到達(dá)C處，望見漁船D在南偏東60方向，若海監(jiān)船的速度為50海里/小時(shí)，則A，B之間的距離為__________海里（取≈1.7，結(jié)果精確到0.1海里）。 三、解答題 9. 如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，小張?jiān)谛〉郎蠝y(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB＝80.0米，∠PAB＝38.5，∠PBA＝26.5。請(qǐng)幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置。（以A，B為參照點(diǎn)，結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin38.5＝0.62，cos38.5＝0.78，tan38.5＝0.80，sin26.5＝0.45，cos26.5＝0.89，tan26.5＝0.50） 10. xx年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊(duì)立即趕赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行救援，救援隊(duì)利用生命探測(cè)儀在地面A、B兩個(gè)探測(cè)點(diǎn)探測(cè)到C處有生命跡象。已知A、B兩點(diǎn)相距4米，探測(cè)線與地面的夾角分別是30和45，試確定生命所在點(diǎn)C的深度。（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73） *11. 如圖，馬路的兩邊CF、DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側(cè)的A、B兩點(diǎn)分別表示車站和超市。CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路兩邊垂直，馬路寬20米，A，B相距62米，∠A＝67，∠B＝37。 （1）求CD與AB之間的距離； （2）某人從車站A出發(fā)，沿折線A→D→C→B去超市B，求他沿折線A→D→C→B到達(dá)超市比直接橫穿馬路多走多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin67≈，cos67≈，tan67≈，sin37≈，cos37≈，tan37≈） **12. 機(jī)器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走”，如圖所示，“海寶”從圓心O出發(fā)，先沿北偏西67.4方向行走13米至點(diǎn)A處，再沿正南方向行走14米至點(diǎn)B處，最后沿正東方向行走至點(diǎn)C處，點(diǎn)B、C都在圓O上。（本題參考數(shù)據(jù)：sin67.4＝，cos67.4＝，tan67.4＝） （1）求弦BC的長； （2）求圓O的半徑長。  1. A 解析：∵燈塔A位于客輪P的北偏東30方向，且相距20海里。∴PA＝20，∵客輪以60海里/小時(shí)的速度沿北偏西60方向航行小時(shí)到達(dá)B處，∴∠APB＝90，BP＝60＝40，∴tan∠ABP＝＝＝。 2. D 解析：∵學(xué)校在小明家北偏西30方向，且距小明家6千米，∴∠BOA＝30，OA＝6。 ∵∠ABO＝90，∴AB＝3，OB＝OAcos30＝3。即A點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，3）。 3. C 解析：如圖：過點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，根據(jù)題意得：∠MAN＝60－30＝30，∠BCM＝75，∠DCA＝60，∴∠MCN＝180－75－60＝45，設(shè)MN＝x米，在Rt△AMN中，AN＝＝x（米），在Rt△CMN中，CN＝＝x（米），∵AC＝1000米，∴x＋x＝1000，解得：x＝500（－1），∴AN＝x≈634（米）。 4. D 解析：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D。設(shè)AC＝x海里。在△ACD中，∠ADC＝90，∠CAD＝10＋20＝30，∴CD＝ACsin∠CAD＝AC＝x海里，AD＝ACcos∠CAD＝x海里。在△BCD中，∠BDC＝90，∠CBD＝80－20＝60，∴BD＝＝x海里。 ∵AD＋BD＝AB，∴x＋x＝20，解得x＝10（海里），∴救援船航行的速度為：10＝30（海里/小時(shí)）。 5. 24 解析：如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D，垂足為D，∵在直角三角形BCD中，BC＝161.5＝24（海里），∠CBD＝45，∴CD＝BC?sin45＝24＝12（海里），∴在直角三角形ACD中，AC＝＝122＝24（海里）。 6. 解析：在直角△APM中，AM＝20＝10千米，∠P＝60，則PM＝＝（千米）。 7. 5＋5－5 解析：過C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵AC＝10，∠A＝30，∴DC＝ACsin30＝5，AD＝ACcos30＝5，在Rt△BCD中，∵∠B＝45，∴BD＝CD＝5，BC＝5，則用AC＋BC－（AD＋BD）＝10＋5－（5＋5）＝5＋5－5（千米）。 8. 67.5 解析：∵∠DBA＝∠DAB＝45，∴△DAB是等腰直角三角形，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE＝AB，設(shè)DE＝x，則AB＝2x，在Rt△CDE中，∠DCE＝30，則CE＝DE＝x，在Rt△BDE中，∠DAE＝45，則DE＝BE＝x，由題意得，CB＝CE－BE＝x－x＝50，解得：x＝，故AB＝25（＋1）＝67.5（海里）。 9. 解：設(shè)PD＝x米，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠BDP＝90，在Rt△PAD中，tan∠PAD＝，∴AD＝≈＝x，在Rt△PBD中，tan∠PBD＝，∴DB＝≈＝2x，又∵AB＝80.0米，∴x＋2x＝80.0，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米，∴DB＝2x＝49.2。 答：小橋PD的長度約為24.6米，位于AB之間距B點(diǎn)約49.2米處。 10. 解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)CD＝x，在Rt△ACD中，∠CAD＝30，則AD＝CD＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝45，則BD＝CD＝x，由題意得，x－x＝4，解得：x＝＝2（＋1）≈5.5。答：生命所在點(diǎn)C的深度為5.5米。 11. 解：（1）設(shè)CD與AB之間的距離為x，則在Rt△BCF和Rt△ADE中，＝tan37，＝tan67，∴BF＝＝x，AE＝＝x，又∵AB＝62，CD＝20，∴x＋x＋20＝62，解得x＝24，故CD與AB之間的距離為24米； （2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，∵BC＝＝24＝40，AD＝＝＝26， ∴AD＋DC＋CB－AB＝40＋20＋26－62＝24（米）。 答：他沿折線A→D→C→B到達(dá)超市比直接橫穿馬路多走24米。 12. 解：（1）連接OB，過點(diǎn)O作OD⊥AB，∵AB∥SN，∠AON＝67.4，∴∠A＝67.4。∴OD＝AO?sin67.4＝13＝12。又∵BE＝OD，∴BE＝12。根據(jù)垂徑定理，BC＝212＝24（米） （2）∵AD＝AO?cos67.4＝13＝5，∴OD＝＝12，BD＝AB－AD＝14－5＝9?！郆O＝＝15。故圓O的半徑長15米。