《高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)8 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 新人教A版選修22》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)8 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 新人教A版選修22(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時(shí)分層作業(yè)(八) 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例
(建議用時(shí):40分鐘)
[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]
一、選擇題
1.某工廠(chǎng)要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng),一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為(單位:米)( )
A.32,16 B.30,15
C.40,20 D.36,18
A [要使材料最省,則要求新砌的墻壁的總長(zhǎng)最短,設(shè)場(chǎng)地寬為x米,則長(zhǎng)為米,因此新墻總長(zhǎng)L=2x+(x>0),則L′=2-.令L′=0,得x=16或x=-16(舍去).此時(shí)長(zhǎng)為=32(米),可使L最短.]
2.將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和,使兩個(gè)非負(fù)
2、數(shù)的立方和最小,則應(yīng)分為
( )
A.2和6 B.4和4
C.3和5 D.以上都不對(duì)
B [設(shè)一個(gè)數(shù)為x,則另一個(gè)數(shù)為8-x,則其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2(0≤x≤8),y′=48x-192.令y′=0,即48x-192=0,解得x=4.當(dāng)0≤x<4時(shí),y′<0;當(dāng)40.所以當(dāng)x=4時(shí),y最小.]
3.要做一個(gè)圓錐形的漏斗,其母線(xiàn)長(zhǎng)為20 cm,要使其體積最大,則高為
( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062075】
A. cm B. cm
C. cm D. cm
D [設(shè)圓錐的高為x cm,則底面半徑為 cm.其體積為V=πx
3、(202-x2)(0<x<20),V′=π(400-3x2).令V′=0,解得x1=,x2=-(舍去).當(dāng)0<x<時(shí),V′>0;當(dāng)<x<20時(shí),V′<0.所以當(dāng)x=時(shí),V取最大值.]
4.內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長(zhǎng)最大的矩形的邊長(zhǎng)為( )
A.和R B.R和R
C.R和R D.以上都不對(duì)
B [設(shè)矩形與半圓直徑垂直的一邊的長(zhǎng)為x,則另一邊長(zhǎng)為2,則l=2x+4(0<x<R),l′=2-.令l′=0,解得x1=R,x2=-R(舍去).當(dāng)0<x<R時(shí),l′>0;當(dāng)R<x<R時(shí),l′<0.所以當(dāng)x=R時(shí),l取最大值,即周長(zhǎng)最大的矩形的相鄰兩邊長(zhǎng)分別為R, R.]
5.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)
4、品,固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加100元,已知總營(yíng)業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)=則總利潤(rùn)最大時(shí),每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是( )
A.100 B.150
C.200 D.300
D [由題意,得總成本函數(shù)為
C(x)=20 000+100x,總利潤(rùn)P(x)=R(x)-C(x)=
所以P′(x)=
令P′(x)=0,得x=300,易知x=300時(shí),
總利潤(rùn)P(x)最大.]
二、填空題
6.某產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入y1(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù):y1=17x2(x>0),生產(chǎn)成本y2(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù):y2=2x3-x2(x>0),為使利
5、潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)________千臺(tái).
【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062076】
[解析] 設(shè)利潤(rùn)為y,則y=y(tǒng)1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),
∴y′=-6x2+36x=-6x(x-6).
令y′=0,解得x=0或x=6,經(jīng)檢驗(yàn)知x=6既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn).
[答案] 6
7.電動(dòng)自行車(chē)的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y=x3-x2-40x(x>0),為使耗電量最小,則其速度應(yīng)定為_(kāi)_______.
[解析] 由題設(shè)知y′=x2-39x-40,
令y′>0,解得x>40或x<-1,
故函數(shù)y=x3-x2-40x(x>0)在[40,+∞)
6、上遞增,在(0,40]上遞減.∴當(dāng)x=40時(shí),y取得最小值.
由此得為使耗電量最小,則其速度應(yīng)定為40.
[答案] 40
8.用總長(zhǎng)14.8 m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5 m,那么高為_(kāi)_______時(shí)容器的容積最大.
[解析] 設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x m,則另一邊長(zhǎng)為(x+0.5)m,高為[14.8-4x-4(x+0.5)]=(3.2-2x)m.由3.2-2x>0及x>0,得0<x<1.6.設(shè)容器容積為y,則有y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6),y′=-6x2+4.4x+1.6.由y′=
7、0及0<x<1.6,解得x=1.在定義域(0,1.6)內(nèi),只有x=1使y′=0.由題意,若x過(guò)小(接近于0)或過(guò)大(接近于1.6),y的值都很小(接近于0).因此當(dāng)x=1時(shí),y取最大值,且ymax=-2+2.2+1.6=1.8(m3),這時(shí)高為1.2 m.
[答案] 1.2 m
三、解答題
9.一艘輪船在航行中燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比.已知速度為每小時(shí)10千米時(shí),燃料費(fèi)是每小時(shí)6元,而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元,問(wèn)輪船的速度是多少時(shí),航行1千米所需的費(fèi)用總和最少? 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062077】
[解] 設(shè)速度為每小時(shí)v千米時(shí),燃料費(fèi)是每小時(shí)p元,那么由題設(shè)知p=kv3,
8、
因?yàn)関=10,p=6,所以k==0.006.
于是有p=0.006v3.
又設(shè)船的速度為每小時(shí)v千米時(shí),行駛1千米所需的總費(fèi)用為q元,那么每小時(shí)所需的總費(fèi)用是(0.006v3+96)元,而行駛1千米所用時(shí)間為小時(shí),所以行駛1千米的總費(fèi)用為q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q′=0.012v-=(v3-8 000),
令q′=0,解得v=20.
當(dāng)v<20時(shí),q′<0;
當(dāng)v>20時(shí),q′>0,
所以當(dāng)v=20時(shí),q取得最小值.
即當(dāng)速度為20千米/小時(shí)時(shí),航行1千米所需的費(fèi)用總和最少.
10.某商店經(jīng)銷(xiāo)一種商品,每件產(chǎn)品的成本為30元,并且每賣(mài)出一件產(chǎn)品需
9、向稅務(wù)部門(mén)上交a元(a為常數(shù),2≤a≤5)的稅收.設(shè)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(35≤x≤41),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,日銷(xiāo)售量與ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))成反比例.已知每件產(chǎn)品的日售價(jià)為40元時(shí),日銷(xiāo)售量為10件.
(1)求該商店的日利潤(rùn)L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價(jià)為多少元時(shí),該商品的日利潤(rùn)L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
[解] (1)設(shè)日銷(xiāo)售量為,則=10,
∴k=10e40,則日售量為件.
則日利潤(rùn)L(x)=(x-30-a)=10e40;
答:該商店的日利潤(rùn)L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)(x)=10e40.
(2)L′
10、(x)=10e40.
①當(dāng)2≤a≤4時(shí),33≤a+31≤35,
當(dāng)35<x<41時(shí),L′(x)<0.
∴當(dāng)x=35時(shí),L(x)取最大值為10(5-a)e5;
②當(dāng)4<a≤5時(shí),35≤a+31≤36,
令L′(x)=0,得x=a+31,易知當(dāng)x=a+31時(shí),L(x)取最大值為10e9-a.
綜合上得L(x)max=.
答:當(dāng)2≤a≤4時(shí),當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價(jià)35元時(shí),為L(zhǎng)(x)取最大值為10(5-a)e5;當(dāng)4<a≤5時(shí),每件產(chǎn)品的日售價(jià)為a+31元時(shí),該商品的日利潤(rùn) L(x)最大,最大值為10e9-a.
[能力提升練]
1.如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值,則體積的最大值為( )
11、
A.3π B.3π
C.3π D.3π
A [設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,體積為V,則4r+2h=l,∴h=,V=πr2h=πr2-2πr3.
則V′=lπr-6πr2,令V′=0,得r=0或r=,而r>0,
∴r=是其唯一的極值點(diǎn).
∴當(dāng)r=時(shí),V取得最大值,最大值為3π.]
2.用長(zhǎng)為90 cm,寬為48 cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)大小相同的小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角,再焊接而成(如圖142),當(dāng)容器的體積最大時(shí),該容器的高為( )
圖142
A.8 cm B.9 cm
C.10 cm D.12 cm
C [設(shè)容器
12、的高為x cm,容器的體積為V(x)cm3,
則V(x)=(90-2x)(48-2x)x
=4x3-276x2+4 320x(00,當(dāng)10
13、le/h時(shí),它的燃料費(fèi)是每小時(shí)25元,其余費(fèi)用(無(wú)論速度如何)都是每小時(shí)400元.如果甲乙兩地相距800 n mile,則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最低,它的航速應(yīng)為_(kāi)_______.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062078】
[解析] 由題意設(shè)燃料費(fèi)y與航速v間滿(mǎn)足y=av3(0≤v≤30),
又∵25=a103,∴a=.
設(shè)從甲地到乙地海輪的航速為v,費(fèi)用為y,
則y=av3+400=20v2+.
由y′=40v-=0,得v=20<30.
當(dāng)00,
∴當(dāng)v=20時(shí),y最?。?
[答案] 20 n mile/h
4.如圖143,
14、內(nèi)接于拋物線(xiàn)y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),C,D在x軸上運(yùn)動(dòng),則此矩形的面積的最大值是__________.
圖143
[解析] 設(shè)CD=x,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為,
點(diǎn)B的坐標(biāo)為
,
∴矩形ABCD的面積
S=f(x)=x=-+x,x∈(0,2).
由f′(x)=-x2+1=0,
得x1=-(舍),x2=,
∴x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,x∈時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
故當(dāng)x=時(shí),f(x)取最大值.
[答案]
5.如圖144所示,有甲、乙兩個(gè)工廠(chǎng),甲廠(chǎng)位于一直線(xiàn)海岸的岸邊A處,乙廠(chǎng)與甲廠(chǎng)在海的同側(cè),乙廠(chǎng)位于離海岸40 k
15、m的B處,乙廠(chǎng)到海岸的垂足D與A相距50 km.兩廠(chǎng)要在此岸邊A,D之間合建一個(gè)供水站C,從供水站到甲廠(chǎng)和乙廠(chǎng)的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元,則供水站C建在何處才能使水管費(fèi)用最?。?
【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062079】
圖144
[解] 設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km,則AC=50-x(km),
所以BC==(km).
又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元,
依題意,得y=3a(50-x)+5a(0