高中數(shù)學 課時分層作業(yè)14 綜合法和分析法 新人教A版選修22

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1、 課時分層作業(yè)(十四)　綜合法和分析法 (建議用時：40分鐘) [基礎(chǔ)達標練] 一、選擇題 1．證明命題“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函數(shù)”，一個同學給出的證法如下： ∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－. ∵x>0，∴ex>1,0<<1 ∴ex－>0， 即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 他使用的證明方法是(　　) 【導學號：31062147】 A．綜合法　 B．分析法 C．反證法 D．以上都不是 A　[該證明方法符合綜合法的定義，應為綜合法．故選A.] 2．設P＝，Q＝－，R＝－，那么P，Q，R的大小關(guān)系是 (　　)

2、 A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P B　[先比較R，Q的大小，可對R，Q作差，即Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)． 又(＋)2－(＋)2＝2－2＜0， ∴Q＜R，由排除法可知，選B.] 3．要證－＜成立，a，b應滿足的條件是(　　) A．a(chǎn)b＜0且a＞b B．a(chǎn)b＞0且a＞b C．a(chǎn)b＜0有a＜b D．a(chǎn)b＞0且a＞b或ab＜0且a＜b D　[要證－＜， 只需證(－)3＜()3， 即證a－b－3＋3＜a－b， 即證＜， 只需證ab2＜a2b，即證ab(b－a)＜0. 只需ab＞0且b－a＜0或ab＜0，且b－a＞0. 故

3、選D.] 4．下面的四個不等式： ①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤； ③＋≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 其中恒成立的有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 C　[∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0， a(1－a)－＝－a2＋a－＝－2≤0， (a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2 ≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2.∴應選C.] 5．若兩個正實數(shù)x、y滿足＋＝1，且不等式x＋

4、數(shù)m的取值范圍是(　　) 【導學號：31062148】 A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) B　[∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋＝＝2＋＋ ≥2＋2＝4， 等號在y＝4x，即x＝2，y＝8時成立， ∴x＋的最小值為4， 要使不等式m2－3m>x＋有解， 應有m2－3m>4， ∴m<－1或m>4，故選B.] 二、填空題 6．如圖222所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，滿足________時，BD⊥A1C(寫上一個條件即可)． 圖222 [解析]　要證BD⊥A1C，

5、只需證BD⊥平面AA1C. 因為AA1⊥BD，只要再添加條件AC⊥BD， 即可證明BD⊥平面AA1C，從而有BD⊥A1C. [答案]　AC⊥BD(答案不唯一) 7．已知sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，則cos(α－β)的值為________. 【導學號：31062149】 [解析]　由sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，得sin α＋sin β＝－sin r，cos α＋cos β＝－cos r， 兩式分別平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos(

6、α－β)＝－. [答案]?。? 8．設a>0，b>0，則下面兩式的大小關(guān)系為lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． [解析]　∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b) ＝1＋2＋ab－1－a－b－ab ＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0. ∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)， ∴l(xiāng)g(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． [答案]　≤ 三、解答題 9. 設實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，非零實數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項，求證：＋＝2. [證明]　由已知條件得b2＝ac， 2x＝a＋b,2y＝b＋c.?、? 要證＋＝2，只要證ay＋cx＝2xy，

7、 只要證2ay＋2cx＝4xy.?、? 由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc， 4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc， 所以2ay＋2cx＝4xy.命題得證． 10. 設a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求證： (1)c2＞ab； (2)c－＜a＜c＋. [證明]　(1)∵a＞0，b＞0,2c＞a＋b≥2， ∴c＞， 平方得c2＞ab； (2)要證c－＜a＜c＋. 只要證－＜a－c＜. 即證|a－c|＜， 即(a－c)2＜c2－ab， ∵(a－c)2－c2＋ab＝a(a＋b－2c)＜0成立， ∴原不

8、等式成立． [能力提升練] 1．已知函數(shù)f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，則A、B、C的大小關(guān)系為(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A A　[≥≥，又函數(shù)f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)， ∴f≤f()≤f. 即A≤B≤C.] 2．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 C.＋＋≥2 D．a(chǎn)bc(a＋b＋c)≤ B　[∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， ∴a2

9、＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1， 又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac ＝a2＋b2＋c2＋2≥3.] 3．若對任意x>0，≤a恒成立，則a的取值范圍是________. 【導學號：31062150】 [解析]　若對任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于這個最大值即可．因為x>0，所以y＝＝≤＝，當且僅當x＝1時，等號成立，所以a 的取值范圍是 [答案]　 4．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，則x1＋x2的值是________． [解析]　∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x與y＝4

10、－x交點的橫坐標． 又∵x＋log2x＝4，∴l(xiāng)og2x＝4－x，∴x2是y＝log2x與y＝4－x交點的橫坐標． 又y＝2x與y＝log2x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對稱，由得x＝2，∴＝2，∴x1＋x2＝4. [答案]　4 5．求證拋物線y2＝2px(p＞0)，以過焦點的弦為直徑的圓必與x＝－相切. 【導學號：31062151】 [證明]　如圖，作AA′、BB′垂直準線，取AB的中點M，作MM′垂直準線． 要證明以AB為直徑的圓與準線相切，只需證|MM′|＝|AB|， 由拋物線的定義：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|， 所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|， 因此只需證|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|) 根據(jù)梯形的中位線定理可知上式是成立的． 所以以過焦點的弦為直徑的圓必與x＝－相切. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375